Theorem iundif2ss 4041

Description: Indexed union of class difference. Compare to theorem "De Morgan's laws" in [Enderton] p. 31. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iundif2ss	|- U_ x e. A ( B \ C ) C_ ( B \ |^|_ x e. A C )

Distinct variable group:   x, B

Allowed substitution hints:   A( x)   C( x)

Proof of Theorem iundif2ss

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3210	. . . . . 6 |- ( y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. C ) )
2	1	rexbii 2540	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. ( B \ C ) <-> E. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) )
3		r19.42v 2691	. . . . 5 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A -. y e. C ) )
4	2, 3	bitri 184	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A -. y e. C ) )
5		rexnalim 2522	. . . . . 6 |- ( E. x e. A -. y e. C -> -. A. x e. A y e. C )
6		vex 2806	. . . . . . 7 |- y e. _V
7		eliin 3980	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C )
9	5, 8	sylnibr 684	. . . . 5 |- ( E. x e. A -. y e. C -> -. y e. |^|_ x e. A C )
10	9	anim2i 342	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ E. x e. A -. y e. C ) -> ( y e. B /\ -. y e. |^|_ x e. A C ) )
11	4, 10	sylbi 121	. . 3 |- ( E. x e. A y e. ( B \ C ) -> ( y e. B /\ -. y e. |^|_ x e. A C ) )
12		eliun 3979	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A ( B \ C ) <-> E. x e. A y e. ( B \ C ) )
13		eldif 3210	. . 3 |- ( y e. ( B \ |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. |^|_ x e. A C ) )
14	11, 12, 13	3imtr4i 201	. 2 |- ( y e. U_ x e. A ( B \ C ) -> y e. ( B \ |^|_ x e. A C ) )
15	14	ssriv 3232	1 |- U_ x e. A ( B \ C ) C_ ( B \ |^|_ x e. A C )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   \ cdif 3198   C_ wss 3201   U_ciun 3975   |^|_ciin 3976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-in 3207  df-ss 3214  df-iun 3977  df-iin 3978

This theorem is referenced by: (None)