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Theorem isbasis2g 14022
Description: Express the predicate "the set  B is a basis for a topology". (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
isbasis2g  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z, B
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis2g
StepHypRef Expression
1 isbasisg 14021 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2 dfss3 3160 . . . 4  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) z  e.  U. ( B  i^i  ~P (
x  i^i  y )
) )
3 elin 3333 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( w  e.  B  /\  w  e.  ~P ( x  i^i  y ) ) )
4 velpw 3597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ~P ( x  i^i  y )  <->  w  C_  (
x  i^i  y )
)
54anbi2i 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  B  /\  w  e.  ~P (
x  i^i  y )
)  <->  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
63, 5bitri 184 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
76anbi2i 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )  <-> 
( z  e.  w  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
8 an12 561 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  w  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )  <->  ( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
97, 8bitri 184 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )  <-> 
( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
109exbii 1616 . . . . . 6  |-  ( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )  <->  E. w
( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
11 eluni 3827 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
12 df-rex 2474 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <->  E. w
( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
1310, 11, 123bitr4i 212 . . . . 5  |-  ( z  e.  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
1413ralbii 2496 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( x  i^i  y ) z  e. 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
152, 14bitri 184 . . 3  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
16152ralbii 2498 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
171, 16bitrdi 196 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   E.wex 1503    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469    i^i cin 3143    C_ wss 3144   ~Pcpw 3590   U.cuni 3824   TopBasesctb 14019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-uni 3825  df-bases 14020
This theorem is referenced by:  isbasis3g  14023  basis2  14025  fiinbas  14026  tgclb  14042  topbas  14044  restbasg  14145  txbas  14235  blbas  14410
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