Theorem iffalse 3648

Description: Value of the conditional operator when its first argument is false. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
iffalse	|- ( -. ph -> if ( ph , A , B ) = B )

Proof of Theorem iffalse

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3639	. 2 |- if ( ph , A , B ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) }
2		dedlemb 983	. . 3 |- ( -. ph -> ( x e. B <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) ) )
3	2	abbi2dv 2359	. 2 |- ( -. ph -> B = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) } )
4	1, 3	eqtr4id 2290	1 |- ( -. ph -> if ( ph , A , B ) = B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-if 3639

This theorem is used by:  iffalsei  3649  iffalsed  3650  ifnefalse  3651  ifsbdc  3653  ifcldadc  3670  ifeq1dadc  3671  ifeqdadc  3673  ifbothdadc  3674  ifbothdc  3675  ifiddc  3676  ifcldcd  3678  ifnotdc  3679  2if2dc  3680  ifandc  3681  ifordc  3682  ifnetruedc  3684  pw2f1odclem  7134  fidifsnen  7172  nnnninf  7466  uzin  9955  modifeq2int  10823  seqf1oglem1  10956  seqf1oglem2  10957  bcval  11187  bcval3  11189  swrdccat  11507  pfxccat3a  11510  swrdccat3b  11512  sumrbdclem  12144  fsum3cvg  12145  summodclem2a  12148  sumsplitdc  12199  prodrbdclem  12338  fproddccvg  12339  prodssdc  12356  flodddiv4  12703  gcdn0val  12738  dfgcd2  12791  lcmn0val  12844  pcgcd  13108  pcmptcl  13121  pcmpt  13122  pcmpt2  13123  pcprod  13125  fldivp1  13127  unct  13333  lgsneg  16143  lgsdilem  16146  lgsdir2  16152  lgsdir  16154  lgsdi  16156  lgsne0  16157  gausslemma2dlem1a  16177  2lgslem1c  16209  2lgs  16223