Theorem lgsval2lem 15729

Description: Lemma for lgsval2 15735. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsval2lem	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, N

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem lgsval2lem

Dummy variables x y k v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12673	. . 3 |- ( N e. Prime -> N e. ZZ )
2		lgsval.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
3	2	lgsval 15723	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
4	1, 3	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
5		prmnn 12672	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> N e. NN )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. NN )
7	6	nnne0d 9178	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N =/= 0 )
8	7	neneqd 2421	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. N = 0 )
9	8	iffalsed 3613	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
10	6	nnnn0d 9445	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. NN0 )
11	10	nn0ge0d 9448	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> 0 <_ N )
12		0re 8169	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
13	6	nnred 9146	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. RR )
14		lenlt 8245	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
15	12, 13, 14	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. N < 0 )
17	16	intnanrd 937	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. ( N < 0 /\ A < 0 ) )
18	17	iffalsed 3613	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) = 1 )
19	13, 11	absidd 11718	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( abs ` N ) = N )
20	19	fveq2d 5639	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
21		1zzd 9496	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
22		prmuz2 12693	. . . . . . . . 9 |- ( N e. Prime -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		df-2 9192	. . . . . . . . 9 |- 2 = ( 1 + 1 )
25	24	fveq2i 5638	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
26	23, 25	eleqtrdi 2322	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
27		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> A e. ZZ )
28	1	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N e. ZZ )
29	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N =/= 0 )
30	2	lgsfcl 15727	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> ZZ )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> F : NN --> ZZ )
32		elnnuz 9783	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
33	32	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> k e. NN )
34	33	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. NN )
35	31, 34	ffvelcdmd 5779	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
36		zmulcl 9523	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
37	36	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ ( k e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( k x. v ) e. ZZ )
38	21, 26, 35, 37	seq3m1 10725	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) x. ( F ` N ) ) )
39		1t1e1 9286	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 1 ) = 1
40	39	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 1 x. 1 ) = 1 )
41		uz2m1nn 9829	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
42	23, 41	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N - 1 ) e. NN )
43		nnuz 9782	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
44	42, 43	eleqtrdi 2322	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
45		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. ZZ )
46	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
47		elfznn 10279	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> x e. NN )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. NN )
49	2	lgsfvalg 15724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) = if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) )
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) )
51		elfzelz 10250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N e. ZZ )
52	51	zred 9592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N e. RR )
53	52	ltm1d 9102	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) < N )
54		peano2rem 8436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
55	52, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. RR )
56		elfzle2 10253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N <_ ( N - 1 ) )
57	52, 55, 56	lensymd 8291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> -. ( N - 1 ) < N )
58	53, 57	pm2.65i 642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. N e. ( 1 ... ( N - 1 ) )
59		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = N -> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) <-> N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
60	58, 59	mtbiri 679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = N -> -. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
61	60	con2i 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> -. x = N )
62	61	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> -. x = N )
63		prmuz2 12693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. Prime -> x e. ( ZZ>= ` 2 ) )
64		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> N e. Prime )
65		dvdsprm 12699	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. Prime ) -> ( x || N <-> x = N ) )
66	63, 64, 65	syl2an2 596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( x || N <-> x = N ) )
67	62, 66	mtbird 677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> -. x || N )
68		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> x e. Prime )
69	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> N e. NN )
70		pceq0 12885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( x pCnt N ) = 0 <-> -. x || N ) )
71	68, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( ( x pCnt N ) = 0 <-> -. x || N ) )
72	67, 71	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( x pCnt N ) = 0 )
73	72	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) = ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ 0 ) )
74		0zd 9481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> 0 e. ZZ )
75		1zzd 9496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> 1 e. ZZ )
76		neg1z 9501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. ZZ
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> -u 1 e. ZZ )
78		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
79		8nn 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 8 e. NN
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ZZ -> 8 e. NN )
81	78, 80	zmodcld 10597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
82	81	nn0zd 9590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. ZZ )
83		zdceq 9545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
84	82, 75, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
85		7nn 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 7 e. NN
86	85	nnzi 9490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 7 e. ZZ
87		zdceq 9545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
88	82, 86, 87	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
89		dcor 941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (DECID ( A mod 8 ) = 1 -> (DECID ( A mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
90	84, 88, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) )
91		elprg 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
92	81, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
93	92	dcbid 843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. ZZ -> (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
94	90, 93	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
95	75, 77, 94	ifcldcd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. ZZ )
96		2nn 9295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. NN
97		dvdsdc 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. ZZ ) -> DECID 2 || A )
98	96, 97	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ZZ -> DECID 2 || A )
99	74, 95, 98	ifcldcd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ZZ -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ )
100	99	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ x = 2 ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ )
101		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> A e. ZZ )
102	101	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> A e. ZZ )
103		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. Prime )
104		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> -. x = 2 )
105	104	neqned 2407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x =/= 2 )
106		eldifsn 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( x e. Prime /\ x =/= 2 ) )
107	103, 105, 106	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. ( Prime \ { 2 } ) )
108		oddprm 12822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN )
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN )
110	109	nnnn0d 9445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
111		zexpcl 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
112	102, 110, 111	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
113	112	peano2zd 9595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
114		prmnn 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. Prime -> x e. NN )
115	114	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. NN )
116	113, 115	zmodcld 10597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. NN0 )
117	116	nn0zd 9590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. ZZ )
118		peano2zm 9507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. ZZ -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) e. ZZ )
119	117, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) e. ZZ )
120		prmz 12673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. Prime -> x e. ZZ )
121		2z 9497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. ZZ
122	121	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> 2 e. ZZ )
123		zdceq 9545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> DECID x = 2 )
124	120, 122, 123	syl2an2 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> DECID x = 2 )
125	100, 119, 124	ifcldadc 3633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. ZZ )
126	125	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
127	126	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
128	127	exp0d 10919	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ 0 ) = 1 )
129	73, 128	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) = 1 )
130		prmdc 12692	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> DECID x e. Prime )
131	48, 130	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> DECID x e. Prime )
132	129, 131	ifeq1dadc 3634	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) = if ( x e. Prime , 1 , 1 ) )
133		ifiddc 3639	. . . . . . . . . 10 |- (DECID x e. Prime -> if ( x e. Prime , 1 , 1 ) = 1 )
134	131, 133	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( x e. Prime , 1 , 1 ) = 1 )
135	50, 132, 134	3eqtrd 2266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` x ) = 1 )
136		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> A e. ZZ )
137	1	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N e. ZZ )
138	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> N =/= 0 )
139	136, 137, 138, 30	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> F : NN --> ZZ )
140		elnnuz 9783	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
141	140	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. NN )
142	141	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> x e. NN )
143	139, 142	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
144		zmulcl 9523	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
145	144	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
146	40, 44, 135, 21, 143, 145	seq3id3 10776	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) = 1 )
147	146	oveq1d 6028	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) x. ( F ` N ) ) = ( 1 x. ( F ` N ) ) )
148	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ZZ )
149	101, 148, 7, 30	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> F : NN --> ZZ )
150	149, 6	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) e. ZZ )
151	150	zcnd 9593	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) e. CC )
152	151	mulid2d 8188	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 1 x. ( F ` N ) ) = ( F ` N ) )
153	38, 147, 152	3eqtrd 2266	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = ( F ` N ) )
154	20, 153	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) = ( F ` N ) )
155	18, 154	oveq12d 6031	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) = ( 1 x. ( F ` N ) ) )
156	2	lgsfvalg 15724	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) = if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) )
157	101, 6, 6, 156	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) = if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) )
158		iftrue 3608	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) )
159	158	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) )
160	6	nncnd 9147	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. CC )
161	160	exp1d 10920	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N ^ 1 ) = N )
162	161	oveq2d 6029	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = ( N pCnt N ) )
163		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. Prime )
164		1z 9495	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
165		pcid 12887	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Prime /\ 1 e. ZZ ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = 1 )
166	163, 164, 165	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = 1 )
167	162, 166	eqtr3d 2264	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt N ) = 1 )
168	167	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ 1 ) )
169		eqeq1 2236	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( x = 2 <-> N = 2 ) )
170		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = N -> ( x - 1 ) = ( N - 1 ) )
171	170	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = N -> ( ( x - 1 ) / 2 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
172	171	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = N -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) = ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
173	172	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
174		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> x = N )
175	173, 174	oveq12d 6031	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) = ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) )
176	175	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) )
177	169, 176	ifbieq2d 3628	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
178	177	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC <-> if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) e. CC ) )
179	126	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> A. x e. Prime if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
180	178, 179, 163	rspcdva 2913	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) e. CC )
181	180	exp1d 10920	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ 1 ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
182	168, 181	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
183	157, 159, 182	3eqtrd 2266	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
184	155, 152, 183	3eqtrd 2266	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
185	4, 9, 184	3eqtrd 2266	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   \ cdif 3195   ifcif 3603   {csn 3667   {cpr 3668   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   < clt 8204   <_ cle 8205   - cmin 8340   -ucneg 8341   / cdiv 8842   NNcn 9133   2c2 9184   7c7 9189   8c8 9190   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   ...cfz 10233   mod cmo 10574   seqcseq 10699   ^cexp 10790   abscabs 11548   || cdvds 12338   Primecprime 12669   pCnt cpc 12847   /Lclgs 15716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-proddc 12102  df-dvds 12339  df-gcd 12515  df-prm 12670  df-phi 12773  df-pc 12848  df-lgs 15717

This theorem is referenced by:  lgsval4lem  15730  lgsval2  15735