Theorem isbasis3g 11896

Description: Express the predicate "the set B is a basis for a topology". Definition of basis in [Munkres] p. 78. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
isbasis3g	|- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) ) )

Distinct variable group:   x, w, y, z, B

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasis2g 11895	. 2 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
2		elssuni 3703	. . . . . 6 |- ( x e. B -> x C_ U. B )
3	2	rgen 2439	. . . . 5 |- A. x e. B x C_ U. B
4		eluni2 3679	. . . . . . 7 |- ( x e. U. B <-> E. y e. B x e. y )
5	4	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( x e. U. B -> E. y e. B x e. y )
6	5	rgen 2439	. . . . 5 |- A. x e. U. B E. y e. B x e. y
7	3, 6	pm3.2i 267	. . . 4 |- ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y )
8	7	biantrur 298	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y ) /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
9		df-3an 929	. . 3 |- ( ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) <-> ( ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y ) /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
10	8, 9	bitr4i 186	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
11	1, 10	syl6bb 195	1 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 927   e. wcel 1445   A.wral 2370   E.wrex 2371   i^i cin 3012   C_ wss 3013   U.cuni 3675   TopBasesctb 11892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-uni 3676  df-bases 11893

This theorem is referenced by: (None)