Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumss Unicode version

Theorem isumss 11221
 Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1
sumss.2
sumss.3
isumss.m
sumss.4
isumss.bdc DECID
Assertion
Ref Expression
isumss
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isumss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2141 . . . 4
2 isumss.m . . . 4
3 sumss.1 . . . . 5
4 sumss.4 . . . . 5
53, 4sstrd 3114 . . . 4
6 simpr 109 . . . . . 6
7 simpr 109 . . . . . . . 8
8 sumss.2 . . . . . . . . . 10
98ralrimiva 2510 . . . . . . . . 9
109ad2antrr 480 . . . . . . . 8
11 nfcsb1v 3042 . . . . . . . . . 10
1211nfel1 2294 . . . . . . . . 9
13 csbeq1a 3018 . . . . . . . . . 10
1413eleq1d 2210 . . . . . . . . 9
1512, 14rspc 2789 . . . . . . . 8
167, 10, 15sylc 62 . . . . . . 7
17 0cnd 7812 . . . . . . 7
18 eleq1w 2202 . . . . . . . . 9
1918dcbid 824 . . . . . . . 8 DECID DECID
20 isumss.adc . . . . . . . . 9 DECID
2120adantr 274 . . . . . . . 8 DECID
2219, 21, 6rspcdva 2800 . . . . . . 7 DECID
2316, 17, 22ifcldadc 3508 . . . . . 6
24 nfcv 2283 . . . . . . 7
25 nfv 1509 . . . . . . . 8
26 nfcv 2283 . . . . . . . 8
2725, 11, 26nfif 3507 . . . . . . 7
28 eleq1w 2202 . . . . . . . 8
2928, 13ifbieq1d 3501 . . . . . . 7
30 eqid 2141 . . . . . . 7
3124, 27, 29, 30fvmptf 5525 . . . . . 6
326, 23, 31syl2anc 409 . . . . 5
33 eqid 2141 . . . . . . . 8
3433fvmpts 5511 . . . . . . 7
357, 16, 34syl2anc 409 . . . . . 6
3635, 22ifeq1dadc 3509 . . . . 5
3732, 36eqtr4d 2177 . . . 4
388fmpttd 5587 . . . . 5
3938ffvelrnda 5567 . . . 4
401, 2, 5, 37, 20, 39zsumdc 11214 . . 3
41 dfss1 3287 . . . . . . . . . 10
423, 41sylib 121 . . . . . . . . 9
4342eleq2d 2211 . . . . . . . 8
44 elin 3266 . . . . . . . 8
4543, 44bitr3di 194 . . . . . . 7
4645adantr 274 . . . . . 6
4746ifbid 3500 . . . . 5
48 simplr 520 . . . . . . . . . 10
4916adantlr 469 . . . . . . . . . 10
50 eqid 2141 . . . . . . . . . . 11
5150fvmpts 5511 . . . . . . . . . 10
5248, 49, 51syl2anc 409 . . . . . . . . 9
53 simpr 109 . . . . . . . . . 10
5453iftrued 3488 . . . . . . . . 9
5552, 54eqtr4d 2177 . . . . . . . 8
56 simplr 520 . . . . . . . . . . 11
57 simpr 109 . . . . . . . . . . 11
5856, 57eldifd 3088 . . . . . . . . . 10
59 sumss.3 . . . . . . . . . . . 12
6059ralrimiva 2510 . . . . . . . . . . 11
6160ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10
6211nfeq1 2293 . . . . . . . . . . 11
6313eqeq1d 2150 . . . . . . . . . . 11
6462, 63rspc 2789 . . . . . . . . . 10
6558, 61, 64sylc 62 . . . . . . . . 9
66 0cnd 7812 . . . . . . . . . . 11
6765, 66eqeltrd 2218 . . . . . . . . . 10
6856, 67, 51syl2anc 409 . . . . . . . . 9
6957iffalsed 3491 . . . . . . . . 9
7065, 68, 693eqtr4d 2184 . . . . . . . 8
7122adantr 274 . . . . . . . . 9 DECID
72 exmiddc 822 . . . . . . . . 9 DECID
7371, 72syl 14 . . . . . . . 8
7455, 70, 73mpjaodan 788 . . . . . . 7
75 eleq1w 2202 . . . . . . . . 9
7675dcbid 824 . . . . . . . 8 DECID DECID
77 isumss.bdc . . . . . . . . 9 DECID
7877adantr 274 . . . . . . . 8 DECID
7976, 78, 6rspcdva 2800 . . . . . . 7 DECID
8074, 79ifeq1dadc 3509 . . . . . 6
81 ifandc 3515 . . . . . . 7 DECID
8279, 81syl 14 . . . . . 6
8380, 82eqtr4d 2177 . . . . 5
8447, 32, 833eqtr4d 2184 . . . 4
858adantlr 469 . . . . . . 7
86 simpll 519 . . . . . . . . 9
87 simplr 520 . . . . . . . . . 10
88 simpr 109 . . . . . . . . . 10
8987, 88eldifd 3088 . . . . . . . . 9
9086, 89, 59syl2anc 409 . . . . . . . 8
91 0cnd 7812 . . . . . . . 8
9290, 91eqeltrd 2218 . . . . . . 7
93 eleq1w 2202 . . . . . . . . . 10
9493dcbid 824 . . . . . . . . 9 DECID DECID
9520adantr 274 . . . . . . . . 9 DECID
964sselda 3104 . . . . . . . . 9
9794, 95, 96rspcdva 2800 . . . . . . . 8 DECID
98 exmiddc 822 . . . . . . . 8 DECID
9997, 98syl 14 . . . . . . 7
10085, 92, 99mpjaodan 788 . . . . . 6
101100fmpttd 5587 . . . . 5
102101ffvelrnda 5567 . . . 4
1031, 2, 4, 84, 77, 102zsumdc 11214 . . 3
10440, 103eqtr4d 2177 . 2
105 sumfct 11204 . . 3
1069, 105syl 14 . 2
107100ralrimiva 2510 . . 3
108 sumfct 11204 . . 3
109107, 108syl 14 . 2
110104, 106, 1093eqtr3d 2182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 698  DECID wdc 820   wceq 1332   wcel 1481  wral 2418  csb 3009   cdif 3075   cin 3077   wss 3078  cif 3481   cmpt 3999  cfv 5135  cc 7671  cc0 7673   caddc 7676  cz 9107  cuz 9379   cseq 10278   cli 11108  csu 11183 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1738  df-eu 2004  df-mo 2005  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-isom 5144  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-irdg 6279  df-frec 6300  df-1o 6325  df-oadd 6329  df-er 6441  df-en 6647  df-dom 6648  df-fin 6649  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-q 9468  df-rp 9500  df-fz 9851  df-fzo 9980  df-seqfrec 10279  df-exp 10353  df-ihash 10583  df-cj 10675  df-rsqrt 10831  df-abs 10832  df-clim 11109  df-sumdc 11184 This theorem is referenced by:  fisumss  11222  isumss2  11223  binomlem  11313
 Copyright terms: Public domain W3C validator