Theorem iffalse 3648

Description: Value of the conditional operator when its first argument is false. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
iffalse	|- ( -. ph -> if ( ph , A , B ) = B )

Proof of Theorem iffalse

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3639	. 2 |- if ( ph , A , B ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) }
2		dedlemb 983	. . 3 |- ( -. ph -> ( x e. B <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) ) )
3	2	abbi2dv 2359	. 2 |- ( -. ph -> B = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) } )
4	1, 3	eqtr4id 2290	1 |- ( -. ph -> if ( ph , A , B ) = B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-if 3639

This theorem is used by:  iffalsei  3649  iffalsed  3650  ifnefalse  3651  ifsbdc  3653  ifcldadc  3670  ifeq1dadc  3671  ifeqdadc  3673  ifbothdadc  3674  ifbothdc  3675  ifiddc  3676  ifcldcd  3678  ifnotdc  3679  2if2dc  3680  ifandc  3681  ifordc  3682  ifnetruedc  3684  pw2f1odclem  7134  fidifsnen  7172  nnnninf  7466  uzin  9964  modifeq2int  10836  seqf1oglem1  10969  seqf1oglem2  10970  bcval  11201  bcval3  11203  swrdccat  11521  pfxccat3a  11524  swrdccat3b  11526  sumrbdclem  12160  fsum3cvg  12161  summodclem2a  12164  sumsplitdc  12215  prodrbdclem  12354  fproddccvg  12355  prodssdc  12372  flodddiv4  12719  gcdn0val  12754  dfgcd2  12807  lcmn0val  12860  pcgcd  13128  pcmptcl  13141  pcmpt  13142  pcmpt2  13143  pcprod  13145  fldivp1  13147  unct  13382  bposlem1  16209  bposlem3  16211  bposlem5  16213  lgsneg  16241  lgsdilem  16244  lgsdir2  16250  lgsdir  16252  lgsdi  16254  lgsne0  16255  gausslemma2dlem1a  16275  2lgslem1c  16307  2lgs  16321