Theorem isumss 11537

Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1	|- ( ph -> A C_ B )
sumss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
sumss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
isumss.adc	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
isumss.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumss.4	|- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
isumss.bdc	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )

Assertion

Ref	Expression
isumss	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k, j   B, k, j   C, j   j, M, k   ph, k, j

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem isumss

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		isumss.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		sumss.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
4		sumss.4	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
5	3, 4	sstrd 3190	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
6		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
7		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> m e. A )
8		sumss.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
9	8	ralrimiva 2567	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
10	9	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> A. k e. A C e. CC )
11		nfcsb1v 3114	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
12	11	nfel1 2347	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
13		csbeq1a 3090	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
14	13	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
15	12, 14	rspc 2859	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> ( A. k e. A C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
16	7, 10, 15	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
17		0cnd 8014	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. m e. A ) -> 0 e. CC )
18		eleq1w 2254	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j e. A <-> m e. A ) )
19	18	dcbid 839	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> (DECID j e. A <-> DECID m e. A ) )
20		isumss.adc	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
22	19, 21, 6	rspcdva 2870	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. A )
23	16, 17, 22	ifcldadc 3587	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
24		nfcv 2336	. . . . . . 7 |- F/_ k m
25		nfv 1539	. . . . . . . 8 |- F/ k m e. A
26		nfcv 2336	. . . . . . . 8 |- F/_ k 0
27	25, 11, 26	nfif 3586	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
28		eleq1w 2254	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
29	28, 13	ifbieq1d 3580	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k e. A , C , 0 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
30		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) )
31	24, 27, 29, 30	fvmptf 5651	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
32	6, 23, 31	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
33		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
34	33	fvmpts 5636	. . . . . . 7 |- ( ( m e. A /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
35	7, 16, 34	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
36	35, 22	ifeq1dadc 3588	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
37	32, 36	eqtr4d 2229	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) )
38	8	fmpttd 5714	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
39	38	ffvelcdmda 5694	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
40	1, 2, 5, 37, 20, 39	zsumdc 11530	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ) ) )
41		dfss1 3364	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ B <-> ( B i^i A ) = A )
42	3, 41	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B i^i A ) = A )
43	42	eleq2d 2263	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. ( B i^i A ) <-> m e. A ) )
44		elin 3343	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( B i^i A ) <-> ( m e. B /\ m e. A ) )
45	43, 44	bitr3di 195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. A <-> ( m e. B /\ m e. A ) ) )
46	45	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( m e. A <-> ( m e. B /\ m e. A ) ) )
47	46	ifbid 3579	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
48		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> m e. B )
49	16	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
50		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
51	50	fvmpts 5636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. B /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
52	48, 49, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> m e. A )
54	53	iftrued 3565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
55	52, 54	eqtr4d 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
56		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> m e. B )
57		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> -. m e. A )
58	56, 57	eldifd 3164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> m e. ( B \ A ) )
59		sumss.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
60	59	ralrimiva 2567	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ( B \ A ) C = 0 )
61	60	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> A. k e. ( B \ A ) C = 0 )
62	11	nfeq1 2346	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ m / k ]_ C = 0
63	13	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( C = 0 <-> [_ m / k ]_ C = 0 ) )
64	62, 63	rspc 2859	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( B \ A ) -> ( A. k e. ( B \ A ) C = 0 -> [_ m / k ]_ C = 0 ) )
65	58, 61, 64	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> [_ m / k ]_ C = 0 )
66		0cnd 8014	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> 0 e. CC )
67	65, 66	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
68	56, 67, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
69	57	iffalsed 3568	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
70	65, 68, 69	3eqtr4d 2236	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
71	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) -> DECID m e. A )
72		exmiddc 837	. . . . . . . . 9 |- (DECID m e. A -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
74	55, 70, 73	mpjaodan 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
75		eleq1w 2254	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j e. B <-> m e. B ) )
76	75	dcbid 839	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> (DECID j e. B <-> DECID m e. B ) )
77		isumss.bdc	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
78	77	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
79	76, 78, 6	rspcdva 2870	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. B )
80	74, 79	ifeq1dadc 3588	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) = if ( m e. B , if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) , 0 ) )
81		ifandc 3596	. . . . . . 7 |- (DECID m e. B -> if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) = if ( m e. B , if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) , 0 ) )
82	79, 81	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) = if ( m e. B , if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) , 0 ) )
83	80, 82	eqtr4d 2229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) = if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
84	47, 32, 83	3eqtr4d 2236	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) )
85	8	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
86		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> ph )
87		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. B )
88		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> -. k e. A )
89	87, 88	eldifd 3164	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. ( B \ A ) )
90	86, 89, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C = 0 )
91		0cnd 8014	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. CC )
92	90, 91	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C e. CC )
93		eleq1w 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
94	93	dcbid 839	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
95	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
96	4	sselda 3180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
97	94, 95, 96	rspcdva 2870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> DECID k e. A )
98		exmiddc 837	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
99	97, 98	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
100	85, 92, 99	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
101	100	fmpttd 5714	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
102	101	ffvelcdmda 5694	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
103	1, 2, 4, 84, 77, 102	zsumdc 11530	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ) ) )
104	40, 103	eqtr4d 2229	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
105		sumfct 11520	. . 3 |- ( A. k e. A C e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
106	9, 105	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
107	100	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
108		sumfct 11520	. . 3 |- ( A. k e. B C e. CC -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
109	107, 108	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
110	104, 106, 109	3eqtr3d 2234	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   [_csb 3081   \ cdif 3151   i^i cin 3153   C_ wss 3154   ifcif 3558   |-> cmpt 4091   ` cfv 5255   CCcc 7872   0cc0 7874   + caddc 7877   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   seqcseq 10521   ~~> cli 11424   sum_csu 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500

This theorem is referenced by:  fisumss  11538  isumss2  11539  binomlem  11629