Theorem lenlt 7995

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 7965	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 7965	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 7984	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   RRcr 7773   RR*cxr 7953   < clt 7954   <_ cle 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-xr 7958  df-le 7960

This theorem is referenced by:  letri3  8000  ltleletr  8001  letr  8002  leid  8003  eqlelt  8006  ltle  8007  lelttr  8008  ltletr  8009  lenlti  8020  lenltd  8037  lemul1  8512  msqge0  8535  mulge0  8538  ltleap  8551  recgt0  8766  lediv1  8785  dfinfre  8872  nnge1  8901  nnnlt1  8904  avgle1  9118  avgle2  9119  nn0nlt0  9161  zltnle  9258  zleloe  9259  zdcle  9288  recnz  9305  btwnnz  9306  prime  9311  fznlem  9997  fzonlt0  10123  qltnle  10202  bcval4  10686  resqrexlemgt0  10984  climge0  11288  infpnlem1  12311  efle  13491  logleb  13590  cxple  13631  cxple3  13635  lgsval2lem  13705  lgsneg  13719  lgsdilem  13722  supfz  14100  inffz  14101