Theorem lgsval2lem 14078

Description: Lemma for lgsval2 14084. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsval2lem	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, N

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem lgsval2lem

Dummy variables x y k v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12094	. . 3 |- ( N e. Prime -> N e. ZZ )
2		lgsval.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
3	2	lgsval 14072	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
4	1, 3	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
5		prmnn 12093	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> N e. NN )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. NN )
7	6	nnne0d 8953	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N =/= 0 )
8	7	neneqd 2368	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. N = 0 )
9	8	iffalsed 3544	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
10	6	nnnn0d 9218	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. NN0 )
11	10	nn0ge0d 9221	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> 0 <_ N )
12		0re 7948	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
13	6	nnred 8921	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. RR )
14		lenlt 8023	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
15	12, 13, 14	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. N < 0 )
17	16	intnanrd 932	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. ( N < 0 /\ A < 0 ) )
18	17	iffalsed 3544	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) = 1 )
19	13, 11	absidd 11160	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( abs ` N ) = N )
20	19	fveq2d 5515	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
21		1zzd 9269	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
22		prmuz2 12114	. . . . . . . . 9 |- ( N e. Prime -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		df-2 8967	. . . . . . . . 9 |- 2 = ( 1 + 1 )
25	24	fveq2i 5514	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
26	23, 25	eleqtrdi 2270	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
27		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> A e. ZZ )
28	1	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N e. ZZ )
29	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N =/= 0 )
30	2	lgsfcl 14076	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> ZZ )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> F : NN --> ZZ )
32		elnnuz 9553	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
33	32	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> k e. NN )
34	33	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. NN )
35	31, 34	ffvelcdmd 5648	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
36		zmulcl 9295	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
37	36	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
38	21, 26, 35, 37	seq3m1 10454	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) x. ( F ` N ) ) )
39		1t1e1 9060	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 1 ) = 1
40	39	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 1 x. 1 ) = 1 )
41		uz2m1nn 9594	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
42	23, 41	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N - 1 ) e. NN )
43		nnuz 9552	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
44	42, 43	eleqtrdi 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
45		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. ZZ )
46	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
47		elfznn 10040	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> x e. NN )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. NN )
49	2	lgsfvalg 14073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) = if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) )
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) )
51		elfzelz 10011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N e. ZZ )
52	51	zred 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N e. RR )
53	52	ltm1d 8878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) < N )
54		peano2rem 8214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
55	52, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. RR )
56		elfzle2 10014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N <_ ( N - 1 ) )
57	52, 55, 56	lensymd 8069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> -. ( N - 1 ) < N )
58	53, 57	pm2.65i 639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. N e. ( 1 ... ( N - 1 ) )
59		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = N -> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) <-> N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
60	58, 59	mtbiri 675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = N -> -. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
61	60	con2i 627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> -. x = N )
62	61	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> -. x = N )
63		prmuz2 12114	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. Prime -> x e. ( ZZ>= ` 2 ) )
64		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> N e. Prime )
65		dvdsprm 12120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. Prime ) -> ( x || N <-> x = N ) )
66	63, 64, 65	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( x || N <-> x = N ) )
67	62, 66	mtbird 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> -. x || N )
68		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> x e. Prime )
69	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> N e. NN )
70		pceq0 12304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( x pCnt N ) = 0 <-> -. x || N ) )
71	68, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( ( x pCnt N ) = 0 <-> -. x || N ) )
72	67, 71	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( x pCnt N ) = 0 )
73	72	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) = ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ 0 ) )
74		0zd 9254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> 0 e. ZZ )
75		1zzd 9269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> 1 e. ZZ )
76		neg1z 9274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. ZZ
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> -u 1 e. ZZ )
78		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
79		8nn 9075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 8 e. NN
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ZZ -> 8 e. NN )
81	78, 80	zmodcld 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
82	81	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. ZZ )
83		zdceq 9317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
84	82, 75, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
85		7nn 9074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 7 e. NN
86	85	nnzi 9263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 7 e. ZZ
87		zdceq 9317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
88	82, 86, 87	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
89		dcor 935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (DECID ( A mod 8 ) = 1 -> (DECID ( A mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
90	84, 88, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) )
91		elprg 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
92	81, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
93	92	dcbid 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
94	90, 93	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
95	75, 77, 94	ifcldcd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. ZZ )
96		2nn 9069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. NN
97		dvdsdc 11789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
98	96, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> DECID 2 || A )
99	74, 95, 98	ifcldcd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ )
100	99	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ x = 2 ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ )
101		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> A e. ZZ )
102	101	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> A e. ZZ )
103		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. Prime )
104		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> -. x = 2 )
105	104	neqned 2354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x =/= 2 )
106		eldifsn 3718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( x e. Prime /\ x =/= 2 ) )
107	103, 105, 106	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. ( Prime \ { 2 } ) )
108		oddprm 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN )
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN )
110	109	nnnn0d 9218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
111		zexpcl 10521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
112	102, 110, 111	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
113	112	peano2zd 9367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
114		prmnn 12093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. Prime -> x e. NN )
115	114	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. NN )
116	113, 115	zmodcld 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. NN0 )
117	116	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. ZZ )
118		peano2zm 9280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. ZZ -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) e. ZZ )
119	117, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) e. ZZ )
120		prmz 12094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. Prime -> x e. ZZ )
121		2z 9270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. ZZ
122	121	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> 2 e. ZZ )
123		zdceq 9317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> DECID x = 2 )
124	120, 122, 123	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> DECID x = 2 )
125	100, 119, 124	ifcldadc 3563	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. ZZ )
126	125	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
127	126	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
128	127	exp0d 10633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ 0 ) = 1 )
129	73, 128	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) = 1 )
130		prmdc 12113	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> DECID x e. Prime )
131	48, 130	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> DECID x e. Prime )
132	129, 131	ifeq1dadc 3564	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) = if ( x e. Prime , 1 , 1 ) )
133		ifiddc 3567	. . . . . . . . . 10 |- (DECID x e. Prime -> if ( x e. Prime , 1 , 1 ) = 1 )
134	131, 133	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( x e. Prime , 1 , 1 ) = 1 )
135	50, 132, 134	3eqtrd 2214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` x ) = 1 )
136		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> A e. ZZ )
137	1	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N e. ZZ )
138	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N =/= 0 )
139	136, 137, 138, 30	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> F : NN --> ZZ )
140		elnnuz 9553	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
141	140	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. NN )
142	141	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> x e. NN )
143	139, 142	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
144		zmulcl 9295	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
145	144	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
146	40, 44, 135, 21, 143, 145	seq3id3 10493	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) = 1 )
147	146	oveq1d 5884	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) x. ( F ` N ) ) = ( 1 x. ( F ` N ) ) )
148	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ZZ )
149	101, 148, 7, 30	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> F : NN --> ZZ )
150	149, 6	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) e. ZZ )
151	150	zcnd 9365	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) e. CC )
152	151	mulid2d 7966	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 1 x. ( F ` N ) ) = ( F ` N ) )
153	38, 147, 152	3eqtrd 2214	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = ( F ` N ) )
154	20, 153	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) = ( F ` N ) )
155	18, 154	oveq12d 5887	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) = ( 1 x. ( F ` N ) ) )
156	2	lgsfvalg 14073	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) = if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) )
157	101, 6, 6, 156	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) = if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) )
158		iftrue 3539	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) )
159	158	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) )
160	6	nncnd 8922	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. CC )
161	160	exp1d 10634	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N ^ 1 ) = N )
162	161	oveq2d 5885	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = ( N pCnt N ) )
163		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. Prime )
164		1z 9268	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
165		pcid 12306	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Prime /\ 1 e. ZZ ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = 1 )
166	163, 164, 165	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = 1 )
167	162, 166	eqtr3d 2212	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt N ) = 1 )
168	167	oveq2d 5885	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ 1 ) )
169		eqeq1 2184	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( x = 2 <-> N = 2 ) )
170		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = N -> ( x - 1 ) = ( N - 1 ) )
171	170	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = N -> ( ( x - 1 ) / 2 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
172	171	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = N -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) = ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
173	172	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
174		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> x = N )
175	173, 174	oveq12d 5887	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) = ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) )
176	175	oveq1d 5884	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) )
177	169, 176	ifbieq2d 3558	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
178	177	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC <-> if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) e. CC ) )
179	126	ralrimiva 2550	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> A. x e. Prime if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
180	178, 179, 163	rspcdva 2846	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) e. CC )
181	180	exp1d 10634	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ 1 ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
182	168, 181	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
183	157, 159, 182	3eqtrd 2214	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
184	155, 152, 183	3eqtrd 2214	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
185	4, 9, 184	3eqtrd 2214	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   \ cdif 3126   ifcif 3534   {csn 3591   {cpr 3592   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   x. cmul 7807   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   -ucneg 8119   / cdiv 8618   NNcn 8908   2c2 8959   7c7 8964   8c8 8965   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995   mod cmo 10308   seqcseq 10431   ^cexp 10505   abscabs 10990   || cdvds 11778   Primecprime 12090   pCnt cpc 12267   /Lclgs 14065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971  df-7 8972  df-8 8973  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-proddc 11543  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-phi 12194  df-pc 12268  df-lgs 14066

This theorem is referenced by:  lgsval4lem  14079  lgsval2  14084