Theorem lenlt 8408

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8378	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 8378	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 8397	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8185   RR*cxr 8366   < clt 8367   <_ cle 8368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-xr 8371  df-le 8373

This theorem is used by:  letri3  8413  ltleletr  8414  letr  8415  leid  8416  eqlelt  8419  ltle  8420  lelttr  8421  ltletr  8422  lenlti  8434  lenltd  8452  lemul1  8930  msqge0  8953  mulge0  8956  ltleap  8969  recgt0  9189  lediv1  9208  dfinfre  9295  nnge1  9337  nnnlt1  9340  avgle1  9558  avgle2  9559  nn0nlt0  9601  zltnle  9700  zleloe  9701  zdcle  9731  recnz  9750  btwnnz  9751  prime  9756  fznlem  10462  nelfzo  10576  fzonlt0  10593  qltnle  10695  bcval4  11212  ccatsymb  11392  swrd0g  11454  resqrexlemgt0  11808  climge0  12116  infpnlem1  13167  efle  16035  logleb  16138  cxple  16185  cxple3  16189  birthdaylem3  16260  ppiqeq0  16313  lgsval2lem  16367  lgsneg  16381  lgsdilem  16384  gausslemma2dlem1a  16415  gausslemma2dlem3  16420  lealltlt1  16989  lealltlt2  16990  supfz  17361  inffz  17362