Theorem rexcom4 2845

Description: Commutation of restricted and unrestricted existential quantifiers. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexcom4	|- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem rexcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2715	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. y e. _V E. x e. A ph )
2		rexv 2840	. . 3 |- ( E. y e. _V ph <-> E. y ph )
3	2	rexbii 2557	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. x e. A E. y ph )
4		rexv 2840	. 2 |- ( E. y e. _V E. x e. A ph <-> E. y E. x e. A ph )
5	1, 3, 4	3bitr3i 210	1 |- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1545   E.wrex 2529   _Vcvv 2821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823

This theorem is referenced by:  rexcom4a  2846  reuind  3031  iuncom4  4014  dfiun2g  4039  iunn0m  4068  iunxiun  4089  iinexgm  4285  inuni  4286  iunopab  4419  xpiundi  4828  xpiundir  4829  cnvuni  4961  dmiun  4985  elres  5094  elsnres  5095  rniun  5193  imaco  5288  coiun  5292  fun11iun  5655  abrexco  5955  imaiun  5956  fliftf  5995  rexrnmpo  6194  oprabrexex2  6353  releldm2  6409  eroveu  6890  genpassl  7881  genpassu  7882  ltexprlemopl  7958  ltexprlemopu  7960  pceu  13052  4sqlem12  13159  ntreq0  15156  metrest  15530