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Theorem sumeq2 11999
Description: Equality theorem for sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sumeq2 |- ( A. k e. A B = C -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )
Distinct variable group:   A, k
Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)
Proof of Theorem sumeq2
Dummy variables f j m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) /\ n e. A ) -> n e. A )
2 simp-4l 543 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) /\ n e. A ) -> A. k e. A B = C )
3 nfcsb1v 3161 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
4 nfcsb1v 3161 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ n / k ]_ C
53, 4nfeq 2383 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C
6 csbeq1a 3137 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
7 csbeq1a 3137 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> C = [_ n / k ]_ C )
86, 7eqeq12d 2246 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( B = C <-> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C ) )
95, 8rspc 2905 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. A -> ( A. k e. A B = C -> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C ) )
101, 2, 9sylc 62 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) /\ n e. A ) -> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C )
11 simpllr 536 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> m e. ZZ )
12 simplrl 537 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
13 simplrr 538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
14 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
1511, 12, 13, 14sumdc 11998 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> DECID n e. A )
1610, 15ifeq1dadc 3640 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
1716mpteq2dva 4184 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
1817seqeq3d 10780 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
1918breq1d 4103 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
2019pm5.32da 452 . . . . . 6 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
21 df-3an 1007 . . . . . 6 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
22 df-3an 1007 . . . . . 6 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
2320, 21, 223bitr4g 223 . . . . 5 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
2423rexbidva 2530 . . . 4 |- ( A. k e. A B = C -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
25 f1of 5592 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... m ) --> A )
2625ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> f : ( 1 ... m ) --> A )
27 simplr 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n e. NN )
28 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n <_ m )
29 simp-4r 544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> m e. NN )
3029nnzd 9662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> m e. ZZ )
31 fznn 10386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ZZ -> ( n e. ( 1 ... m ) <-> ( n e. NN /\ n <_ m ) ) )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> ( n e. ( 1 ... m ) <-> ( n e. NN /\ n <_ m ) ) )
3327, 28, 32mpbir2and 953 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n e. ( 1 ... m ) )
3426, 33ffvelcdmd 5791 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> ( f ` n ) e. A )
35 simp-4l 543 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> A. k e. A B = C )
36 nfcsb1v 3161 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k [_ ( f ` n ) / k ]_ B
37 nfcsb1v 3161 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k [_ ( f ` n ) / k ]_ C
3836, 37nfeq 2383 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C
39 csbeq1a 3137 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` n ) -> B = [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
40 csbeq1a 3137 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` n ) -> C = [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
4139, 40eqeq12d 2246 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` n ) -> ( B = C <-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
4238, 41rspc 2905 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` n ) e. A -> ( A. k e. A B = C -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
4334, 35, 42sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
44 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
4544nnzd 9662 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> n e. ZZ )
46 simpllr 536 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> m e. NN )
4746nnzd 9662 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> m e. ZZ )
48 zdcle 9617 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> DECID n <_ m )
4945, 47, 48syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> DECID n <_ m )
5043, 49ifeq1dadc 3640 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) )
5150mpteq2dva 4184 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) )
5251seqeq3d 10780 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) )
5352fveq1d 5650 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) )
5453eqeq2d 2243 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
5554pm5.32da 452 . . . . . 6 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
5655exbidv 1873 . . . . 5 |- ( ( A. k e. A B = C /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
5756rexbidva 2530 . . . 4 |- ( A. k e. A B = C -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
5824, 57orbi12d 801 . . 3 |- ( A. k e. A B = C -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
5958iotabidv 5316 . 2 |- ( A. k e. A B = C -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
60 df-sumdc 11994 . 2 |- sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
61 df-sumdc 11994 . 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
6259, 60, 613eqtr4g 2289 1 |- ( A. k e. A B = C -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   [_csb 3128   C_ wss 3201   ifcif 3607   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   iotacio 5291   -->wf 5329   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   <_ cle 8274   NNcn 9202   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305   seqcseq 10772   ~~> cli 11918   sum_csu 11993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-seqfrec 10773  df-sumdc 11994
This theorem is referenced by:  sumeq2i  12004  sumeq2d  12007  fsum00  12103
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