Theorem lenlt 8248

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8218	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 8218	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 8237	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   RRcr 8024   RR*cxr 8206   < clt 8207   <_ cle 8208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-xr 8211  df-le 8213

This theorem is referenced by:  letri3  8253  ltleletr  8254  letr  8255  leid  8256  eqlelt  8259  ltle  8260  lelttr  8261  ltletr  8262  lenlti  8273  lenltd  8290  lemul1  8766  msqge0  8789  mulge0  8792  ltleap  8805  recgt0  9023  lediv1  9042  dfinfre  9129  nnge1  9159  nnnlt1  9162  avgle1  9378  avgle2  9379  nn0nlt0  9421  zltnle  9518  zleloe  9519  zdcle  9549  recnz  9566  btwnnz  9567  prime  9572  fznlem  10269  nelfzo  10380  fzonlt0  10397  qltnle  10496  bcval4  11007  ccatsymb  11172  swrd0g  11234  resqrexlemgt0  11574  climge0  11879  infpnlem1  12925  efle  15493  logleb  15592  cxple  15634  cxple3  15638  lgsval2lem  15732  lgsneg  15746  lgsdilem  15749  gausslemma2dlem1a  15780  gausslemma2dlem3  15785  supfz  16625  inffz  16626