Theorem ifcldadc 3534

Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldadc.1	|- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
ifcldadc.2	|- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
ifcldadc.dc	|- ( ph -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ifcldadc	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Proof of Theorem ifcldadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3510	. . . 4 |- ( ps -> if ( ps , A , B ) = A )
2	1	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) = A )
3		ifcldadc.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
4	2, 3	eqeltrd 2234	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
5		iffalse 3513	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , A , B ) = B )
6	5	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) = B )
7		ifcldadc.2	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
8	6, 7	eqeltrd 2234	. 2 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
9		ifcldadc.dc	. . 3 |- ( ph -> DECID ps )
10		exmiddc 822	. . 3 |- (DECID ps -> ( ps \/ -. ps ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )
12	4, 8, 11	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   ifcif 3505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-11 1486  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-if 3506

This theorem is referenced by:  updjudhf  7013  omp1eomlem  7028  difinfsnlem  7033  ctmlemr  7042  ctssdclemn0  7044  ctssdc  7047  enumctlemm  7048  xaddf  9730  xaddval  9731  iseqf1olemqcl  10367  iseqf1olemnab  10369  iseqf1olemjpcl  10376  iseqf1olemqpcl  10377  seq3f1oleml  10384  seq3f1o  10385  exp3val  10403  xrmaxiflemcl  11124  summodclem2a  11260  zsumdc  11263  fsum3  11266  isumss  11270  fsum3cvg2  11273  fsum3ser  11276  fsumcl2lem  11277  fsumadd  11285  sumsnf  11288  sumsplitdc  11311  fsummulc2  11327  isumlessdc  11375  cvgratz  11411  prodmodclem3  11454  prodmodclem2a  11455  zproddc  11458  fprodseq  11462  fprodmul  11470  prodsnf  11471  eucalgval2  11910  lcmval  11920  ennnfonelemg  12104  subctctexmid  13534