Theorem rexcom4 2839

Description: Commutation of restricted and unrestricted existential quantifiers. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexcom4	|- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem rexcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2709	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. y e. _V E. x e. A ph )
2		rexv 2834	. . 3 |- ( E. y e. _V ph <-> E. y ph )
3	2	rexbii 2551	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. x e. A E. y ph )
4		rexv 2834	. 2 |- ( E. y e. _V E. x e. A ph <-> E. y E. x e. A ph )
5	1, 3, 4	3bitr3i 210	1 |- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1541   E.wrex 2523   _Vcvv 2815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817

This theorem is referenced by:  rexcom4a  2840  reuind  3025  iuncom4  4003  dfiun2g  4028  iunn0m  4057  iunxiun  4078  iinexgm  4271  inuni  4272  iunopab  4405  xpiundi  4813  xpiundir  4814  cnvuni  4946  dmiun  4970  elres  5079  elsnres  5080  rniun  5178  imaco  5273  coiun  5277  fun11iun  5640  abrexco  5938  imaiun  5939  fliftf  5978  rexrnmpo  6177  oprabrexex2  6336  releldm2  6392  eroveu  6873  genpassl  7855  genpassu  7856  ltexprlemopl  7932  ltexprlemopu  7934  pceu  13018  4sqlem12  13125  ntreq0  15123  metrest  15497