Theorem rexcom4 2845

Description: Commutation of restricted and unrestricted existential quantifiers. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexcom4	|- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem rexcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2715	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. y e. _V E. x e. A ph )
2		rexv 2840	. . 3 |- ( E. y e. _V ph <-> E. y ph )
3	2	rexbii 2557	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. x e. A E. y ph )
4		rexv 2840	. 2 |- ( E. y e. _V E. x e. A ph <-> E. y E. x e. A ph )
5	1, 3, 4	3bitr3i 210	1 |- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   E.wex 1545   E.wrex 2529   _Vcvv 2821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823

This theorem is used by:  rexcom4a  2846  reuind  3031  iuncom4  4019  dfiun2g  4044  iunn0m  4073  iunxiun  4094  iinexgm  4290  inuni  4291  iunopab  4424  xpiundi  4833  xpiundir  4834  cnvuni  4966  dmiun  4990  elres  5099  elsnres  5100  rniun  5198  imaco  5293  coiun  5297  fun11iun  5660  abrexco  5965  imaiun  5966  fliftf  6005  rexrnmpo  6204  oprabrexex2  6363  releldm2  6419  eroveu  6900  genpassl  7891  genpassu  7892  ltexprlemopl  7968  ltexprlemopu  7970  pceu  13074  4sqlem12  13181  ntreq0  15233  metrest  15607