Theorem eluni2 3777

Description: Membership in class union. Restricted quantifier version. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
eluni2	|- ( A e. U. B <-> E. x e. B A e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem eluni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exancom 1588	. 2 |- ( E. x ( A e. x /\ x e. B ) <-> E. x ( x e. B /\ A e. x ) )
2		eluni 3776	. 2 |- ( A e. U. B <-> E. x ( A e. x /\ x e. B ) )
3		df-rex 2441	. 2 |- ( E. x e. B A e. x <-> E. x ( x e. B /\ A e. x ) )
4	1, 2, 3	3bitr4i 211	1 |- ( A e. U. B <-> E. x e. B A e. x )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1472   e. wcel 2128   E.wrex 2436   U.cuni 3773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-rex 2441  df-v 2714  df-uni 3774

This theorem is referenced by:  uni0b  3798  intssunim  3830  iuncom4  3857  inuni  4117  ssorduni  4447  unon  4471  cnvuni  4773  chfnrn  5579  isbasis3g  12486  eltg2b  12496  tgcl  12506  epttop  12532  txuni2  12698