Theorem ifcldadc 3635

Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldadc.1	|- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
ifcldadc.2	|- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
ifcldadc.dc	|- ( ph -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ifcldadc	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Proof of Theorem ifcldadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3610	. . . 4 |- ( ps -> if ( ps , A , B ) = A )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) = A )
3		ifcldadc.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
4	2, 3	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
5		iffalse 3613	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , A , B ) = B )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) = B )
7		ifcldadc.2	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
8	6, 7	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
9		ifcldadc.dc	. . 3 |- ( ph -> DECID ps )
10		exmiddc 843	. . 3 |- (DECID ps -> ( ps \/ -. ps ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )
12	4, 8, 11	mpjaodan 805	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   ifcif 3605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-if 3606

This theorem is referenced by:  updjudhf  7278  omp1eomlem  7293  difinfsnlem  7298  ctmlemr  7307  ctssdclemn0  7309  ctssdc  7312  enumctlemm  7313  xaddf  10079  xaddval  10080  iseqf1olemqcl  10762  iseqf1olemnab  10764  iseqf1olemjpcl  10771  iseqf1olemqpcl  10772  seq3f1oleml  10779  seq3f1o  10780  exp3val  10804  ccatcl  11174  swrdclg  11235  xrmaxiflemcl  11823  summodclem2a  11960  zsumdc  11963  fsum3  11966  isumss  11970  fsum3cvg2  11973  fsum3ser  11976  fsumcl2lem  11977  fsumadd  11985  sumsnf  11988  sumsplitdc  12011  fsummulc2  12027  isumlessdc  12075  cvgratz  12111  prodmodclem3  12154  prodmodclem2a  12155  zproddc  12158  fprodseq  12162  fprodmul  12170  prodsnf  12171  eucalgval2  12643  lcmval  12653  pcmpt  12934  ennnfonelemg  13042  mulgval  13727  mulgfng  13729  elplyd  15484  dvply1  15508  lgsval  15752  lgsfvalg  15753  lgsfcl2  15754  lgscllem  15755  lgsval2lem  15758  lgsdir  15783  lgsdilem2  15784  lgsdi  15785  lgsne0  15786  subctctexmid  16652