Theorem ifcldadc 3590

Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldadc.1	|- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
ifcldadc.2	|- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
ifcldadc.dc	|- ( ph -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ifcldadc	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Proof of Theorem ifcldadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3566	. . . 4 |- ( ps -> if ( ps , A , B ) = A )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) = A )
3		ifcldadc.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
4	2, 3	eqeltrd 2273	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
5		iffalse 3569	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , A , B ) = B )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) = B )
7		ifcldadc.2	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
8	6, 7	eqeltrd 2273	. 2 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
9		ifcldadc.dc	. . 3 |- ( ph -> DECID ps )
10		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID ps -> ( ps \/ -. ps ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )
12	4, 8, 11	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   ifcif 3561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-if 3562

This theorem is referenced by:  updjudhf  7145  omp1eomlem  7160  difinfsnlem  7165  ctmlemr  7174  ctssdclemn0  7176  ctssdc  7179  enumctlemm  7180  xaddf  9919  xaddval  9920  iseqf1olemqcl  10591  iseqf1olemnab  10593  iseqf1olemjpcl  10600  iseqf1olemqpcl  10601  seq3f1oleml  10608  seq3f1o  10609  exp3val  10633  xrmaxiflemcl  11410  summodclem2a  11546  zsumdc  11549  fsum3  11552  isumss  11556  fsum3cvg2  11559  fsum3ser  11562  fsumcl2lem  11563  fsumadd  11571  sumsnf  11574  sumsplitdc  11597  fsummulc2  11613  isumlessdc  11661  cvgratz  11697  prodmodclem3  11740  prodmodclem2a  11741  zproddc  11744  fprodseq  11748  fprodmul  11756  prodsnf  11757  eucalgval2  12221  lcmval  12231  pcmpt  12512  ennnfonelemg  12620  mulgval  13252  mulgfng  13254  elplyd  14977  dvply1  15001  lgsval  15245  lgsfvalg  15246  lgsfcl2  15247  lgscllem  15248  lgsval2lem  15251  lgsdir  15276  lgsdilem2  15277  lgsdi  15278  lgsne0  15279  subctctexmid  15645