Theorem eluni2 3843

Description: Membership in class union. Restricted quantifier version. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
eluni2	|- ( A e. U. B <-> E. x e. B A e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem eluni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exancom 1622	. 2 |- ( E. x ( A e. x /\ x e. B ) <-> E. x ( x e. B /\ A e. x ) )
2		eluni 3842	. 2 |- ( A e. U. B <-> E. x ( A e. x /\ x e. B ) )
3		df-rex 2481	. 2 |- ( E. x e. B A e. x <-> E. x ( x e. B /\ A e. x ) )
4	1, 2, 3	3bitr4i 212	1 |- ( A e. U. B <-> E. x e. B A e. x )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476   U.cuni 3839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-uni 3840

This theorem is referenced by:  uni0b  3864  intssunim  3896  iuncom4  3923  inuni  4188  ssorduni  4523  unon  4547  cnvuni  4852  chfnrn  5673  zrhval  14173  isbasis3g  14282  eltg2b  14290  tgcl  14300  epttop  14326  txuni2  14492