ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ifcldadc Unicode version

Theorem ifcldadc 3563
Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
ifcldadc.1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  C )
ifcldadc.2  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  B  e.  C )
ifcldadc.dc  |-  ( ph  -> DECID  ps )
Assertion
Ref Expression
ifcldadc  |-  ( ph  ->  if ( ps ,  A ,  B )  e.  C )

Proof of Theorem ifcldadc
StepHypRef Expression
1 iftrue 3539 . . . 4  |-  ( ps 
->  if ( ps ,  A ,  B )  =  A )
21adantl 277 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  if ( ps ,  A ,  B )  =  A )
3 ifcldadc.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  C )
42, 3eqeltrd 2254 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  if ( ps ,  A ,  B )  e.  C )
5 iffalse 3542 . . . 4  |-  ( -. 
ps  ->  if ( ps ,  A ,  B
)  =  B )
65adantl 277 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  if ( ps ,  A ,  B )  =  B )
7 ifcldadc.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  B  e.  C )
86, 7eqeltrd 2254 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  if ( ps ,  A ,  B )  e.  C )
9 ifcldadc.dc . . 3  |-  ( ph  -> DECID  ps )
10 exmiddc 836 . . 3  |-  (DECID  ps  ->  ( ps  \/  -.  ps ) )
119, 10syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ps  \/  -.  ps ) )
124, 8, 11mpjaodan 798 1  |-  ( ph  ->  if ( ps ,  A ,  B )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   ifcif 3534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-if 3535
This theorem is referenced by:  updjudhf  7077  omp1eomlem  7092  difinfsnlem  7097  ctmlemr  7106  ctssdclemn0  7108  ctssdc  7111  enumctlemm  7112  xaddf  9843  xaddval  9844  iseqf1olemqcl  10485  iseqf1olemnab  10487  iseqf1olemjpcl  10494  iseqf1olemqpcl  10495  seq3f1oleml  10502  seq3f1o  10503  exp3val  10521  xrmaxiflemcl  11252  summodclem2a  11388  zsumdc  11391  fsum3  11394  isumss  11398  fsum3cvg2  11401  fsum3ser  11404  fsumcl2lem  11405  fsumadd  11413  sumsnf  11416  sumsplitdc  11439  fsummulc2  11455  isumlessdc  11503  cvgratz  11539  prodmodclem3  11582  prodmodclem2a  11583  zproddc  11586  fprodseq  11590  fprodmul  11598  prodsnf  11599  eucalgval2  12052  lcmval  12062  pcmpt  12340  ennnfonelemg  12403  mulgval  12985  mulgfng  12986  lgsval  14375  lgsfvalg  14376  lgsfcl2  14377  lgscllem  14378  lgsval2lem  14381  lgsdir  14406  lgsdilem2  14407  lgsdi  14408  lgsne0  14409  subctctexmid  14720
  Copyright terms: Public domain W3C validator