Theorem eluni2 3839

Description: Membership in class union. Restricted quantifier version. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
eluni2	|- ( A e. U. B <-> E. x e. B A e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem eluni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exancom 1619	. 2 |- ( E. x ( A e. x /\ x e. B ) <-> E. x ( x e. B /\ A e. x ) )
2		eluni 3838	. 2 |- ( A e. U. B <-> E. x ( A e. x /\ x e. B ) )
3		df-rex 2478	. 2 |- ( E. x e. B A e. x <-> E. x ( x e. B /\ A e. x ) )
4	1, 2, 3	3bitr4i 212	1 |- ( A e. U. B <-> E. x e. B A e. x )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1503   e. wcel 2164   E.wrex 2473   U.cuni 3835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-uni 3836

This theorem is referenced by:  uni0b  3860  intssunim  3892  iuncom4  3919  inuni  4184  ssorduni  4519  unon  4543  cnvuni  4848  chfnrn  5669  zrhval  14105  isbasis3g  14214  eltg2b  14222  tgcl  14232  epttop  14258  txuni2  14424