Theorem isbasis2g 12212

Description: Express the predicate "the set B is a basis for a topology". (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
isbasis2g	|- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )

Distinct variable group:   x, w, y, z, B

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasisg 12211	. 2 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
2		dfss3 3087	. . . 4 |- ( ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. z e. ( x i^i y ) z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) )
3		elin 3259	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> ( w e. B /\ w e. ~P ( x i^i y ) ) )
4		velpw 3517	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ~P ( x i^i y ) <-> w C_ ( x i^i y ) )
5	4	anbi2i 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. B /\ w e. ~P ( x i^i y ) ) <-> ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
6	3, 5	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
7	6	anbi2i 452	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) <-> ( z e. w /\ ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
8		an12 550	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. w /\ ( w e. B /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) <-> ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
9	7, 8	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) <-> ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
10	9	exbii 1584	. . . . . 6 |- ( E. w ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) <-> E. w ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
11		eluni 3739	. . . . . 6 |- ( z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> E. w ( z e. w /\ w e. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
12		df-rex 2422	. . . . . 6 |- ( E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> E. w ( w e. B /\ ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 211	. . . . 5 |- ( z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
14	13	ralbii 2441	. . . 4 |- ( A. z e. ( x i^i y ) z e. U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
15	2, 14	bitri 183	. . 3 |- ( ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
16	15	2ralbii 2443	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
17	1, 16	syl6bb 195	1 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   i^i cin 3070   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   TopBasesctb 12209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-uni 3737  df-bases 12210

This theorem is referenced by:  isbasis3g  12213  basis2  12215  fiinbas  12216  tgclb  12234  topbas  12236  restbasg  12337  txbas  12427  blbas  12602