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Theorem isumss 10747
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
sumss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
sumss.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
isumss.adc  |-  ( ph  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
isumss.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sumss.4  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
isumss.bdc  |-  ( ph  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isumss  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k, j    B, k, j    C, j   
j, M, k    ph, k,
j
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem isumss
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2088 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 isumss.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 sumss.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
4 sumss.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
53, 4sstrd 3033 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
6 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  A )
8 sumss.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
98ralrimiva 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
109ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
11 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
1211nfel1 2239 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
13 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
1413eleq1d 2156 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
1512, 14rspc 2716 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
)
167, 10, 15sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
17 0cnd 7460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  m  e.  A )  ->  0  e.  CC )
18 eleq1w 2148 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  m  ->  (
j  e.  A  <->  m  e.  A ) )
1918dcbid 786 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  m  e.  A )
)
20 isumss.adc . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
2120adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
2219, 21, 6rspcdva 2727 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  m  e.  A
)
2316, 17, 22ifcldadc 3416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
24 nfcv 2228 . . . . . . 7  |-  F/_ k
m
25 nfv 1466 . . . . . . . 8  |-  F/ k  m  e.  A
26 nfcv 2228 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
0
2725, 11, 26nfif 3415 . . . . . . 7  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
28 eleq1w 2148 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
2928, 13ifbieq1d 3409 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
30 eqid 2088 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
3124, 27, 29, 30fvmptf 5379 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
326, 23, 31syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
33 eqid 2088 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
3433fvmpts 5366 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  A  /\  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
357, 16, 34syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  [_ m  /  k ]_ C
)
3635, 22ifeq1dadc 3417 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
3732, 36eqtr4d 2123 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
388fmpttd 5437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
3938ffvelrnda 5418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
401, 2, 5, 37, 20, 39zisum 10738 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `
 seq M (  +  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) ,  CC ) ) )
41 elin 3181 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( B  i^i  A )  <->  ( m  e.  B  /\  m  e.  A ) )
42 dfss1 3202 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  i^i  A )  =  A )
433, 42sylib 120 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  A
)  =  A )
4443eleq2d 2157 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ( B  i^i  A )  <-> 
m  e.  A ) )
4541, 44syl5rbbr 193 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  A  <->  ( m  e.  B  /\  m  e.  A )
) )
4645adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( m  e.  A  <->  ( m  e.  B  /\  m  e.  A ) ) )
4746ifbid 3408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  if ( ( m  e.  B  /\  m  e.  A ) ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
48 simplr 497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  m  e.  A
)  ->  m  e.  B )
4916adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  m  e.  A
)  ->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC )
50 eqid 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
5150fvmpts 5366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  B  /\  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5248, 49, 51syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  m  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
53 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  m  e.  A
)  ->  m  e.  A )
5453iftrued 3396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
5552, 54eqtr4d 2123 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  m  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
56 simplr 497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  m  e.  B )
57 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  -.  m  e.  A )
5856, 57eldifd 3007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  m  e.  ( B  \  A ) )
59 sumss.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
6059ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( B  \  A ) C  =  0 )
6160ad3antrrr 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  A. k  e.  ( B  \  A
) C  =  0 )
6211nfeq1 2238 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  =  0
6313eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( C  =  0  <->  [_ m  / 
k ]_ C  =  0 ) )
6462, 63rspc 2716 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  ( A. k  e.  ( B  \  A ) C  =  0  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  0 ) )
6558, 61, 64sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  [_ m  / 
k ]_ C  =  0 )
66 0cnd 7460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  0  e.  CC )
6765, 66eqeltrd 2164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC )
6856, 67, 51syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
6957iffalsed 3399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
7065, 68, 693eqtr4d 2130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  m  e.  B )  /\  -.  m  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
7122adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  B )  -> DECID  m  e.  A
)
72 exmiddc 782 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  m  e.  A  ->  ( m  e.  A  \/  -.  m  e.  A )
)
7371, 72syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  B )  ->  (
m  e.  A  \/  -.  m  e.  A
) )
7455, 70, 73mpjaodan 747 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
75 eleq1w 2148 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  m  ->  (
j  e.  B  <->  m  e.  B ) )
7675dcbid 786 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  (DECID  j  e.  B  <-> DECID  m  e.  B )
)
77 isumss.bdc . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B )
7877adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B )
7976, 78, 6rspcdva 2727 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  m  e.  B
)
8074, 79ifeq1dadc 3417 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) ,  0 )  =  if ( m  e.  B ,  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) ,  0 ) )
81 ifandc 3423 . . . . . . 7  |-  (DECID  m  e.  B  ->  if (
( m  e.  B  /\  m  e.  A
) ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  if ( m  e.  B ,  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) ,  0 ) )
8279, 81syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
( m  e.  B  /\  m  e.  A
) ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  if ( m  e.  B ,  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) ,  0 ) )
8380, 82eqtr4d 2123 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) ,  0 )  =  if ( ( m  e.  B  /\  m  e.  A
) ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
8447, 32, 833eqtr4d 2130 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
858adantlr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
86 simpll 496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ph )
87 simplr 497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  k  e.  B )
88 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  A
)
8987, 88eldifd 3007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  k  e.  ( B 
\  A ) )
9086, 89, 59syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  C  =  0 )
91 0cnd 7460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  0  e.  CC )
9290, 91eqeltrd 2164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
93 eleq1w 2148 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
9493dcbid 786 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
9520adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
964sselda 3023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9794, 95, 96rspcdva 2727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  -> DECID  k  e.  A
)
98 exmiddc 782 . . . . . . . 8  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
9997, 98syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
) )
10085, 92, 99mpjaodan 747 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
101100fmpttd 5437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
102101ffvelrnda 5418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
1031, 2, 4, 84, 77, 102zisum 10738 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `
 seq M (  +  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) ,  CC ) ) )
10440, 103eqtr4d 2123 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
105 sumfct 10727 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  C )
1069, 105syl 14 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
)
107100ralrimiva 2446 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
108 sumfct 10727 . . 3  |-  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  B  C )
109107, 108syl 14 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  B  C
)
110104, 106, 1093eqtr3d 2128 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   [_csb 2931    \ cdif 2994    i^i cin 2996    C_ wss 2997   ifcif 3389    |-> cmpt 3891   ` cfv 5002   CCcc 7327   0cc0 7329    + caddc 7332   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988    seqcseq4 9816    ~~> cli 10630   sum_csu 10706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-ihash 10149  df-cj 10241  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-clim 10631  df-isum 10707
This theorem is referenced by:  fisumss  10748  isumss2  10749  binomlem  10839
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