Theorem iffalse 3648

Description: Value of the conditional operator when its first argument is false. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
iffalse	|- ( -. ph -> if ( ph , A , B ) = B )

Proof of Theorem iffalse

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3639	. 2 |- if ( ph , A , B ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) }
2		dedlemb 983	. . 3 |- ( -. ph -> ( x e. B <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) ) )
3	2	abbi2dv 2359	. 2 |- ( -. ph -> B = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) } )
4	1, 3	eqtr4id 2290	1 |- ( -. ph -> if ( ph , A , B ) = B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-if 3639

This theorem is used by:  iffalsei  3649  iffalsed  3650  ifnefalse  3651  ifsbdc  3653  ifcldadc  3670  ifeq1dadc  3671  ifeqdadc  3673  ifbothdadc  3674  ifbothdc  3675  ifiddc  3676  ifcldcd  3678  ifnotdc  3679  2if2dc  3680  ifandc  3681  ifordc  3682  ifnetruedc  3684  pw2f1odclem  7134  fidifsnen  7172  nnnninf  7467  uzin  9965  modifeq2int  10838  seqf1oglem1  10971  seqf1oglem2  10972  bcval  11203  bcval3  11205  swrdccat  11523  pfxccat3a  11526  swrdccat3b  11528  sumrbdclem  12163  fsum3cvg  12164  summodclem2a  12167  sumsplitdc  12218  prodrbdclem  12357  fproddccvg  12358  prodssdc  12375  flodddiv4  12722  gcdn0val  12757  dfgcd2  12810  lcmn0val  12863  pcgcd  13131  pcmptcl  13144  pcmpt  13145  pcmpt2  13146  pcprod  13148  fldivp1  13150  unct  13385  chtublem  16256  bposlem1  16272  bposlem3  16274  bposlem5  16276  bposlem6  16277  lgsneg  16309  lgsdilem  16312  lgsdir2  16318  lgsdir  16320  lgsdi  16322  lgsne0  16323  gausslemma2dlem1a  16343  2lgslem1c  16375  2lgs  16389