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Theorem isumss 11111
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
sumss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
sumss.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
isumss.adc  |-  ( ph  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
isumss.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sumss.4  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
isumss.bdc  |-  ( ph  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isumss  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k, j    B, k, j    C, j   
j, M, k    ph, k,
j
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem isumss
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2115 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 isumss.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 sumss.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
4 sumss.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
53, 4sstrd 3075 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
6 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  A )
8 sumss.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
98ralrimiva 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
109ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
11 nfcsb1v 3003 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
1211nfel1 2267 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
13 csbeq1a 2981 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
1413eleq1d 2184 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
1512, 14rspc 2755 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
)
167, 10, 15sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
17 0cnd 7723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  m  e.  A )  ->  0  e.  CC )
18 eleq1w 2176 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  m  ->  (
j  e.  A  <->  m  e.  A ) )
1918dcbid 806 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  m  e.  A )
)
20 isumss.adc . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
2120adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
2219, 21, 6rspcdva 2766 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  m  e.  A
)
2316, 17, 22ifcldadc 3469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
24 nfcv 2256 . . . . . . 7  |-  F/_ k
m
25 nfv 1491 . . . . . . . 8  |-  F/ k  m  e.  A
26 nfcv 2256 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
0
2725, 11, 26nfif 3468 . . . . . . 7  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
28 eleq1w 2176 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
2928, 13ifbieq1d 3462 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
30 eqid 2115 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
3124, 27, 29, 30fvmptf 5479 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
326, 23, 31syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
33 eqid 2115 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
3433fvmpts 5465 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  A  /\  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
357, 16, 34syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  [_ m  /  k ]_ C
)
3635, 22ifeq1dadc 3470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
3732, 36eqtr4d 2151 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
388fmpttd 5541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
3938ffvelrnda 5521 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
401, 2, 5, 37, 20, 39zsumdc 11104 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `
 seq M (  +  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) ) ) )
41 elin 3227 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( B  i^i  A )  <->  ( m  e.  B  /\  m  e.  A ) )
42 dfss1 3248 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  i^i  A )  =  A )
433, 42sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  A
)  =  A )
4443eleq2d 2185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ( B  i^i  A )  <-> 
m  e.  A ) )
4541, 44syl5rbbr 194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  A  <->  ( m  e.  B  /\  m  e.  A )
) )
4645adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( m  e.  A  <->  ( m  e.  B  /\  m  e.  A ) ) )
4746ifbid 3461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  if ( ( m  e.  B  /\  m  e.  A ) ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
48 simplr 502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  m  e.  A
)  ->  m  e.  B )
4916adantlr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  m  e.  A
)  ->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC )
50 eqid 2115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
5150fvmpts 5465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  B  /\  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5248, 49, 51syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  m  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
53 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  m  e.  A
)  ->  m  e.  A )
5453iftrued 3449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
5552, 54eqtr4d 2151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  m  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
56 simplr 502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  m  e.  B )
57 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  -.  m  e.  A )
5856, 57eldifd 3049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  m  e.  ( B  \  A ) )
59 sumss.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
6059ralrimiva 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( B  \  A ) C  =  0 )
6160ad3antrrr 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  A. k  e.  ( B  \  A
) C  =  0 )
6211nfeq1 2266 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  =  0
6313eqeq1d 2124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( C  =  0  <->  [_ m  / 
k ]_ C  =  0 ) )
6462, 63rspc 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  ( A. k  e.  ( B  \  A ) C  =  0  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  0 ) )
6558, 61, 64sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  [_ m  / 
k ]_ C  =  0 )
66 0cnd 7723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  0  e.  CC )
6765, 66eqeltrd 2192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC )
6856, 67, 51syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
6957iffalsed 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
7065, 68, 693eqtr4d 2158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
7122adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  B )  -> DECID  m  e.  A
)
72 exmiddc 804 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  m  e.  A  ->  ( m  e.  A  \/  -.  m  e.  A )
)
7371, 72syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  B )  ->  (
m  e.  A  \/  -.  m  e.  A
) )
7455, 70, 73mpjaodan 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
75 eleq1w 2176 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  m  ->  (
j  e.  B  <->  m  e.  B ) )
7675dcbid 806 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  (DECID  j  e.  B  <-> DECID  m  e.  B )
)
77 isumss.bdc . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B )
7877adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B )
7976, 78, 6rspcdva 2766 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  m  e.  B
)
8074, 79ifeq1dadc 3470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) ,  0 )  =  if ( m  e.  B ,  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) ,  0 ) )
81 ifandc 3476 . . . . . . 7  |-  (DECID  m  e.  B  ->  if (
( m  e.  B  /\  m  e.  A
) ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  if ( m  e.  B ,  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) ,  0 ) )
8279, 81syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
( m  e.  B  /\  m  e.  A
) ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  if ( m  e.  B ,  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) ,  0 ) )
8380, 82eqtr4d 2151 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) ,  0 )  =  if ( ( m  e.  B  /\  m  e.  A
) ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
8447, 32, 833eqtr4d 2158 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
858adantlr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
86 simpll 501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ph )
87 simplr 502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  k  e.  B )
88 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  A
)
8987, 88eldifd 3049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  k  e.  ( B 
\  A ) )
9086, 89, 59syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  C  =  0 )
91 0cnd 7723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  0  e.  CC )
9290, 91eqeltrd 2192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
93 eleq1w 2176 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
9493dcbid 806 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
9520adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
964sselda 3065 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9794, 95, 96rspcdva 2766 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  -> DECID  k  e.  A
)
98 exmiddc 804 . . . . . . . 8  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
9997, 98syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
) )
10085, 92, 99mpjaodan 770 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
101100fmpttd 5541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
102101ffvelrnda 5521 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
1031, 2, 4, 84, 77, 102zsumdc 11104 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `
 seq M (  +  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) ) ) )
10440, 103eqtr4d 2151 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
105 sumfct 11094 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  C )
1069, 105syl 14 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
)
107100ralrimiva 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
108 sumfct 11094 . . 3  |-  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  B  C )
109107, 108syl 14 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  B  C
)
110104, 106, 1093eqtr3d 2156 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   [_csb 2973    \ cdif 3036    i^i cin 3038    C_ wss 3039   ifcif 3442    |-> cmpt 3957   ` cfv 5091   CCcc 7582   0cc0 7584    + caddc 7587   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278    seqcseq 10169    ~~> cli 10998   sum_csu 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074
This theorem is referenced by:  fisumss  11112  isumss2  11113  binomlem  11203
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