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Theorem sumeq2 11381
Description: Equality theorem for sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sumeq2 |- ( A. k e. A B = C -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )
Distinct variable group:   A, k
Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)
Proof of Theorem sumeq2
Dummy variables f j m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) /\ n e. A ) -> n e. A )
2 simp-4l 541 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) /\ n e. A ) -> A. k e. A B = C )
3 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
4 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ n / k ]_ C
53, 4nfeq 2337 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C
6 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
7 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> C = [_ n / k ]_ C )
86, 7eqeq12d 2202 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( B = C <-> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C ) )
95, 8rspc 2847 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. A -> ( A. k e. A B = C -> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C ) )
101, 2, 9sylc 62 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) /\ n e. A ) -> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C )
11 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> m e. ZZ )
12 simplrl 535 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
13 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
14 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
1511, 12, 13, 14sumdc 11380 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> DECID n e. A )
1610, 15ifeq1dadc 3576 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
1716mpteq2dva 4105 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
1817seqeq3d 10467 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
1918breq1d 4025 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
2019pm5.32da 452 . . . . . 6 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
21 df-3an 981 . . . . . 6 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
22 df-3an 981 . . . . . 6 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
2320, 21, 223bitr4g 223 . . . . 5 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
2423rexbidva 2484 . . . 4 |- ( A. k e. A B = C -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
25 f1of 5473 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... m ) --> A )
2625ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> f : ( 1 ... m ) --> A )
27 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n e. NN )
28 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n <_ m )
29 simp-4r 542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> m e. NN )
3029nnzd 9388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> m e. ZZ )
31 fznn 10103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ZZ -> ( n e. ( 1 ... m ) <-> ( n e. NN /\ n <_ m ) ) )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> ( n e. ( 1 ... m ) <-> ( n e. NN /\ n <_ m ) ) )
3327, 28, 32mpbir2and 945 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n e. ( 1 ... m ) )
3426, 33ffvelcdmd 5665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> ( f ` n ) e. A )
35 simp-4l 541 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> A. k e. A B = C )
36 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k [_ ( f ` n ) / k ]_ B
37 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k [_ ( f ` n ) / k ]_ C
3836, 37nfeq 2337 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C
39 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` n ) -> B = [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
40 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` n ) -> C = [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
4139, 40eqeq12d 2202 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` n ) -> ( B = C <-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
4238, 41rspc 2847 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` n ) e. A -> ( A. k e. A B = C -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
4334, 35, 42sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
44 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
4544nnzd 9388 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> n e. ZZ )
46 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> m e. NN )
4746nnzd 9388 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> m e. ZZ )
48 zdcle 9343 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> DECID n <_ m )
4945, 47, 48syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> DECID n <_ m )
5043, 49ifeq1dadc 3576 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) )
5150mpteq2dva 4105 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) )
5251seqeq3d 10467 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) )
5352fveq1d 5529 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) )
5453eqeq2d 2199 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
5554pm5.32da 452 . . . . . 6 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
5655exbidv 1835 . . . . 5 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
5756rexbidva 2484 . . . 4 |- ( A. k e. A B = C -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
5824, 57orbi12d 794 . . 3 |- ( A. k e. A B = C -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
5958iotabidv 5211 . 2 |- ( A. k e. A B = C -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
60 df-sumdc 11376 . 2 |- sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
61 df-sumdc 11376 . 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
6259, 60, 613eqtr4g 2245 1 |- ( A. k e. A B = C -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 979   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   [_csb 3069   C_ wss 3141   ifcif 3546   class class class wbr 4015   |-> cmpt 4076   iotacio 5188   -->wf 5224   -1-1-onto->wf1o 5227   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   0cc0 7825   1c1 7826   + caddc 7828   <_ cle 8007   NNcn 8933   ZZcz 9267   ZZ>=cuz 9542   ...cfz 10022   seqcseq 10459   ~~> cli 11300   sum_csu 11375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023  df-seqfrec 10460  df-sumdc 11376
This theorem is referenced by:  sumeq2i  11386  sumeq2d  11389  fsum00  11484
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