Theorem isumss 11817

Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1	|- ( ph -> A C_ B )
sumss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
sumss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
isumss.adc	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
isumss.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumss.4	|- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
isumss.bdc	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )

Assertion

Ref	Expression
isumss	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k, j   B, k, j   C, j   j, M, k   ph, k, j

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem isumss

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		isumss.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		sumss.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
4		sumss.4	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
5	3, 4	sstrd 3211	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
6		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
7		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> m e. A )
8		sumss.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
9	8	ralrimiva 2581	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
10	9	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> A. k e. A C e. CC )
11		nfcsb1v 3134	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
12	11	nfel1 2361	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
13		csbeq1a 3110	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
14	13	eleq1d 2276	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
15	12, 14	rspc 2878	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> ( A. k e. A C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
16	7, 10, 15	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
17		0cnd 8100	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. m e. A ) -> 0 e. CC )
18		eleq1w 2268	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j e. A <-> m e. A ) )
19	18	dcbid 840	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> (DECID j e. A <-> DECID m e. A ) )
20		isumss.adc	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
22	19, 21, 6	rspcdva 2889	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. A )
23	16, 17, 22	ifcldadc 3609	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
24		nfcv 2350	. . . . . . 7 |- F/_ k m
25		nfv 1552	. . . . . . . 8 |- F/ k m e. A
26		nfcv 2350	. . . . . . . 8 |- F/_ k 0
27	25, 11, 26	nfif 3608	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
28		eleq1w 2268	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
29	28, 13	ifbieq1d 3602	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k e. A , C , 0 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
30		eqid 2207	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) )
31	24, 27, 29, 30	fvmptf 5695	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
32	6, 23, 31	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
33		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
34	33	fvmpts 5680	. . . . . . 7 |- ( ( m e. A /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
35	7, 16, 34	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
36	35, 22	ifeq1dadc 3610	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
37	32, 36	eqtr4d 2243	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) )
38	8	fmpttd 5758	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
39	38	ffvelcdmda 5738	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
40	1, 2, 5, 37, 20, 39	zsumdc 11810	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ) ) )
41		dfss1 3385	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ B <-> ( B i^i A ) = A )
42	3, 41	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B i^i A ) = A )
43	42	eleq2d 2277	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. ( B i^i A ) <-> m e. A ) )
44		elin 3364	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( B i^i A ) <-> ( m e. B /\ m e. A ) )
45	43, 44	bitr3di 195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. A <-> ( m e. B /\ m e. A ) ) )
46	45	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( m e. A <-> ( m e. B /\ m e. A ) ) )
47	46	ifbid 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
48		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> m e. B )
49	16	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
50		eqid 2207	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
51	50	fvmpts 5680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. B /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
52	48, 49, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> m e. A )
54	53	iftrued 3586	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
55	52, 54	eqtr4d 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
56		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> m e. B )
57		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> -. m e. A )
58	56, 57	eldifd 3184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> m e. ( B \ A ) )
59		sumss.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
60	59	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ( B \ A ) C = 0 )
61	60	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> A. k e. ( B \ A ) C = 0 )
62	11	nfeq1 2360	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ m / k ]_ C = 0
63	13	eqeq1d 2216	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( C = 0 <-> [_ m / k ]_ C = 0 ) )
64	62, 63	rspc 2878	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( B \ A ) -> ( A. k e. ( B \ A ) C = 0 -> [_ m / k ]_ C = 0 ) )
65	58, 61, 64	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> [_ m / k ]_ C = 0 )
66		0cnd 8100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> 0 e. CC )
67	65, 66	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
68	56, 67, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
69	57	iffalsed 3589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
70	65, 68, 69	3eqtr4d 2250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
71	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) -> DECID m e. A )
72		exmiddc 838	. . . . . . . . 9 |- (DECID m e. A -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
74	55, 70, 73	mpjaodan 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
75		eleq1w 2268	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j e. B <-> m e. B ) )
76	75	dcbid 840	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> (DECID j e. B <-> DECID m e. B ) )
77		isumss.bdc	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
78	77	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
79	76, 78, 6	rspcdva 2889	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. B )
80	74, 79	ifeq1dadc 3610	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) = if ( m e. B , if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) , 0 ) )
81		ifandc 3620	. . . . . . 7 |- (DECID m e. B -> if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) = if ( m e. B , if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) , 0 ) )
82	79, 81	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) = if ( m e. B , if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) , 0 ) )
83	80, 82	eqtr4d 2243	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) = if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
84	47, 32, 83	3eqtr4d 2250	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) )
85	8	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
86		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> ph )
87		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. B )
88		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> -. k e. A )
89	87, 88	eldifd 3184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. ( B \ A ) )
90	86, 89, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C = 0 )
91		0cnd 8100	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. CC )
92	90, 91	eqeltrd 2284	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C e. CC )
93		eleq1w 2268	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
94	93	dcbid 840	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
95	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
96	4	sselda 3201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
97	94, 95, 96	rspcdva 2889	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> DECID k e. A )
98		exmiddc 838	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
99	97, 98	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
100	85, 92, 99	mpjaodan 800	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
101	100	fmpttd 5758	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
102	101	ffvelcdmda 5738	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
103	1, 2, 4, 84, 77, 102	zsumdc 11810	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ) ) )
104	40, 103	eqtr4d 2243	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
105		sumfct 11800	. . 3 |- ( A. k e. A C e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
106	9, 105	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
107	100	ralrimiva 2581	. . 3 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
108		sumfct 11800	. . 3 |- ( A. k e. B C e. CC -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
109	107, 108	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
110	104, 106, 109	3eqtr3d 2248	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   [_csb 3101   \ cdif 3171   i^i cin 3173   C_ wss 3174   ifcif 3579   |-> cmpt 4121   ` cfv 5290   CCcc 7958   0cc0 7960   + caddc 7963   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   seqcseq 10629   ~~> cli 11704   sum_csu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by:  fisumss  11818  isumss2  11819  binomlem  11909