Theorem rexcom4 2845

Description: Commutation of restricted and unrestricted existential quantifiers. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexcom4	|- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem rexcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2715	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. y e. _V E. x e. A ph )
2		rexv 2840	. . 3 |- ( E. y e. _V ph <-> E. y ph )
3	2	rexbii 2557	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. x e. A E. y ph )
4		rexv 2840	. 2 |- ( E. y e. _V E. x e. A ph <-> E. y E. x e. A ph )
5	1, 3, 4	3bitr3i 210	1 |- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   E.wex 1545   E.wrex 2529   _Vcvv 2821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823

This theorem is used by:  rexcom4a  2846  reuind  3031  iuncom4  4019  dfiun2g  4044  iunn0m  4073  iunxiun  4094  iinexgm  4292  inuni  4293  iunopab  4426  xpiundi  4835  xpiundir  4836  cnvuni  4968  dmiun  4992  elres  5101  elsnres  5102  rniun  5201  imaco  5296  coiun  5300  fun11iun  5663  abrexco  5968  imaiun  5969  fliftf  6008  rexrnmpo  6207  oprabrexex2  6367  releldm2  6423  eroveu  6904  genpassl  7897  genpassu  7898  ltexprlemopl  7974  ltexprlemopu  7976  pceu  13103  4sqlem12  13210  ntreq0  15358  metrest  15732