Theorem lenlt 8105

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8075	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 8075	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 8094	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   RRcr 7881   RR*cxr 8063   < clt 8064   <_ cle 8065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-xr 8068  df-le 8070

This theorem is referenced by:  letri3  8110  ltleletr  8111  letr  8112  leid  8113  eqlelt  8116  ltle  8117  lelttr  8118  ltletr  8119  lenlti  8130  lenltd  8147  lemul1  8623  msqge0  8646  mulge0  8649  ltleap  8662  recgt0  8880  lediv1  8899  dfinfre  8986  nnge1  9016  nnnlt1  9019  avgle1  9235  avgle2  9236  nn0nlt0  9278  zltnle  9375  zleloe  9376  zdcle  9405  recnz  9422  btwnnz  9423  prime  9428  fznlem  10119  nelfzo  10230  fzonlt0  10246  qltnle  10336  bcval4  10847  resqrexlemgt0  11188  climge0  11493  infpnlem1  12539  efle  15038  logleb  15137  cxple  15179  cxple3  15183  lgsval2lem  15277  lgsneg  15291  lgsdilem  15294  gausslemma2dlem1a  15325  gausslemma2dlem3  15330  supfz  15744  inffz  15745