Theorem iffalse 3648

Description: Value of the conditional operator when its first argument is false. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
iffalse	|- ( -. ph -> if ( ph , A , B ) = B )

Proof of Theorem iffalse

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3639	. 2 |- if ( ph , A , B ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) }
2		dedlemb 983	. . 3 |- ( -. ph -> ( x e. B <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) ) )
3	2	abbi2dv 2359	. 2 |- ( -. ph -> B = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) } )
4	1, 3	eqtr4id 2290	1 |- ( -. ph -> if ( ph , A , B ) = B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-if 3639

This theorem is used by:  iffalsei  3649  iffalsed  3650  ifnefalse  3651  ifsbdc  3653  ifcldadc  3670  ifeq1dadc  3671  ifeqdadc  3673  ifbothdadc  3674  ifbothdc  3675  ifiddc  3676  ifcldcd  3678  ifnotdc  3679  2if2dc  3680  ifandc  3681  ifordc  3682  ifnetruedc  3684  pw2f1odclem  7140  fidifsnen  7178  nnnninf  7472  uzin  9970  modifeq2int  10843  seqf1oglem1  10976  seqf1oglem2  10977  bcval  11208  bcval3  11210  swrdccat  11528  pfxccat3a  11531  swrdccat3b  11533  sumrbdclem  12168  fsum3cvg  12169  summodclem2a  12172  sumsplitdc  12223  prodrbdclem  12362  fproddccvg  12363  prodssdc  12380  flodddiv4  12727  gcdn0val  12762  dfgcd2  12815  lcmn0val  12868  pcgcd  13136  pcmptcl  13149  pcmpt  13150  pcmpt2  13151  pcprod  13153  fldivp1  13155  unct  13390  mvrf1fi  15219  chtublem  16312  bposlem1  16328  bposlem3  16330  bposlem5  16332  bposlem6  16333  lgsneg  16365  lgsdilem  16368  lgsdir2  16374  lgsdir  16376  lgsdi  16378  lgsne0  16379  gausslemma2dlem1a  16399  2lgslem1c  16431  2lgs  16445