Theorem isbasis3g 12838

Description: Express the predicate "the set B is a basis for a topology". Definition of basis in [Munkres] p. 78. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
isbasis3g	|- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) ) )

Distinct variable group:   x, w, y, z, B

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasis2g 12837	. 2 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
2		elssuni 3824	. . . . . 6 |- ( x e. B -> x C_ U. B )
3	2	rgen 2523	. . . . 5 |- A. x e. B x C_ U. B
4		eluni2 3800	. . . . . . 7 |- ( x e. U. B <-> E. y e. B x e. y )
5	4	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( x e. U. B -> E. y e. B x e. y )
6	5	rgen 2523	. . . . 5 |- A. x e. U. B E. y e. B x e. y
7	3, 6	pm3.2i 270	. . . 4 |- ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y )
8	7	biantrur 301	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y ) /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
9		df-3an 975	. . 3 |- ( ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) <-> ( ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y ) /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
10	8, 9	bitr4i 186	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
11	1, 10	bitrdi 195	1 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> ( A. x e. B x C_ U. B /\ A. x e. U. B E. y e. B x e. y /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   i^i cin 3120   C_ wss 3121   U.cuni 3796   TopBasesctb 12834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-uni 3797  df-bases 12835

This theorem is referenced by: (None)