Theorem lgsdilem2 15152

Description: Lemma for lgsdi 15153. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdilem2.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
lgsdilem2.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
lgsdilem2.3	|- ( ph -> N e. ZZ )
lgsdilem2.4	|- ( ph -> M =/= 0 )
lgsdilem2.5	|- ( ph -> N =/= 0 )
lgsdilem2.6	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt M ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsdilem2	|- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` M ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` ( M x. N ) ) ) )

Distinct variable groups:   n, M   A, n   n, N

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)

Proof of Theorem lgsdilem2

Dummy variables k v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrid 8016	. . 3 |- ( k e. CC -> ( k x. 1 ) = k )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ k e. CC ) -> ( k x. 1 ) = k )
3		lgsdilem2.2	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		lgsdilem2.4	. . . 4 |- ( ph -> M =/= 0 )
5		nnabscl 11244	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` M ) e. NN )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` M ) e. NN )
7		nnuz 9628	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
8	6, 7	eleqtrdi 2286	. 2 |- ( ph -> ( abs ` M ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9	6	nnzd 9438	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` M ) e. ZZ )
10		lgsdilem2.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
11	3, 10	zmulcld 9445	. . . . 5 |- ( ph -> ( M x. N ) e. ZZ )
12	3	zcnd 9440	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
13	10	zcnd 9440	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
14		0z 9328	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
15		zapne 9391	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( M # 0 <-> M =/= 0 ) )
16	3, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M # 0 <-> M =/= 0 ) )
17	4, 16	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ph -> M # 0 )
18		lgsdilem2.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N =/= 0 )
19		zapne 9391	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( N # 0 <-> N =/= 0 ) )
20	10, 14, 19	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N # 0 <-> N =/= 0 ) )
21	18, 20	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ph -> N # 0 )
22	12, 13, 17, 21	mulap0d 8677	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. N ) # 0 )
23		zapne 9391	. . . . . . 7 |- ( ( ( M x. N ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( M x. N ) # 0 <-> ( M x. N ) =/= 0 ) )
24	11, 14, 23	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M x. N ) # 0 <-> ( M x. N ) =/= 0 ) )
25	22, 24	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( M x. N ) =/= 0 )
26		nnabscl 11244	. . . . 5 |- ( ( ( M x. N ) e. ZZ /\ ( M x. N ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( M x. N ) ) e. NN )
27	11, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( M x. N ) ) e. NN )
28	27	nnzd 9438	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( M x. N ) ) e. ZZ )
29	12	abscld 11325	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` M ) e. RR )
30	13	abscld 11325	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` N ) e. RR )
31	12	absge0d 11328	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` M ) )
32		nnabscl 11244	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
33	10, 18, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` N ) e. NN )
34	33	nnge1d 9025	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( abs ` N ) )
35	29, 30, 31, 34	lemulge11d 8956	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` M ) <_ ( ( abs ` M ) x. ( abs ` N ) ) )
36	12, 13	absmuld 11338	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( M x. N ) ) = ( ( abs ` M ) x. ( abs ` N ) ) )
37	35, 36	breqtrrd 4057	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` M ) <_ ( abs ` ( M x. N ) ) )
38		eluz2 9598	. . 3 |- ( ( abs ` ( M x. N ) ) e. ( ZZ>= ` ( abs ` M ) ) <-> ( ( abs ` M ) e. ZZ /\ ( abs ` ( M x. N ) ) e. ZZ /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` ( M x. N ) ) ) )
39	9, 28, 37, 38	syl3anbrc 1183	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( M x. N ) ) e. ( ZZ>= ` ( abs ` M ) ) )
40		1zzd 9344	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
41		lgsdilem2.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ZZ )
42		lgsdilem2.6	. . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt M ) ) , 1 ) )
43	42	lgsfcl3 15137	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> F : NN --> ZZ )
44	41, 3, 4, 43	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> ZZ )
45	44	ffvelcdmda 5693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
46		zmulcl 9370	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
47	46	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
48	7, 40, 45, 47	seqf 10535	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> ZZ )
49	48, 6	ffvelcdmd 5694	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` M ) ) e. ZZ )
50	49	zcnd 9440	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` M ) ) e. CC )
51		eleq1w 2254	. . . . 5 |- ( n = k -> ( n e. Prime <-> k e. Prime ) )
52		oveq2 5926	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( A /L n ) = ( A /L k ) )
53		oveq1 5925	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( n pCnt M ) = ( k pCnt M ) )
54	52, 53	oveq12d 5936	. . . . 5 |- ( n = k -> ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt M ) ) = ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) )
55	51, 54	ifbieq1d 3579	. . . 4 |- ( n = k -> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt M ) ) , 1 ) = if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) , 1 ) )
56	6	peano2nnd 8997	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` M ) + 1 ) e. NN )
57		elfzuz 10087	. . . . 5 |- ( k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( ( abs ` M ) + 1 ) ) )
58		eluznn 9665	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` M ) + 1 ) e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( abs ` M ) + 1 ) ) ) -> k e. NN )
59	56, 57, 58	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> k e. NN )
60	41	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> A e. ZZ )
61		prmz 12249	. . . . . . . 8 |- ( k e. Prime -> k e. ZZ )
62	61	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> k e. ZZ )
63		lgscl 15130	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( A /L k ) e. ZZ )
64	60, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( A /L k ) e. ZZ )
65		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> k e. Prime )
66	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> M e. ZZ )
67	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> M =/= 0 )
68		pczcl 12436	. . . . . . 7 |- ( ( k e. Prime /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( k pCnt M ) e. NN0 )
69	65, 66, 67, 68	syl12anc 1247	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt M ) e. NN0 )
70		zexpcl 10625	. . . . . 6 |- ( ( ( A /L k ) e. ZZ /\ ( k pCnt M ) e. NN0 ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) e. ZZ )
71	64, 69, 70	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) e. ZZ )
72		1zzd 9344	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ -. k e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
73		prmdc 12268	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> DECID k e. Prime )
74	59, 73	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> DECID k e. Prime )
75	71, 72, 74	ifcldadc 3586	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) , 1 ) e. ZZ )
76	42, 55, 59, 75	fvmptd3 5651	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) , 1 ) )
77		zq 9691	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
78	66, 77	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> M e. QQ )
79		pcabs 12464	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. Prime /\ M e. QQ ) -> ( k pCnt ( abs ` M ) ) = ( k pCnt M ) )
80	65, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt ( abs ` M ) ) = ( k pCnt M ) )
81		elfzle1 10093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) -> ( ( abs ` M ) + 1 ) <_ k )
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> ( ( abs ` M ) + 1 ) <_ k )
83		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) -> k e. ZZ )
84		zltp1le 9371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs ` M ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) < k <-> ( ( abs ` M ) + 1 ) <_ k ) )
85	9, 83, 84	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> ( ( abs ` M ) < k <-> ( ( abs ` M ) + 1 ) <_ k ) )
86	82, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> ( abs ` M ) < k )
87		zltnle 9363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` M ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) < k <-> -. k <_ ( abs ` M ) ) )
88	9, 83, 87	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> ( ( abs ` M ) < k <-> -. k <_ ( abs ` M ) ) )
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> -. k <_ ( abs ` M ) )
90	89	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> -. k <_ ( abs ` M ) )
91	66, 67, 5	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( abs ` M ) e. NN )
92		dvdsle 11986	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ ( abs ` M ) e. NN ) -> ( k || ( abs ` M ) -> k <_ ( abs ` M ) ) )
93	62, 91, 92	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( k || ( abs ` M ) -> k <_ ( abs ` M ) ) )
94	90, 93	mtod 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> -. k || ( abs ` M ) )
95		pceq0 12460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. Prime /\ ( abs ` M ) e. NN ) -> ( ( k pCnt ( abs ` M ) ) = 0 <-> -. k || ( abs ` M ) ) )
96	65, 91, 95	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( ( k pCnt ( abs ` M ) ) = 0 <-> -. k || ( abs ` M ) ) )
97	94, 96	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt ( abs ` M ) ) = 0 )
98	80, 97	eqtr3d 2228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt M ) = 0 )
99	98	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) = ( ( A /L k ) ^ 0 ) )
100	64	zcnd 9440	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( A /L k ) e. CC )
101	100	exp0d 10738	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( ( A /L k ) ^ 0 ) = 1 )
102	99, 101	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) = 1 )
103	102, 74	ifeq1dadc 3587	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) , 1 ) = if ( k e. Prime , 1 , 1 ) )
104		ifiddc 3591	. . . . 5 |- (DECID k e. Prime -> if ( k e. Prime , 1 , 1 ) = 1 )
105	74, 104	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> if ( k e. Prime , 1 , 1 ) = 1 )
106	103, 105	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) , 1 ) = 1 )
107	76, 106	eqtrd 2226	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> ( F ` k ) = 1 )
108	44	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> F : NN --> ZZ )
109		elnnuz 9629	. . . . . 6 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
110	109	biimpri 133	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> k e. NN )
111	110	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. NN )
112	108, 111	ffvelcdmd 5694	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
113	112	zcnd 9440	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
114		mulcl 7999	. . 3 |- ( ( k e. CC /\ v e. CC ) -> ( k x. v ) e. CC )
115	114	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ ( k e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( k x. v ) e. CC )
116	2, 8, 39, 50, 107, 113, 115	seq3id2 10597	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` M ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` ( M x. N ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   ifcif 3557   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055   # cap 8600   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   QQcq 9684   ...cfz 10074   seqcseq 10518   ^cexp 10609   abscabs 11141   || cdvds 11930   Primecprime 12245   pCnt cpc 12422   /Lclgs 15113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246  df-phi 12349  df-pc 12423  df-lgs 15114

This theorem is referenced by:  lgsdi  15153