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Theorem lgsmod 16025
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction mod n when n is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( A /L N ) )
Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A mod N ) e. NN0 )
213adant3 1044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( A mod N ) e. NN0 )
32nn0zd 9716 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( A mod N ) e. ZZ )
43ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A mod N ) e. ZZ )
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> n e. Prime )
65adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. Prime )
7 simpl3 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> -. 2 || N )
8 breq1 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = 2 -> ( n || N <-> 2 || N ) )
98notbid 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 2 -> ( -. n || N <-> -. 2 || N ) )
107, 9syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( n = 2 -> -. n || N ) )
1110necon2ad 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( n || N -> n =/= 2 ) )
1211imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n =/= 2 )
13 eldifsn 3825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( n e. Prime /\ n =/= 2 ) )
146, 12, 13sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. ( Prime \ { 2 } ) )
15 oddprm 12982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN )
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN )
1716nnnn0d 9570 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
18 zexpcl 10940 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
194, 17, 18syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
20 zq 9976 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
22 simpll1 1063 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> A e. ZZ )
23 zexpcl 10940 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
2422, 17, 23syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
25 zq 9976 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
27 1z 9620 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
28 zq 9976 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
2927, 28mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> 1 e. QQ )
30 prmz 12833 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> n e. ZZ )
3130ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. ZZ )
32 zq 9976 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> n e. QQ )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. QQ )
34 prmnn 12832 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
3534ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. NN )
3635nngt0d 9298 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> 0 < n )
37 simp2 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> N e. NN )
3837ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N e. NN )
3938nnzd 9717 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N e. ZZ )
404, 22zsubcld 9723 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) - A ) e. ZZ )
41 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n || N )
42 zq 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
4322, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> A e. QQ )
44 zq 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
4539, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N e. QQ )
4638nngt0d 9298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> 0 < N )
47 modqabs2 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) )
49 moddvds 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( A mod N ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) <-> N || ( ( A mod N ) - A ) ) )
5038, 4, 22, 49syl3anc 1274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) <-> N || ( ( A mod N ) - A ) ) )
5148, 50mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N || ( ( A mod N ) - A ) )
5231, 39, 40, 41, 51dvdstrd 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n || ( ( A mod N ) - A ) )
53 moddvds 12510 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ ( A mod N ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( A mod N ) mod n ) = ( A mod n ) <-> n || ( ( A mod N ) - A ) ) )
5435, 4, 22, 53syl3anc 1274 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) mod n ) = ( A mod n ) <-> n || ( ( A mod N ) - A ) ) )
5552, 54mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) mod n ) = ( A mod n ) )
564, 22, 17, 33, 36, 55modqexp 11053 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) mod n ) = ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) mod n ) )
5721, 26, 29, 33, 36, 56modqadd1 10747 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) = ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) )
5857oveq1d 6073 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
59 lgsval3 16017 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ n e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( A mod N ) /L n ) = ( ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
604, 14, 59syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) = ( ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
61 lgsval3 16017 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( A /L n ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
6222, 14, 61syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A /L n ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
6358, 60, 623eqtr4d 2277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) = ( A /L n ) )
6463oveq1d 6073 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
653ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( A mod N ) e. ZZ )
6630ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> n e. ZZ )
67 lgscl 16013 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) /L n ) e. ZZ )
6865, 66, 67syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) e. ZZ )
6968zcnd 9719 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) e. CC )
7069exp0d 11054 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ 0 ) = 1 )
71 simpll1 1063 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> A e. ZZ )
72 lgscl 16013 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( A /L n ) e. ZZ )
7371, 66, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( A /L n ) e. ZZ )
7473zcnd 9719 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( A /L n ) e. CC )
7574exp0d 11054 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A /L n ) ^ 0 ) = 1 )
7670, 75eqtr4d 2270 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ 0 ) = ( ( A /L n ) ^ 0 ) )
7737adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> N e. NN )
78 pceq0 13045 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( n pCnt N ) = 0 <-> -. n || N ) )
795, 77, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( ( n pCnt N ) = 0 <-> -. n || N ) )
8079biimpar 297 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( n pCnt N ) = 0 )
8180oveq2d 6074 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ 0 ) )
8280oveq2d 6074 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ 0 ) )
8376, 81, 823eqtr4d 2277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
8434adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> n e. NN )
8577nnzd 9717 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> N e. ZZ )
86 dvdsdc 12509 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID n || N )
8784, 85, 86syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> DECID n || N )
88 exmiddc 844 . . . . . . . . 9 |- (DECID n || N -> ( n || N \/ -. n || N ) )
8987, 88syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( n || N \/ -. n || N ) )
9064, 83, 89mpjaodan 806 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
9190adantlr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. NN ) /\ n e. Prime ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
92 prmdc 12852 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> DECID n e. Prime )
9392adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. NN ) -> DECID n e. Prime )
9491, 93ifeq1dadc 3657 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. NN ) -> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) = if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
9594mpteq2dva 4205 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) )
9695seqeq3d 10841 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) )
9796fveq1d 5677 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
98 eqid 2234 . . . 4 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
9998lgsval4a 16021 . . 3 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
1003, 37, 99syl2anc 411 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
101 eqid 2234 . . . 4 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
102101lgsval4a 16021 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
1031023adant3 1044 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
10497, 100, 1033eqtr4d 2277 1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( A /L N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   \ cdif 3211   ifcif 3624   {csn 3694   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   QQcq 9969   mod cmo 10708   seqcseq 10833   ^cexp 10924   || cdvds 12498   Primecprime 12829   pCnt cpc 13007   /Lclgs 15996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-proddc 12262  df-dvds 12499  df-gcd 12675  df-prm 12830  df-phi 12933  df-pc 13008  df-lgs 15997
This theorem is referenced by:  lgsmodeq  16044
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