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Theorem sumeq2 11128
Description: Equality theorem for sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sumeq2 |- ( A. k e. A B = C -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )
Distinct variable group:   A, k
Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)
Proof of Theorem sumeq2
Dummy variables f j m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) /\ n e. A ) -> n e. A )
2 simp-4l 530 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) /\ n e. A ) -> A. k e. A B = C )
3 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
4 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ n / k ]_ C
53, 4nfeq 2289 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C
6 csbeq1a 3012 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
7 csbeq1a 3012 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> C = [_ n / k ]_ C )
86, 7eqeq12d 2154 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( B = C <-> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C ) )
95, 8rspc 2783 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. A -> ( A. k e. A B = C -> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C ) )
101, 2, 9sylc 62 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) /\ n e. A ) -> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C )
11 simpllr 523 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> m e. ZZ )
12 simplrl 524 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
13 simplrr 525 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
14 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
1511, 12, 13, 14sumdc 11127 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> DECID n e. A )
1610, 15ifeq1dadc 3502 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
1716mpteq2dva 4018 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
1817seqeq3d 10226 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
1918breq1d 3939 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
2019pm5.32da 447 . . . . . 6 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
21 df-3an 964 . . . . . 6 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
22 df-3an 964 . . . . . 6 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
2320, 21, 223bitr4g 222 . . . . 5 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
2423rexbidva 2434 . . . 4 |- ( A. k e. A B = C -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
25 f1of 5367 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... m ) --> A )
2625ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> f : ( 1 ... m ) --> A )
27 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n e. NN )
28 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n <_ m )
29 simp-4r 531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> m e. NN )
3029nnzd 9172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> m e. ZZ )
31 fznn 9869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ZZ -> ( n e. ( 1 ... m ) <-> ( n e. NN /\ n <_ m ) ) )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> ( n e. ( 1 ... m ) <-> ( n e. NN /\ n <_ m ) ) )
3327, 28, 32mpbir2and 928 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n e. ( 1 ... m ) )
3426, 33ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> ( f ` n ) e. A )
35 simp-4l 530 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> A. k e. A B = C )
36 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k [_ ( f ` n ) / k ]_ B
37 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k [_ ( f ` n ) / k ]_ C
3836, 37nfeq 2289 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C
39 csbeq1a 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` n ) -> B = [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
40 csbeq1a 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` n ) -> C = [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
4139, 40eqeq12d 2154 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` n ) -> ( B = C <-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
4238, 41rspc 2783 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` n ) e. A -> ( A. k e. A B = C -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
4334, 35, 42sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
44 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
4544nnzd 9172 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> n e. ZZ )
46 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> m e. NN )
4746nnzd 9172 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> m e. ZZ )
48 zdcle 9127 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> DECID n <_ m )
4945, 47, 48syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> DECID n <_ m )
5043, 49ifeq1dadc 3502 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) )
5150mpteq2dva 4018 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) )
5251seqeq3d 10226 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) )
5352fveq1d 5423 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) )
5453eqeq2d 2151 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
5554pm5.32da 447 . . . . . 6 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
5655exbidv 1797 . . . . 5 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
5756rexbidva 2434 . . . 4 |- ( A. k e. A B = C -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
5824, 57orbi12d 782 . . 3 |- ( A. k e. A B = C -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
5958iotabidv 5109 . 2 |- ( A. k e. A B = C -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
60 df-sumdc 11123 . 2 |- sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
61 df-sumdc 11123 . 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
6259, 60, 613eqtr4g 2197 1 |- ( A. k e. A B = C -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   /\ w3a 962   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   [_csb 3003   C_ wss 3071   ifcif 3474   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   iotacio 5086   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   <_ cle 7801   NNcn 8720   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790   seqcseq 10218   ~~> cli 11047   sum_csu 11122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-seqfrec 10219  df-sumdc 11123
This theorem is referenced by:  sumeq2i  11133  sumeq2d  11136  fsum00  11231
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