Theorem ifcldadc 3639

Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldadc.1	|- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
ifcldadc.2	|- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
ifcldadc.dc	|- ( ph -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ifcldadc	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Proof of Theorem ifcldadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3614	. . . 4 |- ( ps -> if ( ps , A , B ) = A )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) = A )
3		ifcldadc.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
4	2, 3	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
5		iffalse 3617	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , A , B ) = B )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) = B )
7		ifcldadc.2	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
8	6, 7	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
9		ifcldadc.dc	. . 3 |- ( ph -> DECID ps )
10		exmiddc 844	. . 3 |- (DECID ps -> ( ps \/ -. ps ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )
12	4, 8, 11	mpjaodan 806	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   ifcif 3607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-if 3608

This theorem is referenced by:  updjudhf  7338  omp1eomlem  7353  difinfsnlem  7358  ctmlemr  7367  ctssdclemn0  7369  ctssdc  7372  enumctlemm  7373  xaddf  10140  xaddval  10141  iseqf1olemqcl  10824  iseqf1olemnab  10826  iseqf1olemjpcl  10833  iseqf1olemqpcl  10834  seq3f1oleml  10841  seq3f1o  10842  exp3val  10866  ccatcl  11236  swrdclg  11297  xrmaxiflemcl  11885  summodclem2a  12022  zsumdc  12025  fsum3  12028  isumss  12032  fsum3cvg2  12035  fsum3ser  12038  fsumcl2lem  12039  fsumadd  12047  sumsnf  12050  sumsplitdc  12073  fsummulc2  12089  isumlessdc  12137  cvgratz  12173  prodmodclem3  12216  prodmodclem2a  12217  zproddc  12220  fprodseq  12224  fprodmul  12232  prodsnf  12233  eucalgval2  12705  lcmval  12715  pcmpt  12996  ennnfonelemg  13104  mulgval  13789  mulgfng  13791  elplyd  15552  dvply1  15576  lgsval  15823  lgsfvalg  15824  lgsfcl2  15825  lgscllem  15826  lgsval2lem  15829  lgsdir  15854  lgsdilem2  15855  lgsdi  15856  lgsne0  15857  subctctexmid  16722