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Theorem lgsmod 16059
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction mod n when n is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( A /L N ) )
Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A mod N ) e. NN0 )
213adant3 1048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( A mod N ) e. NN0 )
32nn0zd 9745 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( A mod N ) e. ZZ )
43ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A mod N ) e. ZZ )
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> n e. Prime )
65adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. Prime )
7 simpl3 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> -. 2 || N )
8 breq1 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = 2 -> ( n || N <-> 2 || N ) )
98notbid 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 2 -> ( -. n || N <-> -. 2 || N ) )
107, 9syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( n = 2 -> -. n || N ) )
1110necon2ad 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( n || N -> n =/= 2 ) )
1211imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n =/= 2 )
13 eldifsn 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( n e. Prime /\ n =/= 2 ) )
146, 12, 13sylanbrc 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. ( Prime \ { 2 } ) )
15 oddprm 13016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN )
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN )
1716nnnn0d 9599 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
18 zexpcl 10969 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
194, 17, 18syl2anc 415 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
20 zq 10005 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
22 simpll1 1067 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> A e. ZZ )
23 zexpcl 10969 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
2422, 17, 23syl2anc 415 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
25 zq 10005 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
27 1z 9649 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
28 zq 10005 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
2927, 28mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> 1 e. QQ )
30 prmz 12867 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> n e. ZZ )
3130ad2antlr 493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. ZZ )
32 zq 10005 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> n e. QQ )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. QQ )
34 prmnn 12866 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
3534ad2antlr 493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. NN )
3635nngt0d 9327 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> 0 < n )
37 simp2 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> N e. NN )
3837ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N e. NN )
3938nnzd 9746 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N e. ZZ )
404, 22zsubcld 9752 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) - A ) e. ZZ )
41 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n || N )
42 zq 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
4322, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> A e. QQ )
44 zq 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
4539, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N e. QQ )
4638nngt0d 9327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> 0 < N )
47 modqabs2 10773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) )
49 moddvds 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( A mod N ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) <-> N || ( ( A mod N ) - A ) ) )
5038, 4, 22, 49syl3anc 1278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) <-> N || ( ( A mod N ) - A ) ) )
5148, 50mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N || ( ( A mod N ) - A ) )
5231, 39, 40, 41, 51dvdstrd 12575 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n || ( ( A mod N ) - A ) )
53 moddvds 12544 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ ( A mod N ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( A mod N ) mod n ) = ( A mod n ) <-> n || ( ( A mod N ) - A ) ) )
5435, 4, 22, 53syl3anc 1278 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) mod n ) = ( A mod n ) <-> n || ( ( A mod N ) - A ) ) )
5552, 54mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) mod n ) = ( A mod n ) )
564, 22, 17, 33, 36, 55modqexp 11082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) mod n ) = ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) mod n ) )
5721, 26, 29, 33, 36, 56modqadd1 10776 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) = ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) )
5857oveq1d 6090 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
59 lgsval3 16051 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ n e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( A mod N ) /L n ) = ( ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
604, 14, 59syl2anc 415 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) = ( ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
61 lgsval3 16051 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( A /L n ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
6222, 14, 61syl2anc 415 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A /L n ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
6358, 60, 623eqtr4d 2281 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) = ( A /L n ) )
6463oveq1d 6090 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
653ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( A mod N ) e. ZZ )
6630ad2antlr 493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> n e. ZZ )
67 lgscl 16047 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) /L n ) e. ZZ )
6865, 66, 67syl2anc 415 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) e. ZZ )
6968zcnd 9748 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) e. CC )
7069exp0d 11083 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ 0 ) = 1 )
71 simpll1 1067 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> A e. ZZ )
72 lgscl 16047 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( A /L n ) e. ZZ )
7371, 66, 72syl2anc 415 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( A /L n ) e. ZZ )
7473zcnd 9748 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( A /L n ) e. CC )
7574exp0d 11083 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A /L n ) ^ 0 ) = 1 )
7670, 75eqtr4d 2274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ 0 ) = ( ( A /L n ) ^ 0 ) )
7737adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> N e. NN )
78 pceq0 13079 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( n pCnt N ) = 0 <-> -. n || N ) )
795, 77, 78syl2anc 415 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( ( n pCnt N ) = 0 <-> -. n || N ) )
8079biimpar 297 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( n pCnt N ) = 0 )
8180oveq2d 6091 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ 0 ) )
8280oveq2d 6091 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ 0 ) )
8376, 81, 823eqtr4d 2281 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
8434adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> n e. NN )
8577nnzd 9746 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> N e. ZZ )
86 dvdsdc 12543 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID n || N )
8784, 85, 86syl2anc 415 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> DECID n || N )
88 exmiddc 848 . . . . . . . . 9 |- (DECID n || N -> ( n || N \/ -. n || N ) )
8987, 88syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( n || N \/ -. n || N ) )
9064, 83, 89mpjaodan 810 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
9190adantlr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. NN ) /\ n e. Prime ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
92 prmdc 12886 . . . . . . 7 |- ( n e. NN -> DECID n e. Prime )
9392adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. NN ) -> DECID n e. Prime )
9491, 93ifeq1dadc 3668 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. NN ) -> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) = if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
9594mpteq2dva 4216 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) )
9695seqeq3d 10870 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) )
9796fveq1d 5692 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
98 eqid 2238 . . . 4 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
9998lgsval4a 16055 . . 3 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
1003, 37, 99syl2anc 415 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
101 eqid 2238 . . . 4 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
102101lgsval4a 16055 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
1031023adant3 1048 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
10497, 100, 1033eqtr4d 2281 1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( A /L N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   \ cdif 3217   ifcif 3635   {csn 3705   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   - cmin 8487   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   QQcq 9998   mod cmo 10737   seqcseq 10862   ^cexp 10953   || cdvds 12532   Primecprime 12863   pCnt cpc 13041   /Lclgs 16030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-proddc 12296  df-dvds 12533  df-gcd 12709  df-prm 12864  df-phi 12967  df-pc 13042  df-lgs 16031
This theorem is referenced by:  lgsmodeq  16078
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