Theorem lenlt 8348

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8318	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 8318	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 8337	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   RRcr 8125   RR*cxr 8306   < clt 8307   <_ cle 8308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-br 4109  df-opab 4171  df-xp 4754  df-cnv 4756  df-xr 8311  df-le 8313

This theorem is referenced by:  letri3  8353  ltleletr  8354  letr  8355  leid  8356  eqlelt  8359  ltle  8360  lelttr  8361  ltletr  8362  lenlti  8373  lenltd  8390  lemul1  8866  msqge0  8889  mulge0  8892  ltleap  8905  recgt0  9123  lediv1  9142  dfinfre  9229  nnge1  9259  nnnlt1  9262  avgle1  9478  avgle2  9479  nn0nlt0  9521  zltnle  9622  zleloe  9623  zdcle  9653  recnz  9670  btwnnz  9671  prime  9676  fznlem  10374  nelfzo  10485  fzonlt0  10502  qltnle  10602  bcval4  11113  ccatsymb  11286  swrd0g  11348  resqrexlemgt0  11701  climge0  12006  infpnlem1  13053  efle  15633  logleb  15732  cxple  15774  cxple3  15778  lgsval2lem  15875  lgsneg  15889  lgsdilem  15892  gausslemma2dlem1a  15923  gausslemma2dlem3  15928  supfz  16848  inffz  16849