Theorem lenlti 8127

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by NM, 24-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
lenlti	|- ( A <_ B <-> -. B < A )

Proof of Theorem lenlti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		lenlt 8102	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- ( A <_ B <-> -. B < A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   RRcr 7878   < clt 8061   <_ cle 8062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-xr 8065  df-le 8067

This theorem is referenced by:  sup3exmid  8984  nn0ge2m1nn  9309