ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ifcldadc Unicode version

Theorem ifcldadc 3471
Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
ifcldadc.1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  C )
ifcldadc.2  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  B  e.  C )
ifcldadc.dc  |-  ( ph  -> DECID  ps )
Assertion
Ref Expression
ifcldadc  |-  ( ph  ->  if ( ps ,  A ,  B )  e.  C )

Proof of Theorem ifcldadc
StepHypRef Expression
1 iftrue 3449 . . . 4  |-  ( ps 
->  if ( ps ,  A ,  B )  =  A )
21adantl 275 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  if ( ps ,  A ,  B )  =  A )
3 ifcldadc.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  C )
42, 3eqeltrd 2194 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  if ( ps ,  A ,  B )  e.  C )
5 iffalse 3452 . . . 4  |-  ( -. 
ps  ->  if ( ps ,  A ,  B
)  =  B )
65adantl 275 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  if ( ps ,  A ,  B )  =  B )
7 ifcldadc.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  B  e.  C )
86, 7eqeltrd 2194 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  if ( ps ,  A ,  B )  e.  C )
9 ifcldadc.dc . . 3  |-  ( ph  -> DECID  ps )
10 exmiddc 806 . . 3  |-  (DECID  ps  ->  ( ps  \/  -.  ps ) )
119, 10syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ps  \/  -.  ps ) )
124, 8, 11mpjaodan 772 1  |-  ( ph  ->  if ( ps ,  A ,  B )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682  DECID wdc 804    = wceq 1316    e. wcel 1465   ifcif 3444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-11 1469  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-if 3445
This theorem is referenced by:  updjudhf  6932  omp1eomlem  6947  difinfsnlem  6952  ctmlemr  6961  ctssdclemn0  6963  ctssdc  6966  enumctlemm  6967  xaddf  9582  xaddval  9583  iseqf1olemqcl  10214  iseqf1olemnab  10216  iseqf1olemjpcl  10223  iseqf1olemqpcl  10224  seq3f1oleml  10231  seq3f1o  10232  exp3val  10250  xrmaxiflemcl  10969  summodclem2a  11105  zsumdc  11108  fsum3  11111  isumss  11115  fsum3cvg2  11118  fsum3ser  11121  fsumcl2lem  11122  fsumadd  11130  sumsnf  11133  sumsplitdc  11156  fsummulc2  11172  isumlessdc  11220  cvgratz  11256  eucalgval2  11646  lcmval  11656  ennnfonelemg  11827  subctctexmid  13092
  Copyright terms: Public domain W3C validator