Theorem lenlt 8365

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8335	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 8335	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 8354	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   RRcr 8142   RR*cxr 8323   < clt 8324   <_ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-xr 8328  df-le 8330

This theorem is referenced by:  letri3  8370  ltleletr  8371  letr  8372  leid  8373  eqlelt  8376  ltle  8377  lelttr  8378  ltletr  8379  lenlti  8390  lenltd  8407  lemul1  8884  msqge0  8907  mulge0  8910  ltleap  8923  recgt0  9141  lediv1  9160  dfinfre  9247  nnge1  9277  nnnlt1  9280  avgle1  9496  avgle2  9497  nn0nlt0  9539  zltnle  9640  zleloe  9641  zdcle  9671  recnz  9689  btwnnz  9690  prime  9695  fznlem  10395  nelfzo  10508  fzonlt0  10525  qltnle  10627  bcval4  11139  ccatsymb  11315  swrd0g  11377  resqrexlemgt0  11730  climge0  12035  infpnlem1  13082  efle  15753  logleb  15852  cxple  15894  cxple3  15898  lgsval2lem  15995  lgsneg  16009  lgsdilem  16012  gausslemma2dlem1a  16043  gausslemma2dlem3  16048  supfz  16969  inffz  16970