Theorem rexcom4 2837

Description: Commutation of restricted and unrestricted existential quantifiers. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexcom4	|- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem rexcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2707	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. y e. _V E. x e. A ph )
2		rexv 2832	. . 3 |- ( E. y e. _V ph <-> E. y ph )
3	2	rexbii 2549	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. x e. A E. y ph )
4		rexv 2832	. 2 |- ( E. y e. _V E. x e. A ph <-> E. y E. x e. A ph )
5	1, 3, 4	3bitr3i 210	1 |- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1541   E.wrex 2521   _Vcvv 2813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2815

This theorem is referenced by:  rexcom4a  2838  reuind  3022  iuncom4  3998  dfiun2g  4023  iunn0m  4052  iunxiun  4073  iinexgm  4266  inuni  4267  iunopab  4400  xpiundi  4808  xpiundir  4809  cnvuni  4941  dmiun  4965  elres  5074  elsnres  5075  rniun  5173  imaco  5268  coiun  5272  fun11iun  5635  abrexco  5932  imaiun  5933  fliftf  5972  rexrnmpo  6169  oprabrexex2  6323  releldm2  6379  eroveu  6860  genpassl  7839  genpassu  7840  ltexprlemopl  7916  ltexprlemopu  7918  pceu  12993  4sqlem12  13100  ntreq0  14997  metrest  15371