Theorem lgsdilem2 15361

Description: Lemma for lgsdi 15362. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdilem2.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
lgsdilem2.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
lgsdilem2.3	|- ( ph -> N e. ZZ )
lgsdilem2.4	|- ( ph -> M =/= 0 )
lgsdilem2.5	|- ( ph -> N =/= 0 )
lgsdilem2.6	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt M ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsdilem2	|- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` M ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` ( M x. N ) ) ) )

Distinct variable groups:   n, M   A, n   n, N

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)

Proof of Theorem lgsdilem2

Dummy variables k v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrid 8040	. . 3 |- ( k e. CC -> ( k x. 1 ) = k )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ k e. CC ) -> ( k x. 1 ) = k )
3		lgsdilem2.2	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		lgsdilem2.4	. . . 4 |- ( ph -> M =/= 0 )
5		nnabscl 11282	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` M ) e. NN )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` M ) e. NN )
7		nnuz 9654	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
8	6, 7	eleqtrdi 2289	. 2 |- ( ph -> ( abs ` M ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9	6	nnzd 9464	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` M ) e. ZZ )
10		lgsdilem2.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
11	3, 10	zmulcld 9471	. . . . 5 |- ( ph -> ( M x. N ) e. ZZ )
12	3	zcnd 9466	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
13	10	zcnd 9466	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
14		0z 9354	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
15		zapne 9417	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( M # 0 <-> M =/= 0 ) )
16	3, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M # 0 <-> M =/= 0 ) )
17	4, 16	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ph -> M # 0 )
18		lgsdilem2.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N =/= 0 )
19		zapne 9417	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( N # 0 <-> N =/= 0 ) )
20	10, 14, 19	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N # 0 <-> N =/= 0 ) )
21	18, 20	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ph -> N # 0 )
22	12, 13, 17, 21	mulap0d 8702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. N ) # 0 )
23		zapne 9417	. . . . . . 7 |- ( ( ( M x. N ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( M x. N ) # 0 <-> ( M x. N ) =/= 0 ) )
24	11, 14, 23	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M x. N ) # 0 <-> ( M x. N ) =/= 0 ) )
25	22, 24	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( M x. N ) =/= 0 )
26		nnabscl 11282	. . . . 5 |- ( ( ( M x. N ) e. ZZ /\ ( M x. N ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( M x. N ) ) e. NN )
27	11, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( M x. N ) ) e. NN )
28	27	nnzd 9464	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( M x. N ) ) e. ZZ )
29	12	abscld 11363	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` M ) e. RR )
30	13	abscld 11363	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` N ) e. RR )
31	12	absge0d 11366	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` M ) )
32		nnabscl 11282	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
33	10, 18, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` N ) e. NN )
34	33	nnge1d 9050	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( abs ` N ) )
35	29, 30, 31, 34	lemulge11d 8981	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` M ) <_ ( ( abs ` M ) x. ( abs ` N ) ) )
36	12, 13	absmuld 11376	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( M x. N ) ) = ( ( abs ` M ) x. ( abs ` N ) ) )
37	35, 36	breqtrrd 4062	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` M ) <_ ( abs ` ( M x. N ) ) )
38		eluz2 9624	. . 3 |- ( ( abs ` ( M x. N ) ) e. ( ZZ>= ` ( abs ` M ) ) <-> ( ( abs ` M ) e. ZZ /\ ( abs ` ( M x. N ) ) e. ZZ /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` ( M x. N ) ) ) )
39	9, 28, 37, 38	syl3anbrc 1183	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( M x. N ) ) e. ( ZZ>= ` ( abs ` M ) ) )
40		1zzd 9370	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
41		lgsdilem2.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ZZ )
42		lgsdilem2.6	. . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt M ) ) , 1 ) )
43	42	lgsfcl3 15346	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> F : NN --> ZZ )
44	41, 3, 4, 43	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> ZZ )
45	44	ffvelcdmda 5700	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
46		zmulcl 9396	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
47	46	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
48	7, 40, 45, 47	seqf 10573	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> ZZ )
49	48, 6	ffvelcdmd 5701	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` M ) ) e. ZZ )
50	49	zcnd 9466	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` M ) ) e. CC )
51		eleq1w 2257	. . . . 5 |- ( n = k -> ( n e. Prime <-> k e. Prime ) )
52		oveq2 5933	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( A /L n ) = ( A /L k ) )
53		oveq1 5932	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( n pCnt M ) = ( k pCnt M ) )
54	52, 53	oveq12d 5943	. . . . 5 |- ( n = k -> ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt M ) ) = ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) )
55	51, 54	ifbieq1d 3584	. . . 4 |- ( n = k -> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt M ) ) , 1 ) = if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) , 1 ) )
56	6	peano2nnd 9022	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` M ) + 1 ) e. NN )
57		elfzuz 10113	. . . . 5 |- ( k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( ( abs ` M ) + 1 ) ) )
58		eluznn 9691	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` M ) + 1 ) e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( abs ` M ) + 1 ) ) ) -> k e. NN )
59	56, 57, 58	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> k e. NN )
60	41	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> A e. ZZ )
61		prmz 12304	. . . . . . . 8 |- ( k e. Prime -> k e. ZZ )
62	61	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> k e. ZZ )
63		lgscl 15339	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( A /L k ) e. ZZ )
64	60, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( A /L k ) e. ZZ )
65		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> k e. Prime )
66	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> M e. ZZ )
67	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> M =/= 0 )
68		pczcl 12492	. . . . . . 7 |- ( ( k e. Prime /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( k pCnt M ) e. NN0 )
69	65, 66, 67, 68	syl12anc 1247	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt M ) e. NN0 )
70		zexpcl 10663	. . . . . 6 |- ( ( ( A /L k ) e. ZZ /\ ( k pCnt M ) e. NN0 ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) e. ZZ )
71	64, 69, 70	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) e. ZZ )
72		1zzd 9370	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ -. k e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
73		prmdc 12323	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> DECID k e. Prime )
74	59, 73	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> DECID k e. Prime )
75	71, 72, 74	ifcldadc 3591	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) , 1 ) e. ZZ )
76	42, 55, 59, 75	fvmptd3 5658	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) , 1 ) )
77		zq 9717	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
78	66, 77	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> M e. QQ )
79		pcabs 12520	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. Prime /\ M e. QQ ) -> ( k pCnt ( abs ` M ) ) = ( k pCnt M ) )
80	65, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt ( abs ` M ) ) = ( k pCnt M ) )
81		elfzle1 10119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) -> ( ( abs ` M ) + 1 ) <_ k )
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> ( ( abs ` M ) + 1 ) <_ k )
83		elfzelz 10117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) -> k e. ZZ )
84		zltp1le 9397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs ` M ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) < k <-> ( ( abs ` M ) + 1 ) <_ k ) )
85	9, 83, 84	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> ( ( abs ` M ) < k <-> ( ( abs ` M ) + 1 ) <_ k ) )
86	82, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> ( abs ` M ) < k )
87		zltnle 9389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` M ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) < k <-> -. k <_ ( abs ` M ) ) )
88	9, 83, 87	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> ( ( abs ` M ) < k <-> -. k <_ ( abs ` M ) ) )
89	86, 88	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> -. k <_ ( abs ` M ) )
90	89	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> -. k <_ ( abs ` M ) )
91	66, 67, 5	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( abs ` M ) e. NN )
92		dvdsle 12026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ ( abs ` M ) e. NN ) -> ( k || ( abs ` M ) -> k <_ ( abs ` M ) ) )
93	62, 91, 92	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( k || ( abs ` M ) -> k <_ ( abs ` M ) ) )
94	90, 93	mtod 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> -. k || ( abs ` M ) )
95		pceq0 12516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. Prime /\ ( abs ` M ) e. NN ) -> ( ( k pCnt ( abs ` M ) ) = 0 <-> -. k || ( abs ` M ) ) )
96	65, 91, 95	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( ( k pCnt ( abs ` M ) ) = 0 <-> -. k || ( abs ` M ) ) )
97	94, 96	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt ( abs ` M ) ) = 0 )
98	80, 97	eqtr3d 2231	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt M ) = 0 )
99	98	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) = ( ( A /L k ) ^ 0 ) )
100	64	zcnd 9466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( A /L k ) e. CC )
101	100	exp0d 10776	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( ( A /L k ) ^ 0 ) = 1 )
102	99, 101	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) /\ k e. Prime ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) = 1 )
103	102, 74	ifeq1dadc 3592	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) , 1 ) = if ( k e. Prime , 1 , 1 ) )
104		ifiddc 3596	. . . . 5 |- (DECID k e. Prime -> if ( k e. Prime , 1 , 1 ) = 1 )
105	74, 104	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> if ( k e. Prime , 1 , 1 ) = 1 )
106	103, 105	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt M ) ) , 1 ) = 1 )
107	76, 106	eqtrd 2229	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ( ( abs ` M ) + 1 ) ... ( abs ` ( M x. N ) ) ) ) -> ( F ` k ) = 1 )
108	44	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> F : NN --> ZZ )
109		elnnuz 9655	. . . . . 6 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
110	109	biimpri 133	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> k e. NN )
111	110	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. NN )
112	108, 111	ffvelcdmd 5701	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
113	112	zcnd 9466	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
114		mulcl 8023	. . 3 |- ( ( k e. CC /\ v e. CC ) -> ( k x. v ) e. CC )
115	114	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ ( k e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( k x. v ) e. CC )
116	2, 8, 39, 50, 107, 113, 115	seq3id2 10635	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` M ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` ( M x. N ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   ifcif 3562   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   # cap 8625   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   QQcq 9710   ...cfz 10100   seqcseq 10556   ^cexp 10647   abscabs 11179   || cdvds 11969   Primecprime 12300   pCnt cpc 12478   /Lclgs 15322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-proddc 11733  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301  df-phi 12404  df-pc 12479  df-lgs 15323

This theorem is referenced by:  lgsdi  15362