Theorem ifeq1dadc 3556

Description: Conditional equality. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifeq1dadc.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 = 𝐵)
ifeq1dadc.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
ifeq1dadc	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜓, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifeq1dadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifeq1dadc.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 = 𝐵)
2	1	ifeq1d 3543	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜓, 𝐵, 𝐶))
3		iffalse 3534	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = 𝐶)
4		iffalse 3534	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
5	3, 4	eqtr4d 2206	. . 3 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜓, 𝐵, 𝐶))
6	5	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜓, 𝐵, 𝐶))
7		ifeq1dadc.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝜓)
8		exmiddc 831	. . 3 ⊢ (DECID 𝜓 → (𝜓 ∨ ¬ 𝜓))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ∨ ¬ 𝜓))
10	2, 6, 9	mpjaodan 793	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜓, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348  ifcif 3526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-if 3527

This theorem is referenced by:  sumeq2  11322  isumss  11354  prodeq2  11520  lgsval2lem  13705  lgsval4lem  13706  lgsneg  13719  lgsmod  13721  lgsdilem2  13731