Theorem isbasis2g 14713

Description: Express the predicate "the set B is a basis for a topology". (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
isbasis2g	|- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )

Distinct variable group:   x, w, y, z, B

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasisg 14712	. 2 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
2		dfss3 3213	. . . 4 |- ( ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. z e. ( x i^i y ) z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) )
3		elin 3387	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> ( w e. B /\ w e. ~P ( x i^i y ) ) )
4		velpw 3656	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ~P ( x i^i y ) <-> w C_ ( x i^i y ) )
5	4	anbi2i 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. B /\ w e. ~P ( x i^i y ) ) <-> ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
6	3, 5	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
7	6	anbi2i 457	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) <-> ( z e. w /\ ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
8		an12 561	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. w /\ ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) <-> ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
9	7, 8	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) <-> ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
10	9	exbii 1651	. . . . . 6 |- ( E. w ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) <-> E. w ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
11		eluni 3890	. . . . . 6 |- ( z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> E. w ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
12		df-rex 2514	. . . . . 6 |- ( E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> E. w ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 212	. . . . 5 |- ( z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
14	13	ralbii 2536	. . . 4 |- ( A. z e. ( x i^i y ) z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
15	2, 14	bitri 184	. . 3 |- ( ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
16	15	2ralbii 2538	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
17	1, 16	bitrdi 196	1 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   i^i cin 3196   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   U.cuni 3887   TopBasesctb 14710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-uni 3888  df-bases 14711

This theorem is referenced by:  isbasis3g  14714  basis2  14716  fiinbas  14717  tgclb  14733  topbas  14735  restbasg  14836  txbas  14926  blbas  15101