Theorem lenlt 8230

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8200	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 8200	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 8219	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 8006   RR*cxr 8188   < clt 8189   <_ cle 8190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-xr 8193  df-le 8195

This theorem is referenced by:  letri3  8235  ltleletr  8236  letr  8237  leid  8238  eqlelt  8241  ltle  8242  lelttr  8243  ltletr  8244  lenlti  8255  lenltd  8272  lemul1  8748  msqge0  8771  mulge0  8774  ltleap  8787  recgt0  9005  lediv1  9024  dfinfre  9111  nnge1  9141  nnnlt1  9144  avgle1  9360  avgle2  9361  nn0nlt0  9403  zltnle  9500  zleloe  9501  zdcle  9531  recnz  9548  btwnnz  9549  prime  9554  fznlem  10245  nelfzo  10356  fzonlt0  10373  qltnle  10471  bcval4  10982  ccatsymb  11145  swrd0g  11200  resqrexlemgt0  11539  climge0  11844  infpnlem1  12890  efle  15458  logleb  15557  cxple  15599  cxple3  15603  lgsval2lem  15697  lgsneg  15711  lgsdilem  15714  gausslemma2dlem1a  15745  gausslemma2dlem3  15750  supfz  16469  inffz  16470