Theorem iffalse 3648

Description: Value of the conditional operator when its first argument is false. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
iffalse	|- ( -. ph -> if ( ph , A , B ) = B )

Proof of Theorem iffalse

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3639	. 2 |- if ( ph , A , B ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) }
2		dedlemb 983	. . 3 |- ( -. ph -> ( x e. B <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) ) )
3	2	abbi2dv 2359	. 2 |- ( -. ph -> B = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) } )
4	1, 3	eqtr4id 2290	1 |- ( -. ph -> if ( ph , A , B ) = B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-if 3639

This theorem is used by:  iffalsei  3649  iffalsed  3650  ifnefalse  3651  ifsbdc  3653  ifcldadc  3670  ifeq1dadc  3671  ifeqdadc  3673  ifbothdadc  3674  ifbothdc  3675  ifiddc  3676  ifcldcd  3678  ifnotdc  3679  2if2dc  3680  ifandc  3681  ifordc  3682  ifnetruedc  3684  pw2f1odclem  7138  fidifsnen  7176  nnnninf  7472  uzin  9971  modifeq2int  10844  seqf1oglem1  10977  seqf1oglem2  10978  bcval  11209  bcval3  11211  swrdccat  11529  pfxccat3a  11532  swrdccat3b  11534  sumrbdclem  12169  fsum3cvg  12170  summodclem2a  12173  sumsplitdc  12224  prodrbdclem  12363  fproddccvg  12364  prodssdc  12381  flodddiv4  12728  gcdn0val  12763  dfgcd2  12816  lcmn0val  12869  pcgcd  13137  pcmptcl  13150  pcmpt  13151  pcmpt2  13152  pcprod  13154  fldivp1  13156  unct  13391  chtublem  16295  bposlem1  16311  bposlem3  16313  bposlem5  16315  bposlem6  16316  lgsneg  16348  lgsdilem  16351  lgsdir2  16357  lgsdir  16359  lgsdi  16361  lgsne0  16362  gausslemma2dlem1a  16382  2lgslem1c  16414  2lgs  16428