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Theorem sumeq2 10918
Description: Equality theorem for sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sumeq2  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2
Dummy variables  f  j  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
2 simp-4l 509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  A. k  e.  A  B  =  C )
3 nfcsb1v 2977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
4 nfcsb1v 2977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ C
53, 4nfeq 2243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ n  /  k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
6 csbeq1a 2955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
7 csbeq1a 2955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  C  =  [_ n  /  k ]_ C )
86, 7eqeq12d 2109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( B  =  C  <->  [_ n  / 
k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
) )
95, 8rspc 2730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ n  / 
k ]_ C ) )
101, 2, 9sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  [_ n  / 
k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
)
11 simpllr 502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
12 simplrl 503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )
13 simplrr 504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )
14 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
1511, 12, 13, 14sumdc 10917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  -> DECID  n  e.  A )
1610, 15ifeq1dadc 3441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
1716mpteq2dva 3950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  -> 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
1817seqeq3d 10012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
1918breq1d 3877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  -> 
(  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2019pm5.32da 441 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
21 df-3an 929 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
22 df-3an 929 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2320, 21, 223bitr4g 222 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
2423rexbidva 2388 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
25 f1of 5288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... m
) --> A )
2625ad3antlr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  f : ( 1 ... m ) --> A )
27 simplr 498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  n  e.  NN )
28 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  n  <_  m )
29 simp-4r 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  m  e.  NN )
3029nnzd 8966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  m  e.  ZZ )
31 fznn 9652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
n  e.  ( 1 ... m )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  m ) ) )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  (
n  e.  ( 1 ... m )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  m ) ) )
3327, 28, 32mpbir2and 893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  n  e.  ( 1 ... m
) )
3426, 33ffvelrnd 5474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  (
f `  n )  e.  A )
35 simp-4l 509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  A. k  e.  A  B  =  C )
36 nfcsb1v 2977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B
37 nfcsb1v 2977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C
3836, 37nfeq 2243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ ( f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
39 csbeq1a 2955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B )
40 csbeq1a 2955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  C  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C )
4139, 40eqeq12d 2109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( B  =  C  <->  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ B  =  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) )
4238, 41rspc 2730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B  =  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ C ) )
4334, 35, 42sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C )
44 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
4544nnzd 8966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
46 simpllr 502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
4746nnzd 8966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
48 zdcle 8921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  -> DECID  n  <_  m )
4945, 47, 48syl2anc 404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  -> DECID  n  <_  m )
5043, 49ifeq1dadc 3441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( n  <_  m , 
[_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) )
5150mpteq2dva 3950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
5251seqeq3d 10012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
5352fveq1d 5342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) )
5453eqeq2d 2106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  <->  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
5554pm5.32da 441 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
5655exbidv 1760 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
5756rexbidva 2388 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
5824, 57orbi12d 745 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) ) )
5958iotabidv 5035 . 2  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )  =  ( iota x
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) ) )
60 df-sumdc 10913 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
61 df-sumdc 10913 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
6259, 60, 613eqtr4g 2152 1  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 667  DECID wdc 783    /\ w3a 927    = wceq 1296   E.wex 1433    e. wcel 1445   A.wral 2370   E.wrex 2371   [_csb 2947    C_ wss 3013   ifcif 3413   class class class wbr 3867    |-> cmpt 3921   iotacio 5012   -->wf 5045   -1-1-onto->wf1o 5048   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   0cc0 7447   1c1 7448    + caddc 7450    <_ cle 7620   NNcn 8520   ZZcz 8848   ZZ>=cuz 9118   ...cfz 9573    seqcseq 10001    ~~> cli 10837   sum_csu 10912
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-sumdc 10913
This theorem is referenced by:  sumeq2i  10923  sumeq2d  10926  fsum00  11021
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