Theorem rexcom4 2794

Description: Commutation of restricted and unrestricted existential quantifiers. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexcom4	|- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem rexcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2669	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. y e. _V E. x e. A ph )
2		rexv 2789	. . 3 |- ( E. y e. _V ph <-> E. y ph )
3	2	rexbii 2512	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. x e. A E. y ph )
4		rexv 2789	. 2 |- ( E. y e. _V E. x e. A ph <-> E. y E. x e. A ph )
5	1, 3, 4	3bitr3i 210	1 |- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1514   E.wrex 2484   _Vcvv 2771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-rex 2489  df-v 2773

This theorem is referenced by:  rexcom4a  2795  reuind  2977  iuncom4  3933  dfiun2g  3958  iunn0m  3987  iunxiun  4008  iinexgm  4197  inuni  4198  iunopab  4326  xpiundi  4731  xpiundir  4732  cnvuni  4862  dmiun  4885  elres  4992  elsnres  4993  rniun  5090  imaco  5185  coiun  5189  fun11iun  5537  abrexco  5818  imaiun  5819  fliftf  5858  rexrnmpo  6051  oprabrexex2  6205  releldm2  6261  eroveu  6703  genpassl  7619  genpassu  7620  ltexprlemopl  7696  ltexprlemopu  7698  pceu  12537  4sqlem12  12644  ntreq0  14522  metrest  14896