Theorem ifcldadc 3609

Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldadc.1	|- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
ifcldadc.2	|- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
ifcldadc.dc	|- ( ph -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ifcldadc	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Proof of Theorem ifcldadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3584	. . . 4 |- ( ps -> if ( ps , A , B ) = A )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) = A )
3		ifcldadc.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
4	2, 3	eqeltrd 2284	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
5		iffalse 3587	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , A , B ) = B )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) = B )
7		ifcldadc.2	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
8	6, 7	eqeltrd 2284	. 2 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
9		ifcldadc.dc	. . 3 |- ( ph -> DECID ps )
10		exmiddc 838	. . 3 |- (DECID ps -> ( ps \/ -. ps ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )
12	4, 8, 11	mpjaodan 800	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   ifcif 3579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-11 1530  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-if 3580

This theorem is referenced by:  updjudhf  7207  omp1eomlem  7222  difinfsnlem  7227  ctmlemr  7236  ctssdclemn0  7238  ctssdc  7241  enumctlemm  7242  xaddf  10001  xaddval  10002  iseqf1olemqcl  10681  iseqf1olemnab  10683  iseqf1olemjpcl  10690  iseqf1olemqpcl  10691  seq3f1oleml  10698  seq3f1o  10699  exp3val  10723  ccatcl  11087  swrdclg  11141  xrmaxiflemcl  11671  summodclem2a  11807  zsumdc  11810  fsum3  11813  isumss  11817  fsum3cvg2  11820  fsum3ser  11823  fsumcl2lem  11824  fsumadd  11832  sumsnf  11835  sumsplitdc  11858  fsummulc2  11874  isumlessdc  11922  cvgratz  11958  prodmodclem3  12001  prodmodclem2a  12002  zproddc  12005  fprodseq  12009  fprodmul  12017  prodsnf  12018  eucalgval2  12490  lcmval  12500  pcmpt  12781  ennnfonelemg  12889  mulgval  13573  mulgfng  13575  elplyd  15328  dvply1  15352  lgsval  15596  lgsfvalg  15597  lgsfcl2  15598  lgscllem  15599  lgsval2lem  15602  lgsdir  15627  lgsdilem2  15628  lgsdi  15629  lgsne0  15630  subctctexmid  16139