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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > isumss | Unicode version |
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
sumss.1 |
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sumss.2 |
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sumss.3 |
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isumss.adc |
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isumss.m |
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sumss.4 |
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isumss.bdc |
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Ref | Expression |
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isumss |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2140 |
. . . 4
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2 | isumss.m |
. . . 4
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3 | sumss.1 |
. . . . 5
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4 | sumss.4 |
. . . . 5
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5 | 3, 4 | sstrd 3112 |
. . . 4
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6 | simpr 109 |
. . . . . 6
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7 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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8 | sumss.2 |
. . . . . . . . . 10
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9 | 8 | ralrimiva 2508 |
. . . . . . . . 9
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10 | 9 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . 8
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11 | nfcsb1v 3040 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 11 | nfel1 2293 |
. . . . . . . . 9
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13 | csbeq1a 3016 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 13 | eleq1d 2209 |
. . . . . . . . 9
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15 | 12, 14 | rspc 2787 |
. . . . . . . 8
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16 | 7, 10, 15 | sylc 62 |
. . . . . . 7
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17 | 0cnd 7783 |
. . . . . . 7
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18 | eleq1w 2201 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | dcbid 824 |
. . . . . . . 8
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20 | isumss.adc |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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22 | 19, 21, 6 | rspcdva 2798 |
. . . . . . 7
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23 | 16, 17, 22 | ifcldadc 3506 |
. . . . . 6
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24 | nfcv 2282 |
. . . . . . 7
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25 | nfv 1509 |
. . . . . . . 8
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26 | nfcv 2282 |
. . . . . . . 8
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27 | 25, 11, 26 | nfif 3505 |
. . . . . . 7
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28 | eleq1w 2201 |
. . . . . . . 8
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29 | 28, 13 | ifbieq1d 3499 |
. . . . . . 7
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30 | eqid 2140 |
. . . . . . 7
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31 | 24, 27, 29, 30 | fvmptf 5521 |
. . . . . 6
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32 | 6, 23, 31 | syl2anc 409 |
. . . . 5
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33 | eqid 2140 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | fvmpts 5507 |
. . . . . . 7
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35 | 7, 16, 34 | syl2anc 409 |
. . . . . 6
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36 | 35, 22 | ifeq1dadc 3507 |
. . . . 5
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37 | 32, 36 | eqtr4d 2176 |
. . . 4
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38 | 8 | fmpttd 5583 |
. . . . 5
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39 | 38 | ffvelrnda 5563 |
. . . 4
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40 | 1, 2, 5, 37, 20, 39 | zsumdc 11185 |
. . 3
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41 | dfss1 3285 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 3, 41 | sylib 121 |
. . . . . . . . 9
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43 | 42 | eleq2d 2210 |
. . . . . . . 8
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44 | elin 3264 |
. . . . . . . 8
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45 | 43, 44 | bitr3di 194 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | adantr 274 |
. . . . . 6
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47 | 46 | ifbid 3498 |
. . . . 5
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48 | simplr 520 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 16 | adantlr 469 |
. . . . . . . . . 10
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50 | eqid 2140 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | 50 | fvmpts 5507 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 48, 49, 51 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
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53 | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 53 | iftrued 3486 |
. . . . . . . . 9
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55 | 52, 54 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . . 8
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56 | simplr 520 |
. . . . . . . . . . 11
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57 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . 11
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58 | 56, 57 | eldifd 3086 |
. . . . . . . . . 10
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59 | sumss.3 |
. . . . . . . . . . . 12
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60 | 59 | ralrimiva 2508 |
. . . . . . . . . . 11
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61 | 60 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . 10
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62 | 11 | nfeq1 2292 |
. . . . . . . . . . 11
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63 | 13 | eqeq1d 2149 |
. . . . . . . . . . 11
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64 | 62, 63 | rspc 2787 |
. . . . . . . . . 10
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65 | 58, 61, 64 | sylc 62 |
. . . . . . . . 9
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66 | 0cnd 7783 |
. . . . . . . . . . 11
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67 | 65, 66 | eqeltrd 2217 |
. . . . . . . . . 10
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68 | 56, 67, 51 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
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69 | 57 | iffalsed 3489 |
. . . . . . . . 9
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70 | 65, 68, 69 | 3eqtr4d 2183 |
. . . . . . . 8
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71 | 22 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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72 | exmiddc 822 |
. . . . . . . . 9
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73 | 71, 72 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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74 | 55, 70, 73 | mpjaodan 788 |
. . . . . . 7
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75 | eleq1w 2201 |
. . . . . . . . 9
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76 | 75 | dcbid 824 |
. . . . . . . 8
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77 | isumss.bdc |
. . . . . . . . 9
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78 | 77 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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79 | 76, 78, 6 | rspcdva 2798 |
. . . . . . 7
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80 | 74, 79 | ifeq1dadc 3507 |
. . . . . 6
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81 | ifandc 3513 |
. . . . . . 7
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82 | 79, 81 | syl 14 |
. . . . . 6
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83 | 80, 82 | eqtr4d 2176 |
. . . . 5
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84 | 47, 32, 83 | 3eqtr4d 2183 |
. . . 4
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85 | 8 | adantlr 469 |
. . . . . . 7
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86 | simpll 519 |
. . . . . . . . 9
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87 | simplr 520 |
. . . . . . . . . 10
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88 | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
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89 | 87, 88 | eldifd 3086 |
. . . . . . . . 9
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90 | 86, 89, 59 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
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91 | 0cnd 7783 |
. . . . . . . 8
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92 | 90, 91 | eqeltrd 2217 |
. . . . . . 7
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93 | eleq1w 2201 |
. . . . . . . . . 10
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94 | 93 | dcbid 824 |
. . . . . . . . 9
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95 | 20 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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96 | 4 | sselda 3102 |
. . . . . . . . 9
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97 | 94, 95, 96 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . 8
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98 | exmiddc 822 |
. . . . . . . 8
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99 | 97, 98 | syl 14 |
. . . . . . 7
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100 | 85, 92, 99 | mpjaodan 788 |
. . . . . 6
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101 | 100 | fmpttd 5583 |
. . . . 5
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102 | 101 | ffvelrnda 5563 |
. . . 4
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103 | 1, 2, 4, 84, 77, 102 | zsumdc 11185 |
. . 3
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104 | 40, 103 | eqtr4d 2176 |
. 2
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105 | sumfct 11175 |
. . 3
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106 | 9, 105 | syl 14 |
. 2
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107 | 100 | ralrimiva 2508 |
. . 3
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108 | sumfct 11175 |
. . 3
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109 | 107, 108 | syl 14 |
. 2
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110 | 104, 106, 109 | 3eqtr3d 2181 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-isom 5140 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-frec 6296 df-1o 6321 df-oadd 6325 df-er 6437 df-en 6643 df-dom 6644 df-fin 6645 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-ihash 10554 df-cj 10646 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-clim 11080 df-sumdc 11155 |
This theorem is referenced by: fisumss 11193 isumss2 11194 binomlem 11284 |
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