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Theorem lgsmod 13527
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction mod n when n is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( A /L N ) )
Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A mod N ) e. NN0 )
213adant3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( A mod N ) e. NN0 )
32nn0zd 9307 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( A mod N ) e. ZZ )
43ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A mod N ) e. ZZ )
5 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> n e. Prime )
65adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. Prime )
7 simpl3 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> -. 2 || N )
8 breq1 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = 2 -> ( n || N <-> 2 || N ) )
98notbid 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 2 -> ( -. n || N <-> -. 2 || N ) )
107, 9syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( n = 2 -> -. n || N ) )
1110necon2ad 2392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( n || N -> n =/= 2 ) )
1211imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n =/= 2 )
13 eldifsn 3702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( n e. Prime /\ n =/= 2 ) )
146, 12, 13sylanbrc 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. ( Prime \ { 2 } ) )
15 oddprm 12187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN )
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN )
1716nnnn0d 9163 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
18 zexpcl 10466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
194, 17, 18syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
20 zq 9560 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
22 simpll1 1026 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> A e. ZZ )
23 zexpcl 10466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
2422, 17, 23syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
25 zq 9560 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
27 1z 9213 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
28 zq 9560 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
2927, 28mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> 1 e. QQ )
30 prmz 12039 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> n e. ZZ )
3130ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. ZZ )
32 zq 9560 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> n e. QQ )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. QQ )
34 prmnn 12038 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
3534ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. NN )
3635nngt0d 8897 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> 0 < n )
37 simp2 988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> N e. NN )
3837ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N e. NN )
3938nnzd 9308 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N e. ZZ )
404, 22zsubcld 9314 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) - A ) e. ZZ )
41 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n || N )
42 zq 9560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
4322, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> A e. QQ )
44 zq 9560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
4539, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N e. QQ )
4638nngt0d 8897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> 0 < N )
47 modqabs2 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) )
49 moddvds 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( A mod N ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) <-> N || ( ( A mod N ) - A ) ) )
5038, 4, 22, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) <-> N || ( ( A mod N ) - A ) ) )
5148, 50mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N || ( ( A mod N ) - A ) )
5231, 39, 40, 41, 51dvdstrd 11766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n || ( ( A mod N ) - A ) )
53 moddvds 11735 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ ( A mod N ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( A mod N ) mod n ) = ( A mod n ) <-> n || ( ( A mod N ) - A ) ) )
5435, 4, 22, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) mod n ) = ( A mod n ) <-> n || ( ( A mod N ) - A ) ) )
5552, 54mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) mod n ) = ( A mod n ) )
564, 22, 17, 33, 36, 55modqexp 10577 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) mod n ) = ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) mod n ) )
5721, 26, 29, 33, 36, 56modqadd1 10292 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) = ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) )
5857oveq1d 5856 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
59 lgsval3 13519 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ n e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( A mod N ) /L n ) = ( ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
604, 14, 59syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) = ( ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
61 lgsval3 13519 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( A /L n ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
6222, 14, 61syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A /L n ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
6358, 60, 623eqtr4d 2208 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) = ( A /L n ) )
6463oveq1d 5856 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
653ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( A mod N ) e. ZZ )
6630ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> n e. ZZ )
67 lgscl 13515 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) /L n ) e. ZZ )
6865, 66, 67syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) e. ZZ )
6968zcnd 9310 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) e. CC )
7069exp0d 10578 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ 0 ) = 1 )
71 simpll1 1026 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> A e. ZZ )
72 lgscl 13515 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( A /L n ) e. ZZ )
7371, 66, 72syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( A /L n ) e. ZZ )
7473zcnd 9310 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( A /L n ) e. CC )
7574exp0d 10578 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A /L n ) ^ 0 ) = 1 )
7670, 75eqtr4d 2201 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ 0 ) = ( ( A /L n ) ^ 0 ) )
7737adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> N e. NN )
78 pceq0 12249 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( n pCnt N ) = 0 <-> -. n || N ) )
795, 77, 78syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( ( n pCnt N ) = 0 <-> -. n || N ) )
8079biimpar 295 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( n pCnt N ) = 0 )
8180oveq2d 5857 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ 0 ) )
8280oveq2d 5857 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ 0 ) )
8376, 81, 823eqtr4d 2208 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
8434adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> n e. NN )
8577nnzd 9308 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> N e. ZZ )
86 dvdsdc 11734 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID n || N )
8784, 85, 86syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> DECID n || N )
88 exmiddc 826 . . . . . . . . 9 |- (DECID n || N -> ( n || N \/ -. n || N ) )
8987, 88syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( n || N \/ -. n || N ) )
9064, 83, 89mpjaodan 788 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
9190adantlr 469 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. NN ) /\ n e. Prime ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
92 prmdc 12058 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> DECID n e. Prime )
9392adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. NN ) -> DECID n e. Prime )
9491, 93ifeq1dadc 3549 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. NN ) -> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) = if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
9594mpteq2dva 4071 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) )
9695seqeq3d 10384 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) )
9796fveq1d 5487 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
98 eqid 2165 . . . 4 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
9998lgsval4a 13523 . . 3 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
1003, 37, 99syl2anc 409 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
101 eqid 2165 . . . 4 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
102101lgsval4a 13523 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
1031023adant3 1007 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
10497, 100, 1033eqtr4d 2208 1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( A /L N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2335   \ cdif 3112   ifcif 3519   {csn 3575   class class class wbr 3981   |-> cmpt 4042   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   0cc0 7749   1c1 7750   + caddc 7752   x. cmul 7754   < clt 7929   - cmin 8065   / cdiv 8564   NNcn 8853   2c2 8904   NN0cn0 9110   ZZcz 9187   QQcq 9553   mod cmo 10253   seqcseq 10376   ^cexp 10450   || cdvds 11723   Primecprime 12035   pCnt cpc 12212   /Lclgs 13498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-xor 1366  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-irdg 6334  df-frec 6355  df-1o 6380  df-2o 6381  df-oadd 6384  df-er 6497  df-en 6703  df-dom 6704  df-fin 6705  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-5 8915  df-6 8916  df-7 8917  df-8 8918  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-ihash 10685  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-clim 11216  df-proddc 11488  df-dvds 11724  df-gcd 11872  df-prm 12036  df-phi 12139  df-pc 12213  df-lgs 13499
This theorem is referenced by:  lgsmodeq  13546
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