ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodeq2 Unicode version
Theorem prodeq2 11700
Description: Equality theorem for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prodeq2 |- ( A. k e. A B = C -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )
Distinct variable group:   A, k
Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)
Proof of Theorem prodeq2
Dummy variables f j m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfra1 2525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k A. k e. A B = C
2 nfv 1539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k m e. ZZ
31, 2nfan 1576 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ )
4 nfv 1539 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
53, 4nfan 1576 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) )
6 nfv 1539 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k n e. ( ZZ>= ` m )
75, 6nfan 1576 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) )
8 simp-4l 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ k e. ZZ ) /\ k e. A ) -> A. k e. A B = C )
9 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ k e. ZZ ) /\ k e. A ) -> k e. A )
10 rsp 2541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. A B = C -> ( k e. A -> B = C ) )
118, 9, 10sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ k e. ZZ ) /\ k e. A ) -> B = C )
1211adantllr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ k e. ZZ ) /\ k e. A ) -> B = C )
13 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ k e. ZZ ) -> m e. ZZ )
14 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ k e. ZZ ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
15 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ k e. ZZ ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
16 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
1713, 14, 15, 16sumdc 11501 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ k e. ZZ ) -> DECID k e. A )
1817adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ k e. ZZ ) -> DECID k e. A )
1912, 18ifeq1dadc 3587 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( k e. A , C , 1 ) )
207, 19mpteq2da 4118 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) )
2120seqeq3d 10526 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
2221breq1d 4039 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
2322anbi2d 464 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
2423exbidv 1836 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
2524rexbidva 2491 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
2611, 17ifeq1dadc 3587 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( k e. A , C , 1 ) )
275, 26mpteq2da 4118 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) )
2827seqeq3d 10526 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
2928breq1d 4039 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
3025, 29anbi12d 473 . . . . . 6 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> ( ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
3130pm5.32da 452 . . . . 5 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) ) )
3231rexbidva 2491 . . . 4 |- ( A. k e. A B = C -> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) ) )
33 f1of 5500 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... m ) --> A )
3433ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> f : ( 1 ... m ) --> A )
35 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n e. NN )
36 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n <_ m )
37 simp-4r 542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> m e. NN )
3837nnzd 9438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> m e. ZZ )
39 fznn 10155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ZZ -> ( n e. ( 1 ... m ) <-> ( n e. NN /\ n <_ m ) ) )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> ( n e. ( 1 ... m ) <-> ( n e. NN /\ n <_ m ) ) )
4135, 36, 40mpbir2and 946 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n e. ( 1 ... m ) )
4234, 41ffvelcdmd 5694 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> ( f ` n ) e. A )
43 simp-4l 541 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> A. k e. A B = C )
44 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k [_ ( f ` n ) / k ]_ B
45 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k [_ ( f ` n ) / k ]_ C
4644, 45nfeq 2344 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C
47 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` n ) -> B = [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
48 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` n ) -> C = [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
4947, 48eqeq12d 2208 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` n ) -> ( B = C <-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
5046, 49rspc 2858 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` n ) e. A -> ( A. k e. A B = C -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
5142, 43, 50sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
52 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
5352nnzd 9438 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> n e. ZZ )
54 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> m e. NN )
5554nnzd 9438 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> m e. ZZ )
56 zdcle 9393 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> DECID n <_ m )
5753, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> DECID n <_ m )
5851, 57ifeq1dadc 3587 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) )
5958mpteq2dva 4119 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) )
6059seqeq3d 10526 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) )
6160fveq1d 5556 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) )
6261eqeq2d 2205 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) )
6362pm5.32da 452 . . . . . 6 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
6463exbidv 1836 . . . . 5 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
6564rexbidva 2491 . . . 4 |- ( A. k e. A B = C -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
6632, 65orbi12d 794 . . 3 |- ( A. k e. A B = C -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
6766iotabidv 5237 . 2 |- ( A. k e. A B = C -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
68 df-proddc 11694 . 2 |- prod_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
69 df-proddc 11694 . 2 |- prod_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 1 ) ) ) ` m ) ) ) )
7067, 68, 693eqtr4g 2251 1 |- ( A. k e. A B = C -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   [_csb 3080   C_ wss 3153   ifcif 3557   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   iotacio 5213   -->wf 5250   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   0cc0 7872   1c1 7873   x. cmul 7877   <_ cle 8055   # cap 8600   NNcn 8982   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   seqcseq 10518   ~~> cli 11421   prod_cprod 11693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-seqfrec 10519  df-proddc 11694
This theorem is referenced by:  prodeq2i  11705  prodeq2d  11708  gausslemma2dlem5a  15181
  Copyright terms: Public domain W3C validator