Theorem isumss 11398

Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1	|- ( ph -> A C_ B )
sumss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
sumss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
isumss.adc	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
isumss.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sumss.4	|- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
isumss.bdc	|- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )

Assertion

Ref	Expression
isumss	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k, j   B, k, j   C, j   j, M, k   ph, k, j

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem isumss

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		isumss.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		sumss.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
4		sumss.4	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
5	3, 4	sstrd 3165	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
6		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
7		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> m e. A )
8		sumss.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
9	8	ralrimiva 2550	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
10	9	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> A. k e. A C e. CC )
11		nfcsb1v 3090	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
12	11	nfel1 2330	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
13		csbeq1a 3066	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
14	13	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
15	12, 14	rspc 2835	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> ( A. k e. A C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
16	7, 10, 15	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
17		0cnd 7949	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. m e. A ) -> 0 e. CC )
18		eleq1w 2238	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j e. A <-> m e. A ) )
19	18	dcbid 838	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> (DECID j e. A <-> DECID m e. A ) )
20		isumss.adc	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
22	19, 21, 6	rspcdva 2846	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. A )
23	16, 17, 22	ifcldadc 3563	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
24		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ k m
25		nfv 1528	. . . . . . . 8 |- F/ k m e. A
26		nfcv 2319	. . . . . . . 8 |- F/_ k 0
27	25, 11, 26	nfif 3562	. . . . . . 7 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
28		eleq1w 2238	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
29	28, 13	ifbieq1d 3556	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k e. A , C , 0 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
30		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) )
31	24, 27, 29, 30	fvmptf 5608	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
32	6, 23, 31	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
33		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
34	33	fvmpts 5594	. . . . . . 7 |- ( ( m e. A /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
35	7, 16, 34	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
36	35, 22	ifeq1dadc 3564	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
37	32, 36	eqtr4d 2213	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) )
38	8	fmpttd 5671	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
39	38	ffvelcdmda 5651	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
40	1, 2, 5, 37, 20, 39	zsumdc 11391	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ) ) )
41		dfss1 3339	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ B <-> ( B i^i A ) = A )
42	3, 41	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B i^i A ) = A )
43	42	eleq2d 2247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. ( B i^i A ) <-> m e. A ) )
44		elin 3318	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( B i^i A ) <-> ( m e. B /\ m e. A ) )
45	43, 44	bitr3di 195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. A <-> ( m e. B /\ m e. A ) ) )
46	45	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( m e. A <-> ( m e. B /\ m e. A ) ) )
47	46	ifbid 3555	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
48		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> m e. B )
49	16	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
50		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
51	50	fvmpts 5594	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. B /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
52	48, 49, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> m e. A )
54	53	iftrued 3541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
55	52, 54	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
56		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> m e. B )
57		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> -. m e. A )
58	56, 57	eldifd 3139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> m e. ( B \ A ) )
59		sumss.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
60	59	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ( B \ A ) C = 0 )
61	60	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> A. k e. ( B \ A ) C = 0 )
62	11	nfeq1 2329	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ m / k ]_ C = 0
63	13	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( C = 0 <-> [_ m / k ]_ C = 0 ) )
64	62, 63	rspc 2835	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( B \ A ) -> ( A. k e. ( B \ A ) C = 0 -> [_ m / k ]_ C = 0 ) )
65	58, 61, 64	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> [_ m / k ]_ C = 0 )
66		0cnd 7949	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> 0 e. CC )
67	65, 66	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
68	56, 67, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
69	57	iffalsed 3544	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
70	65, 68, 69	3eqtr4d 2220	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) /\ -. m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
71	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) -> DECID m e. A )
72		exmiddc 836	. . . . . . . . 9 |- (DECID m e. A -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) -> ( m e. A \/ -. m e. A ) )
74	55, 70, 73	mpjaodan 798	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
75		eleq1w 2238	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j e. B <-> m e. B ) )
76	75	dcbid 838	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> (DECID j e. B <-> DECID m e. B ) )
77		isumss.bdc	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
78	77	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
79	76, 78, 6	rspcdva 2846	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID m e. B )
80	74, 79	ifeq1dadc 3564	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) = if ( m e. B , if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) , 0 ) )
81		ifandc 3572	. . . . . . 7 |- (DECID m e. B -> if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) = if ( m e. B , if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) , 0 ) )
82	79, 81	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) = if ( m e. B , if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) , 0 ) )
83	80, 82	eqtr4d 2213	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) = if ( ( m e. B /\ m e. A ) , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
84	47, 32, 83	3eqtr4d 2220	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) )
85	8	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
86		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> ph )
87		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. B )
88		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> -. k e. A )
89	87, 88	eldifd 3139	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. ( B \ A ) )
90	86, 89, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C = 0 )
91		0cnd 7949	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. CC )
92	90, 91	eqeltrd 2254	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C e. CC )
93		eleq1w 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
94	93	dcbid 838	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
95	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
96	4	sselda 3155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
97	94, 95, 96	rspcdva 2846	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> DECID k e. A )
98		exmiddc 836	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
99	97, 98	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
100	85, 92, 99	mpjaodan 798	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
101	100	fmpttd 5671	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
102	101	ffvelcdmda 5651	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
103	1, 2, 4, 84, 77, 102	zsumdc 11391	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ) ) )
104	40, 103	eqtr4d 2213	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
105		sumfct 11381	. . 3 |- ( A. k e. A C e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
106	9, 105	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
107	100	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
108		sumfct 11381	. . 3 |- ( A. k e. B C e. CC -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
109	107, 108	syl 14	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
110	104, 106, 109	3eqtr3d 2218	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3057   \ cdif 3126   i^i cin 3128   C_ wss 3129   ifcif 3534   |-> cmpt 4064   ` cfv 5216   CCcc 7808   0cc0 7810   + caddc 7813   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   seqcseq 10444   ~~> cli 11285   sum_csu 11360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361

This theorem is referenced by:  fisumss  11399  isumss2  11400  binomlem  11490