Theorem lgsval2lem 15602

Description: Lemma for lgsval2 15608. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsval2lem	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, N

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem lgsval2lem

Dummy variables x y k v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12548	. . 3 |- ( N e. Prime -> N e. ZZ )
2		lgsval.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
3	2	lgsval 15596	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
4	1, 3	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
5		prmnn 12547	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> N e. NN )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. NN )
7	6	nnne0d 9116	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N =/= 0 )
8	7	neneqd 2399	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. N = 0 )
9	8	iffalsed 3589	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
10	6	nnnn0d 9383	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. NN0 )
11	10	nn0ge0d 9386	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> 0 <_ N )
12		0re 8107	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
13	6	nnred 9084	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. RR )
14		lenlt 8183	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
15	12, 13, 14	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. N < 0 )
17	16	intnanrd 934	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. ( N < 0 /\ A < 0 ) )
18	17	iffalsed 3589	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) = 1 )
19	13, 11	absidd 11593	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( abs ` N ) = N )
20	19	fveq2d 5603	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
21		1zzd 9434	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
22		prmuz2 12568	. . . . . . . . 9 |- ( N e. Prime -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		df-2 9130	. . . . . . . . 9 |- 2 = ( 1 + 1 )
25	24	fveq2i 5602	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
26	23, 25	eleqtrdi 2300	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
27		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> A e. ZZ )
28	1	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N e. ZZ )
29	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N =/= 0 )
30	2	lgsfcl 15600	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> ZZ )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> F : NN --> ZZ )
32		elnnuz 9720	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
33	32	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> k e. NN )
34	33	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. NN )
35	31, 34	ffvelcdmd 5739	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
36		zmulcl 9461	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
37	36	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
38	21, 26, 35, 37	seq3m1 10655	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) x. ( F ` N ) ) )
39		1t1e1 9224	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 1 ) = 1
40	39	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 1 x. 1 ) = 1 )
41		uz2m1nn 9761	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
42	23, 41	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N - 1 ) e. NN )
43		nnuz 9719	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
44	42, 43	eleqtrdi 2300	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
45		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. ZZ )
46	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
47		elfznn 10211	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> x e. NN )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. NN )
49	2	lgsfvalg 15597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) = if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) )
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) )
51		elfzelz 10182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N e. ZZ )
52	51	zred 9530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N e. RR )
53	52	ltm1d 9040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) < N )
54		peano2rem 8374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
55	52, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. RR )
56		elfzle2 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N <_ ( N - 1 ) )
57	52, 55, 56	lensymd 8229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> -. ( N - 1 ) < N )
58	53, 57	pm2.65i 640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. N e. ( 1 ... ( N - 1 ) )
59		eleq1 2270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = N -> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) <-> N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
60	58, 59	mtbiri 677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = N -> -. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
61	60	con2i 628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> -. x = N )
62	61	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> -. x = N )
63		prmuz2 12568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. Prime -> x e. ( ZZ>= ` 2 ) )
64		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> N e. Prime )
65		dvdsprm 12574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. Prime ) -> ( x || N <-> x = N ) )
66	63, 64, 65	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( x || N <-> x = N ) )
67	62, 66	mtbird 675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> -. x || N )
68		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> x e. Prime )
69	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> N e. NN )
70		pceq0 12760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( x pCnt N ) = 0 <-> -. x || N ) )
71	68, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( ( x pCnt N ) = 0 <-> -. x || N ) )
72	67, 71	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( x pCnt N ) = 0 )
73	72	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) = ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ 0 ) )
74		0zd 9419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> 0 e. ZZ )
75		1zzd 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> 1 e. ZZ )
76		neg1z 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. ZZ
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> -u 1 e. ZZ )
78		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
79		8nn 9239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 8 e. NN
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ZZ -> 8 e. NN )
81	78, 80	zmodcld 10527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
82	81	nn0zd 9528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. ZZ )
83		zdceq 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
84	82, 75, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
85		7nn 9238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 7 e. NN
86	85	nnzi 9428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 7 e. ZZ
87		zdceq 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
88	82, 86, 87	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
89		dcor 938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (DECID ( A mod 8 ) = 1 -> (DECID ( A mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
90	84, 88, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) )
91		elprg 3663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
92	81, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
93	92	dcbid 840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
94	90, 93	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
95	75, 77, 94	ifcldcd 3617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. ZZ )
96		2nn 9233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. NN
97		dvdsdc 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
98	96, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> DECID 2 || A )
99	74, 95, 98	ifcldcd 3617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ )
100	99	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ x = 2 ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ )
101		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> A e. ZZ )
102	101	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> A e. ZZ )
103		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. Prime )
104		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> -. x = 2 )
105	104	neqned 2385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x =/= 2 )
106		eldifsn 3771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( x e. Prime /\ x =/= 2 ) )
107	103, 105, 106	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. ( Prime \ { 2 } ) )
108		oddprm 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN )
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN )
110	109	nnnn0d 9383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
111		zexpcl 10736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
112	102, 110, 111	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
113	112	peano2zd 9533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
114		prmnn 12547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. Prime -> x e. NN )
115	114	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. NN )
116	113, 115	zmodcld 10527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. NN0 )
117	116	nn0zd 9528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. ZZ )
118		peano2zm 9445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. ZZ -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) e. ZZ )
119	117, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) e. ZZ )
120		prmz 12548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. Prime -> x e. ZZ )
121		2z 9435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. ZZ
122	121	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> 2 e. ZZ )
123		zdceq 9483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> DECID x = 2 )
124	120, 122, 123	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> DECID x = 2 )
125	100, 119, 124	ifcldadc 3609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. ZZ )
126	125	zcnd 9531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
127	126	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
128	127	exp0d 10849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ 0 ) = 1 )
129	73, 128	eqtrd 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) = 1 )
130		prmdc 12567	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> DECID x e. Prime )
131	48, 130	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> DECID x e. Prime )
132	129, 131	ifeq1dadc 3610	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) = if ( x e. Prime , 1 , 1 ) )
133		ifiddc 3615	. . . . . . . . . 10 |- (DECID x e. Prime -> if ( x e. Prime , 1 , 1 ) = 1 )
134	131, 133	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( x e. Prime , 1 , 1 ) = 1 )
135	50, 132, 134	3eqtrd 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` x ) = 1 )
136		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> A e. ZZ )
137	1	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N e. ZZ )
138	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N =/= 0 )
139	136, 137, 138, 30	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> F : NN --> ZZ )
140		elnnuz 9720	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
141	140	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. NN )
142	141	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> x e. NN )
143	139, 142	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
144		zmulcl 9461	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
145	144	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
146	40, 44, 135, 21, 143, 145	seq3id3 10706	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) = 1 )
147	146	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) x. ( F ` N ) ) = ( 1 x. ( F ` N ) ) )
148	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ZZ )
149	101, 148, 7, 30	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> F : NN --> ZZ )
150	149, 6	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) e. ZZ )
151	150	zcnd 9531	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) e. CC )
152	151	mulid2d 8126	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 1 x. ( F ` N ) ) = ( F ` N ) )
153	38, 147, 152	3eqtrd 2244	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = ( F ` N ) )
154	20, 153	eqtrd 2240	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) = ( F ` N ) )
155	18, 154	oveq12d 5985	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) = ( 1 x. ( F ` N ) ) )
156	2	lgsfvalg 15597	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) = if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) )
157	101, 6, 6, 156	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) = if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) )
158		iftrue 3584	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) )
159	158	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) )
160	6	nncnd 9085	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. CC )
161	160	exp1d 10850	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N ^ 1 ) = N )
162	161	oveq2d 5983	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = ( N pCnt N ) )
163		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. Prime )
164		1z 9433	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
165		pcid 12762	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Prime /\ 1 e. ZZ ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = 1 )
166	163, 164, 165	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = 1 )
167	162, 166	eqtr3d 2242	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt N ) = 1 )
168	167	oveq2d 5983	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ 1 ) )
169		eqeq1 2214	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( x = 2 <-> N = 2 ) )
170		oveq1 5974	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = N -> ( x - 1 ) = ( N - 1 ) )
171	170	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = N -> ( ( x - 1 ) / 2 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
172	171	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = N -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) = ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
173	172	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
174		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> x = N )
175	173, 174	oveq12d 5985	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) = ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) )
176	175	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) )
177	169, 176	ifbieq2d 3604	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
178	177	eleq1d 2276	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC <-> if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) e. CC ) )
179	126	ralrimiva 2581	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> A. x e. Prime if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
180	178, 179, 163	rspcdva 2889	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) e. CC )
181	180	exp1d 10850	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ 1 ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
182	168, 181	eqtrd 2240	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
183	157, 159, 182	3eqtrd 2244	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
184	155, 152, 183	3eqtrd 2244	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
185	4, 9, 184	3eqtrd 2244	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   \ cdif 3171   ifcif 3579   {csn 3643   {cpr 3644   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   -ucneg 8279   / cdiv 8780   NNcn 9071   2c2 9122   7c7 9127   8c8 9128   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165   mod cmo 10504   seqcseq 10629   ^cexp 10720   abscabs 11423   || cdvds 12213   Primecprime 12544   pCnt cpc 12722   /Lclgs 15589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-fl 10450  df-mod 10505  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-proddc 11977  df-dvds 12214  df-gcd 12390  df-prm 12545  df-phi 12648  df-pc 12723  df-lgs 15590

This theorem is referenced by:  lgsval4lem  15603  lgsval2  15608