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Theorem sumeq2 11121
Description: Equality theorem for sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sumeq2  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2
Dummy variables  f  j  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
2 simp-4l 530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  A. k  e.  A  B  =  C )
3 nfcsb1v 3030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
4 nfcsb1v 3030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ C
53, 4nfeq 2287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ n  /  k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
6 csbeq1a 3007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
7 csbeq1a 3007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  C  =  [_ n  /  k ]_ C )
86, 7eqeq12d 2152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( B  =  C  <->  [_ n  / 
k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
) )
95, 8rspc 2778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ n  / 
k ]_ C ) )
101, 2, 9sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  [_ n  / 
k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
)
11 simpllr 523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
12 simplrl 524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )
13 simplrr 525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )
14 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
1511, 12, 13, 14sumdc 11120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  -> DECID  n  e.  A )
1610, 15ifeq1dadc 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
1716mpteq2dva 4013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  -> 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
1817seqeq3d 10219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
1918breq1d 3934 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  -> 
(  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2019pm5.32da 447 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
21 df-3an 964 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
22 df-3an 964 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2320, 21, 223bitr4g 222 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
2423rexbidva 2432 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
25 f1of 5360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... m
) --> A )
2625ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  f : ( 1 ... m ) --> A )
27 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  n  e.  NN )
28 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  n  <_  m )
29 simp-4r 531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  m  e.  NN )
3029nnzd 9165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  m  e.  ZZ )
31 fznn 9862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
n  e.  ( 1 ... m )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  m ) ) )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  (
n  e.  ( 1 ... m )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  m ) ) )
3327, 28, 32mpbir2and 928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  n  e.  ( 1 ... m
) )
3426, 33ffvelrnd 5549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  (
f `  n )  e.  A )
35 simp-4l 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  A. k  e.  A  B  =  C )
36 nfcsb1v 3030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B
37 nfcsb1v 3030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C
3836, 37nfeq 2287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ ( f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
39 csbeq1a 3007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B )
40 csbeq1a 3007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  C  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C )
4139, 40eqeq12d 2152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( B  =  C  <->  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ B  =  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) )
4238, 41rspc 2778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B  =  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ C ) )
4334, 35, 42sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C )
44 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
4544nnzd 9165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
46 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
4746nnzd 9165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
48 zdcle 9120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  -> DECID  n  <_  m )
4945, 47, 48syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  -> DECID  n  <_  m )
5043, 49ifeq1dadc 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( n  <_  m , 
[_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) )
5150mpteq2dva 4013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
5251seqeq3d 10219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
5352fveq1d 5416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) )
5453eqeq2d 2149 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  <->  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
5554pm5.32da 447 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
5655exbidv 1797 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
5756rexbidva 2432 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
5824, 57orbi12d 782 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) ) )
5958iotabidv 5104 . 2  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )  =  ( iota x
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) ) )
60 df-sumdc 11116 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
61 df-sumdc 11116 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
6259, 60, 613eqtr4g 2195 1  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697  DECID wdc 819    /\ w3a 962    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   [_csb 2998    C_ wss 3066   ifcif 3469   class class class wbr 3924    |-> cmpt 3984   iotacio 5081   -->wf 5114   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   0cc0 7613   1c1 7614    + caddc 7616    <_ cle 7794   NNcn 8713   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783    seqcseq 10211    ~~> cli 11040   sum_csu 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-seqfrec 10212  df-sumdc 11116
This theorem is referenced by:  sumeq2i  11126  sumeq2d  11129  fsum00  11224
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