Theorem eluni2 3663

Description: Membership in class union. Restricted quantifier version. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
eluni2	|- ( A e. U. B <-> E. x e. B A e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem eluni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exancom 1545	. 2 |- ( E. x ( A e. x /\ x e. B ) <-> E. x ( x e. B /\ A e. x ) )
2		eluni 3662	. 2 |- ( A e. U. B <-> E. x ( A e. x /\ x e. B ) )
3		df-rex 2366	. 2 |- ( E. x e. B A e. x <-> E. x ( x e. B /\ A e. x ) )
4	1, 2, 3	3bitr4i 211	1 |- ( A e. U. B <-> E. x e. B A e. x )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1427   e. wcel 1439   E.wrex 2361   U.cuni 3659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-rex 2366  df-v 2622  df-uni 3660

This theorem is referenced by:  uni0b  3684  intssunim  3716  iuncom4  3743  inuni  3997  ssorduni  4317  unon  4341  cnvuni  4635  chfnrn  5424  isbasis3g  11805  eltg2b  11815  tgcl  11825  epttop  11851