Theorem rexcom4 2758

Description: Commutation of restricted and unrestricted existential quantifiers. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexcom4	|- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem rexcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2639	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. y e. _V E. x e. A ph )
2		rexv 2753	. . 3 |- ( E. y e. _V ph <-> E. y ph )
3	2	rexbii 2482	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. x e. A E. y ph )
4		rexv 2753	. 2 |- ( E. y e. _V E. x e. A ph <-> E. y E. x e. A ph )
5	1, 3, 4	3bitr3i 210	1 |- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1490   E.wrex 2454   _Vcvv 2735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-rex 2459  df-v 2737

This theorem is referenced by:  rexcom4a  2759  reuind  2940  iuncom4  3889  dfiun2g  3914  iunn0m  3942  iunxiun  3963  iinexgm  4149  inuni  4150  iunopab  4275  xpiundi  4678  xpiundir  4679  cnvuni  4806  dmiun  4829  elres  4936  elsnres  4937  rniun  5031  imaco  5126  coiun  5130  fun11iun  5474  abrexco  5750  imaiun  5751  fliftf  5790  rexrnmpo  5980  oprabrexex2  6121  releldm2  6176  eroveu  6616  genpassl  7498  genpassu  7499  ltexprlemopl  7575  ltexprlemopu  7577  pceu  12260  ntreq0  13183  metrest  13557