Theorem ifcldadc 3587

Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldadc.1	|- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
ifcldadc.2	|- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
ifcldadc.dc	|- ( ph -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ifcldadc	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Proof of Theorem ifcldadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3563	. . . 4 |- ( ps -> if ( ps , A , B ) = A )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) = A )
3		ifcldadc.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
4	2, 3	eqeltrd 2270	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
5		iffalse 3566	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , A , B ) = B )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) = B )
7		ifcldadc.2	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
8	6, 7	eqeltrd 2270	. 2 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
9		ifcldadc.dc	. . 3 |- ( ph -> DECID ps )
10		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID ps -> ( ps \/ -. ps ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )
12	4, 8, 11	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   ifcif 3558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-if 3559

This theorem is referenced by:  updjudhf  7140  omp1eomlem  7155  difinfsnlem  7160  ctmlemr  7169  ctssdclemn0  7171  ctssdc  7174  enumctlemm  7175  xaddf  9913  xaddval  9914  iseqf1olemqcl  10573  iseqf1olemnab  10575  iseqf1olemjpcl  10582  iseqf1olemqpcl  10583  seq3f1oleml  10590  seq3f1o  10591  exp3val  10615  xrmaxiflemcl  11391  summodclem2a  11527  zsumdc  11530  fsum3  11533  isumss  11537  fsum3cvg2  11540  fsum3ser  11543  fsumcl2lem  11544  fsumadd  11552  sumsnf  11555  sumsplitdc  11578  fsummulc2  11594  isumlessdc  11642  cvgratz  11678  prodmodclem3  11721  prodmodclem2a  11722  zproddc  11725  fprodseq  11729  fprodmul  11737  prodsnf  11738  eucalgval2  12194  lcmval  12204  pcmpt  12484  ennnfonelemg  12563  mulgval  13195  mulgfng  13197  elplyd  14920  dvply1  14943  lgsval  15161  lgsfvalg  15162  lgsfcl2  15163  lgscllem  15164  lgsval2lem  15167  lgsdir  15192  lgsdilem2  15193  lgsdi  15194  lgsne0  15195  subctctexmid  15561