Theorem iffalse 3645

Description: Value of the conditional operator when its first argument is false. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
iffalse	|- ( -. ph -> if ( ph , A , B ) = B )

Proof of Theorem iffalse

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3636	. 2 |- if ( ph , A , B ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) }
2		dedlemb 983	. . 3 |- ( -. ph -> ( x e. B <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) ) )
3	2	abbi2dv 2359	. 2 |- ( -. ph -> B = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) } )
4	1, 3	eqtr4id 2290	1 |- ( -. ph -> if ( ph , A , B ) = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   ifcif 3635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-if 3636

This theorem is referenced by:  iffalsei  3646  iffalsed  3647  ifnefalse  3648  ifsbdc  3650  ifcldadc  3667  ifeq1dadc  3668  ifeqdadc  3670  ifbothdadc  3671  ifbothdc  3672  ifiddc  3673  ifcldcd  3675  ifnotdc  3676  2if2dc  3677  ifandc  3678  ifordc  3679  ifnetruedc  3681  pw2f1odclem  7124  fidifsnen  7162  nnnninf  7456  uzin  9934  modifeq2int  10801  seqf1oglem1  10934  seqf1oglem2  10935  bcval  11165  bcval3  11167  swrdccat  11485  pfxccat3a  11488  swrdccat3b  11490  sumrbdclem  12122  fsum3cvg  12123  summodclem2a  12126  sumsplitdc  12177  prodrbdclem  12316  fproddccvg  12317  prodssdc  12334  flodddiv4  12681  gcdn0val  12716  dfgcd2  12769  lcmn0val  12822  pcgcd  13086  pcmptcl  13099  pcmpt  13100  pcmpt2  13101  pcprod  13103  fldivp1  13105  unct  13311  lgsneg  16057  lgsdilem  16060  lgsdir2  16066  lgsdir  16068  lgsdi  16070  lgsne0  16071  gausslemma2dlem1a  16091  2lgslem1c  16123  2lgs  16137