Theorem lenlt 8395

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8365	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 8365	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 8384	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   RRcr 8172   RR*cxr 8353   < clt 8354   <_ cle 8355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-cnv 4780  df-xr 8358  df-le 8360

This theorem is referenced by:  letri3  8400  ltleletr  8401  letr  8402  leid  8403  eqlelt  8406  ltle  8407  lelttr  8408  ltletr  8409  lenlti  8420  lenltd  8438  lemul1  8915  msqge0  8938  mulge0  8941  ltleap  8954  recgt0  9174  lediv1  9193  dfinfre  9280  nnge1  9310  nnnlt1  9313  avgle1  9529  avgle2  9530  nn0nlt0  9572  zltnle  9673  zleloe  9674  zdcle  9704  recnz  9722  btwnnz  9723  prime  9728  fznlem  10428  nelfzo  10542  fzonlt0  10559  qltnle  10661  bcval4  11173  ccatsymb  11353  swrd0g  11415  resqrexlemgt0  11769  climge0  12074  infpnlem1  13121  efle  15860  logleb  15959  cxple  16002  cxple3  16006  birthdaylem3  16072  lgsval2lem  16112  lgsneg  16126  lgsdilem  16129  gausslemma2dlem1a  16160  gausslemma2dlem3  16165  lealltlt1  16734  lealltlt2  16735  supfz  17095  inffz  17096