Theorem ifcldadc 3586

Description: Conditional closure. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldadc.1	|- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
ifcldadc.2	|- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
ifcldadc.dc	|- ( ph -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ifcldadc	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Proof of Theorem ifcldadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3562	. . . 4 |- ( ps -> if ( ps , A , B ) = A )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) = A )
3		ifcldadc.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
4	2, 3	eqeltrd 2270	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
5		iffalse 3565	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , A , B ) = B )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) = B )
7		ifcldadc.2	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
8	6, 7	eqeltrd 2270	. 2 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
9		ifcldadc.dc	. . 3 |- ( ph -> DECID ps )
10		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID ps -> ( ps \/ -. ps ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )
12	4, 8, 11	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   ifcif 3557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-if 3558

This theorem is referenced by:  updjudhf  7138  omp1eomlem  7153  difinfsnlem  7158  ctmlemr  7167  ctssdclemn0  7169  ctssdc  7172  enumctlemm  7173  xaddf  9910  xaddval  9911  iseqf1olemqcl  10570  iseqf1olemnab  10572  iseqf1olemjpcl  10579  iseqf1olemqpcl  10580  seq3f1oleml  10587  seq3f1o  10588  exp3val  10612  xrmaxiflemcl  11388  summodclem2a  11524  zsumdc  11527  fsum3  11530  isumss  11534  fsum3cvg2  11537  fsum3ser  11540  fsumcl2lem  11541  fsumadd  11549  sumsnf  11552  sumsplitdc  11575  fsummulc2  11591  isumlessdc  11639  cvgratz  11675  prodmodclem3  11718  prodmodclem2a  11719  zproddc  11722  fprodseq  11726  fprodmul  11734  prodsnf  11735  eucalgval2  12191  lcmval  12201  pcmpt  12481  ennnfonelemg  12560  mulgval  13192  mulgfng  13194  elplyd  14887  lgsval  15120  lgsfvalg  15121  lgsfcl2  15122  lgscllem  15123  lgsval2lem  15126  lgsdir  15151  lgsdilem2  15152  lgsdi  15153  lgsne0  15154  subctctexmid  15491