Theorem isbasis2g 12837

Description: Express the predicate "the set B is a basis for a topology". (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
isbasis2g	|- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )

Distinct variable group:   x, w, y, z, B

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasisg 12836	. 2 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
2		dfss3 3137	. . . 4 |- ( ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. z e. ( x i^i y ) z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) )
3		elin 3310	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> ( w e. B /\ w e. ~P ( x i^i y ) ) )
4		velpw 3573	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ~P ( x i^i y ) <-> w C_ ( x i^i y ) )
5	4	anbi2i 454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. B /\ w e. ~P ( x i^i y ) ) <-> ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
6	3, 5	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
7	6	anbi2i 454	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) <-> ( z e. w /\ ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
8		an12 556	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. w /\ ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) <-> ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
9	7, 8	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) <-> ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
10	9	exbii 1598	. . . . . 6 |- ( E. w ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) <-> E. w ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
11		eluni 3799	. . . . . 6 |- ( z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> E. w ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
12		df-rex 2454	. . . . . 6 |- ( E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> E. w ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 211	. . . . 5 |- ( z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
14	13	ralbii 2476	. . . 4 |- ( A. z e. ( x i^i y ) z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
15	2, 14	bitri 183	. . 3 |- ( ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
16	15	2ralbii 2478	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
17	1, 16	bitrdi 195	1 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   i^i cin 3120   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   U.cuni 3796   TopBasesctb 12834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-uni 3797  df-bases 12835

This theorem is referenced by:  isbasis3g  12838  basis2  12840  fiinbas  12841  tgclb  12859  topbas  12861  restbasg  12962  txbas  13052  blbas  13227