Theorem ifcldadc 3652

Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldadc.1	|- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
ifcldadc.2	|- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
ifcldadc.dc	|- ( ph -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ifcldadc	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Proof of Theorem ifcldadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3627	. . . 4 |- ( ps -> if ( ps , A , B ) = A )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) = A )
3		ifcldadc.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
4	2, 3	eqeltrd 2309	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
5		iffalse 3630	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , A , B ) = B )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) = B )
7		ifcldadc.2	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
8	6, 7	eqeltrd 2309	. 2 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
9		ifcldadc.dc	. . 3 |- ( ph -> DECID ps )
10		exmiddc 844	. . 3 |- (DECID ps -> ( ps \/ -. ps ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )
12	4, 8, 11	mpjaodan 806	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   ifcif 3620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-if 3621

This theorem is referenced by:  updjudhf  7370  omp1eomlem  7385  difinfsnlem  7390  ctmlemr  7399  ctssdclemn0  7401  ctssdc  7404  enumctlemm  7405  xaddf  10177  xaddval  10178  iseqf1olemqcl  10861  iseqf1olemnab  10863  iseqf1olemjpcl  10870  iseqf1olemqpcl  10871  seq3f1oleml  10878  seq3f1o  10879  exp3val  10903  ccatcl  11281  swrdclg  11342  xrmaxiflemcl  11930  summodclem2a  12067  zsumdc  12070  fsum3  12073  isumss  12077  fsum3cvg2  12080  fsum3ser  12083  fsumcl2lem  12084  fsumadd  12092  sumsnf  12095  sumsplitdc  12118  fsummulc2  12134  isumlessdc  12182  cvgratz  12218  prodmodclem3  12261  prodmodclem2a  12262  zproddc  12265  fprodseq  12269  fprodmul  12277  prodsnf  12278  eucalgval2  12750  lcmval  12760  pcmpt  13041  ennnfonelemg  13154  mulgval  13839  mulgfng  13841  elplyd  15606  dvply1  15630  lgsval  15877  lgsfvalg  15878  lgsfcl2  15879  lgscllem  15880  lgsval2lem  15883  lgsdir  15908  lgsdilem2  15909  lgsdi  15910  lgsne0  15911  subctctexmid  16774