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Theorem isbasis2g 11994
Description: Express the predicate "the set  B is a basis for a topology". (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
isbasis2g  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z, B
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis2g
StepHypRef Expression
1 isbasisg 11993 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2 dfss3 3037 . . . 4  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) z  e.  U. ( B  i^i  ~P (
x  i^i  y )
) )
3 elin 3206 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( w  e.  B  /\  w  e.  ~P ( x  i^i  y ) ) )
4 selpw 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ~P ( x  i^i  y )  <->  w  C_  (
x  i^i  y )
)
54anbi2i 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  B  /\  w  e.  ~P (
x  i^i  y )
)  <->  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
63, 5bitri 183 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
76anbi2i 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )  <-> 
( z  e.  w  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
8 an12 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  w  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )  <->  ( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
97, 8bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )  <-> 
( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
109exbii 1552 . . . . . 6  |-  ( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )  <->  E. w
( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
11 eluni 3686 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
12 df-rex 2381 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <->  E. w
( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
1310, 11, 123bitr4i 211 . . . . 5  |-  ( z  e.  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
1413ralbii 2400 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( x  i^i  y ) z  e. 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
152, 14bitri 183 . . 3  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
16152ralbii 2402 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
171, 16syl6bb 195 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   E.wex 1436    e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376    i^i cin 3020    C_ wss 3021   ~Pcpw 3457   U.cuni 3683   TopBasesctb 11991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-uni 3684  df-bases 11992
This theorem is referenced by:  isbasis3g  11995  basis2  11997  fiinbas  11998  tgclb  12016  topbas  12018  restbasg  12119  txbas  12208  blbas  12361
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