Theorem lgsval2lem 14869

Description: Lemma for lgsval2 14875. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsval2lem	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, N

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem lgsval2lem

Dummy variables x y k v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12143	. . 3 |- ( N e. Prime -> N e. ZZ )
2		lgsval.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
3	2	lgsval 14863	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
4	1, 3	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
5		prmnn 12142	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> N e. NN )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. NN )
7	6	nnne0d 8994	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N =/= 0 )
8	7	neneqd 2381	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. N = 0 )
9	8	iffalsed 3559	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
10	6	nnnn0d 9259	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. NN0 )
11	10	nn0ge0d 9262	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> 0 <_ N )
12		0re 7987	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
13	6	nnred 8962	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. RR )
14		lenlt 8063	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
15	12, 13, 14	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. N < 0 )
17	16	intnanrd 933	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. ( N < 0 /\ A < 0 ) )
18	17	iffalsed 3559	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) = 1 )
19	13, 11	absidd 11208	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( abs ` N ) = N )
20	19	fveq2d 5538	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
21		1zzd 9310	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
22		prmuz2 12163	. . . . . . . . 9 |- ( N e. Prime -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		df-2 9008	. . . . . . . . 9 |- 2 = ( 1 + 1 )
25	24	fveq2i 5537	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
26	23, 25	eleqtrdi 2282	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
27		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> A e. ZZ )
28	1	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N e. ZZ )
29	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N =/= 0 )
30	2	lgsfcl 14867	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> ZZ )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> F : NN --> ZZ )
32		elnnuz 9594	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
33	32	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> k e. NN )
34	33	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. NN )
35	31, 34	ffvelcdmd 5673	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
36		zmulcl 9336	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
37	36	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
38	21, 26, 35, 37	seq3m1 10499	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) x. ( F ` N ) ) )
39		1t1e1 9101	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 1 ) = 1
40	39	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 1 x. 1 ) = 1 )
41		uz2m1nn 9635	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
42	23, 41	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N - 1 ) e. NN )
43		nnuz 9593	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
44	42, 43	eleqtrdi 2282	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
45		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. ZZ )
46	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
47		elfznn 10084	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> x e. NN )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. NN )
49	2	lgsfvalg 14864	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) = if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) )
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) )
51		elfzelz 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N e. ZZ )
52	51	zred 9405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N e. RR )
53	52	ltm1d 8919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) < N )
54		peano2rem 8254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
55	52, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. RR )
56		elfzle2 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N <_ ( N - 1 ) )
57	52, 55, 56	lensymd 8109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> -. ( N - 1 ) < N )
58	53, 57	pm2.65i 640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. N e. ( 1 ... ( N - 1 ) )
59		eleq1 2252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = N -> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) <-> N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
60	58, 59	mtbiri 676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = N -> -. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
61	60	con2i 628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> -. x = N )
62	61	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> -. x = N )
63		prmuz2 12163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. Prime -> x e. ( ZZ>= ` 2 ) )
64		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> N e. Prime )
65		dvdsprm 12169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. Prime ) -> ( x || N <-> x = N ) )
66	63, 64, 65	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( x || N <-> x = N ) )
67	62, 66	mtbird 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> -. x || N )
68		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> x e. Prime )
69	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> N e. NN )
70		pceq0 12354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( x pCnt N ) = 0 <-> -. x || N ) )
71	68, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( ( x pCnt N ) = 0 <-> -. x || N ) )
72	67, 71	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( x pCnt N ) = 0 )
73	72	oveq2d 5912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) = ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ 0 ) )
74		0zd 9295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> 0 e. ZZ )
75		1zzd 9310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> 1 e. ZZ )
76		neg1z 9315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. ZZ
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> -u 1 e. ZZ )
78		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
79		8nn 9116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 8 e. NN
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ZZ -> 8 e. NN )
81	78, 80	zmodcld 10376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
82	81	nn0zd 9403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. ZZ )
83		zdceq 9358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
84	82, 75, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
85		7nn 9115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 7 e. NN
86	85	nnzi 9304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 7 e. ZZ
87		zdceq 9358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
88	82, 86, 87	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
89		dcor 937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (DECID ( A mod 8 ) = 1 -> (DECID ( A mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
90	84, 88, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) )
91		elprg 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
92	81, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
93	92	dcbid 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
94	90, 93	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
95	75, 77, 94	ifcldcd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. ZZ )
96		2nn 9110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. NN
97		dvdsdc 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
98	96, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> DECID 2 || A )
99	74, 95, 98	ifcldcd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ )
100	99	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ x = 2 ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ )
101		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> A e. ZZ )
102	101	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> A e. ZZ )
103		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. Prime )
104		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> -. x = 2 )
105	104	neqned 2367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x =/= 2 )
106		eldifsn 3734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( x e. Prime /\ x =/= 2 ) )
107	103, 105, 106	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. ( Prime \ { 2 } ) )
108		oddprm 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN )
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN )
110	109	nnnn0d 9259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
111		zexpcl 10566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
112	102, 110, 111	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
113	112	peano2zd 9408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
114		prmnn 12142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. Prime -> x e. NN )
115	114	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. NN )
116	113, 115	zmodcld 10376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. NN0 )
117	116	nn0zd 9403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. ZZ )
118		peano2zm 9321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. ZZ -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) e. ZZ )
119	117, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) e. ZZ )
120		prmz 12143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. Prime -> x e. ZZ )
121		2z 9311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. ZZ
122	121	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> 2 e. ZZ )
123		zdceq 9358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> DECID x = 2 )
124	120, 122, 123	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> DECID x = 2 )
125	100, 119, 124	ifcldadc 3578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. ZZ )
126	125	zcnd 9406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
127	126	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
128	127	exp0d 10679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ 0 ) = 1 )
129	73, 128	eqtrd 2222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) = 1 )
130		prmdc 12162	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> DECID x e. Prime )
131	48, 130	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> DECID x e. Prime )
132	129, 131	ifeq1dadc 3579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) = if ( x e. Prime , 1 , 1 ) )
133		ifiddc 3583	. . . . . . . . . 10 |- (DECID x e. Prime -> if ( x e. Prime , 1 , 1 ) = 1 )
134	131, 133	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( x e. Prime , 1 , 1 ) = 1 )
135	50, 132, 134	3eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` x ) = 1 )
136		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> A e. ZZ )
137	1	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N e. ZZ )
138	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N =/= 0 )
139	136, 137, 138, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> F : NN --> ZZ )
140		elnnuz 9594	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
141	140	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. NN )
142	141	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> x e. NN )
143	139, 142	ffvelcdmd 5673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
144		zmulcl 9336	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
145	144	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
146	40, 44, 135, 21, 143, 145	seq3id3 10538	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) = 1 )
147	146	oveq1d 5911	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) x. ( F ` N ) ) = ( 1 x. ( F ` N ) ) )
148	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ZZ )
149	101, 148, 7, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> F : NN --> ZZ )
150	149, 6	ffvelcdmd 5673	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) e. ZZ )
151	150	zcnd 9406	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) e. CC )
152	151	mulid2d 8006	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 1 x. ( F ` N ) ) = ( F ` N ) )
153	38, 147, 152	3eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = ( F ` N ) )
154	20, 153	eqtrd 2222	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) = ( F ` N ) )
155	18, 154	oveq12d 5914	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) = ( 1 x. ( F ` N ) ) )
156	2	lgsfvalg 14864	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) = if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) )
157	101, 6, 6, 156	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) = if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) )
158		iftrue 3554	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) )
159	158	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) )
160	6	nncnd 8963	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. CC )
161	160	exp1d 10680	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N ^ 1 ) = N )
162	161	oveq2d 5912	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = ( N pCnt N ) )
163		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. Prime )
164		1z 9309	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
165		pcid 12356	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Prime /\ 1 e. ZZ ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = 1 )
166	163, 164, 165	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = 1 )
167	162, 166	eqtr3d 2224	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt N ) = 1 )
168	167	oveq2d 5912	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ 1 ) )
169		eqeq1 2196	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( x = 2 <-> N = 2 ) )
170		oveq1 5903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = N -> ( x - 1 ) = ( N - 1 ) )
171	170	oveq1d 5911	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = N -> ( ( x - 1 ) / 2 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
172	171	oveq2d 5912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = N -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) = ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
173	172	oveq1d 5911	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
174		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> x = N )
175	173, 174	oveq12d 5914	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) = ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) )
176	175	oveq1d 5911	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) )
177	169, 176	ifbieq2d 3573	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
178	177	eleq1d 2258	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC <-> if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) e. CC ) )
179	126	ralrimiva 2563	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> A. x e. Prime if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
180	178, 179, 163	rspcdva 2861	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) e. CC )
181	180	exp1d 10680	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ 1 ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
182	168, 181	eqtrd 2222	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
183	157, 159, 182	3eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
184	155, 152, 183	3eqtrd 2226	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
185	4, 9, 184	3eqtrd 2226	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   \ cdif 3141   ifcif 3549   {csn 3607   {cpr 3608   class class class wbr 4018   |-> cmpt 4079   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   RRcr 7840   0cc0 7841   1c1 7842   + caddc 7844   x. cmul 7846   < clt 8022   <_ cle 8023   - cmin 8158   -ucneg 8159   / cdiv 8659   NNcn 8949   2c2 9000   7c7 9005   8c8 9006   NN0cn0 9206   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   ...cfz 10038   mod cmo 10353   seqcseq 10476   ^cexp 10550   abscabs 11038   || cdvds 11826   Primecprime 12139   pCnt cpc 12316   /Lclgs 14856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-2o 6442  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-7 9013  df-8 9014  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-proddc 11591  df-dvds 11827  df-gcd 11976  df-prm 12140  df-phi 12243  df-pc 12317  df-lgs 14857

This theorem is referenced by:  lgsval4lem  14870  lgsval2  14875