sup3exmid - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem sup3exmid 9180

Description: If any inhabited set of real numbers bounded from above has a supremum, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Apr-2023.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
sup3exmid.ex	$/\$ $/\$ $/\$

**Assertion**
Ref	Expression
sup3exmid	DECID

Distinct variable groups:

Proof of Theorem sup3exmid Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 8349	. . . 4
2		0re 8222	. . . . 5
3		1re 8221	. . . . 5
4		lttri3 8302	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
6		elrabi 2960	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
7		elpri 3696	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$
9		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . . 13
10	2, 9	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . 12
11		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . . 13
12	3, 11	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . 12
13	10, 12	jaoi 724	. . . . . . . . . . 11 $\/$
14	8, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 $\/$
15	14	ssriv 3232	. . . . . . . . 9 $\/$
16		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12
17	16	orci 739	. . . . . . . . . . 11 $\/$
18	2	elexi 2816	. . . . . . . . . . . . 13
19	18	prid1 3781	. . . . . . . . . . . 12
20		eqeq1 2238	. . . . . . . . . . . . . 14
21	20	orbi1d 799	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $\/$
22	21	elrab3 2964	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $\/$
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$
24	17, 23	mpbir 146	. . . . . . . . . 10 $\/$
25		elex2 2820	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 $\/$
27		elrabi 2960	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
28		elpri 3696	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$
29		0le1 8704	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		breq1 4096	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	29, 30	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . 14
32	3	eqlei2 8317	. . . . . . . . . . . . . 14
33	31, 32	jaoi 724	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$
34	28, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
35	27, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $\/$
36	35	rgen 2586	. . . . . . . . . 10 $\/$
37		breq2 4097	. . . . . . . . . . . 12
38	37	ralbidv 2533	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$
39	38	rspcev 2911	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$
40	3, 36, 39	mp2an 426	. . . . . . . . 9 $\/$
41		prexg 4307	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
42	2, 3, 41	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11
43	42	rabex 4239	. . . . . . . . . 10 $\/$
44		sseq1 3251	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $\/$
45		eleq2 2295	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $\/$
46	45	exbidv 1873	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $\/$
47		raleq 2731	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $\/$
48	47	rexbidv 2534	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $\/$
49	44, 46, 48	3anbi123d 1349	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
50		raleq 2731	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $\/$
51		rexeq 2732	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$ $\/$
52	51	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
53	52	ralbidv 2533	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $\/$
54	50, 53	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
55	54	rexbidv 2534	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
56	49, 55	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
57		sup3exmid.ex	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	43, 56, 57	vtocl 2859	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
59	15, 26, 40, 58	mp3an 1374	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $\/$
60	59	a1i 9	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $\/$
61	5, 60	supclti 7240	. . . . . 6 $\/$
62	61	mptru 1407	. . . . 5 $\/$
63		axltwlin 8290	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
64	2, 3, 62, 63	mp3an 1374	. . . 4 $\/$ $\/$ $\/$
65	1, 64	ax-mp 5	. . 3 $\/$ $\/$ $\/$
66	5, 60	suplubti 7242	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $\/$
67	66	mptru 1407	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$
68	2, 67	mpan 424	. . . . . 6 $\/$ $\/$
69		df-rex 2517	. . . . . 6 $\/$ $\/$ $/\$
70	68, 69	sylib 122	. . . . 5 $\/$ $\/$ $/\$
71		eqeq1 2238	. . . . . . . . 9
72	71	orbi1d 799	. . . . . . . 8 $\/$ $\/$
73	72	elrab 2963	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $\/$
74		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$
75	74	gt0ne0d 8735	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$
76	75	neneqd 2424	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
77		simplr 529	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
78		orel1 733	. . . . . . . 8 $\/$
79	76, 77, 78	sylc 62	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
80	73, 79	sylanb 284	. . . . . 6 $\/$ $/\$
81	80	exlimiv 1647	. . . . 5 $\/$ $/\$
82	70, 81	syl 14	. . . 4 $\/$
83	3	ltnri 8315	. . . . . 6
84		iba 300	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $\/$
85	84	olcs 744	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
86	73, 85	bitr4id 199	. . . . . . . . . 10 $\/$
87	86	eqrdv 2229	. . . . . . . . 9 $\/$
88	87	supeq1d 7229	. . . . . . . 8 $\/$
89	3	a1i 9	. . . . . . . . . 10
90	3	elexi 2816	. . . . . . . . . . . 12
91	90	prid2 3782	. . . . . . . . . . 11
92	91	a1i 9	. . . . . . . . . 10
93		elpri 3696	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
94	2, 3	lenlti 8323	. . . . . . . . . . . . . . 15
95	29, 94	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . 14
96		breq2 4097	. . . . . . . . . . . . . 14
97	95, 96	mtbiri 682	. . . . . . . . . . . . 13
98		breq2 4097	. . . . . . . . . . . . . 14
99	83, 98	mtbiri 682	. . . . . . . . . . . . 13
100	97, 99	jaoi 724	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
101	93, 100	syl 14	. . . . . . . . . . 11
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
103	5, 89, 92, 102	supmaxti 7246	. . . . . . . . 9
104	103	mptru 1407	. . . . . . . 8
105	88, 104	eqtrdi 2280	. . . . . . 7 $\/$
106	105	breq1d 4103	. . . . . 6 $\/$
107	83, 106	mtbiri 682	. . . . 5 $\/$
108	107	con2i 632	. . . 4 $\/$
109	82, 108	orim12i 767	. . 3 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
110	65, 109	ax-mp 5	. 2 $\/$
111		df-dc 843	. 2 DECID $\/$
112	110, 111	mpbir 146	1 DECID

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716 DECID wdc 842 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wtru 1399

wex 1541

wcel 2202

wral 2511

wrex 2512

crab 2515

cvv 2803

wss 3201

cpr 3674 class class class wbr 4093

csup 7224

cr 8074

cc0 8075

c1 8076

clt 8257

cle 8258

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-sep 4212 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1re 8169 ax-addrcl 8172 ax-0lt1 8181 ax-rnegex 8184 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-br 4094 df-opab 4156 df-xp 4737 df-cnv 4739 df-iota 5293 df-riota 5981 df-sup 7226 df-pnf 8259 df-mnf 8260 df-xr 8261 df-ltxr 8262 df-le 8263

This theorem is referenced by: (None)

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