Theorem isbasis3g 14518

Description: Express the predicate "the set B is a basis for a topology". Definition of basis in [Munkres] p. 78. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
isbasis3g	|- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) ) )

Distinct variable group:   x, w, y, z, B

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasis2g 14517	. 2 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
2		elssuni 3878	. . . . . 6 |- ( x e. B -> x C_ U. B )
3	2	rgen 2559	. . . . 5 |- A. x e. B x C_ U. B
4		eluni2 3854	. . . . . . 7 |- ( x e. U. B <-> E. y e. B x e. y )
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( x e. U. B -> E. y e. B x e. y )
6	5	rgen 2559	. . . . 5 |- A. x e. U. B E. y e. B x e. y
7	3, 6	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y )
8	7	biantrur 303	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y ) /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
9		df-3an 983	. . 3 |- ( ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) <-> ( ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y ) /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
10	8, 9	bitr4i 187	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
11	1, 10	bitrdi 196	1 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   i^i cin 3165   C_ wss 3166   U.cuni 3850   TopBasesctb 14514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-uni 3851  df-bases 14515

This theorem is referenced by: (None)