ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lenlt Unicode version

Theorem lenlt 7847
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lenlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )

Proof of Theorem lenlt
StepHypRef Expression
1 rexr 7818 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 7818 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrlenlt 7836 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
41, 2, 3syl2an 287 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7626   RR*cxr 7806    < clt 7807    <_ cle 7808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-xr 7811  df-le 7813
This theorem is referenced by:  letri3  7852  ltleletr  7853  letr  7854  leid  7855  ltle  7858  lelttr  7859  ltletr  7860  lenlti  7871  lenltd  7887  lemul1  8362  msqge0  8385  mulge0  8388  ltleap  8401  recgt0  8615  lediv1  8634  dfinfre  8721  nnge1  8750  nnnlt1  8753  avgle1  8967  avgle2  8968  nn0nlt0  9010  zltnle  9107  zleloe  9108  zdcle  9134  recnz  9151  btwnnz  9152  prime  9157  fznlem  9828  fzonlt0  9951  qltnle  10030  bcval4  10505  resqrexlemgt0  10799  climge0  11101  efle  12874  logleb  12970  supfz  13293  inffz  13294
  Copyright terms: Public domain W3C validator