Theorem lenlt 8102

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8072	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 8072	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 8091	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   RRcr 7878   RR*cxr 8060   < clt 8061   <_ cle 8062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-xr 8065  df-le 8067

This theorem is referenced by:  letri3  8107  ltleletr  8108  letr  8109  leid  8110  eqlelt  8113  ltle  8114  lelttr  8115  ltletr  8116  lenlti  8127  lenltd  8144  lemul1  8620  msqge0  8643  mulge0  8646  ltleap  8659  recgt0  8877  lediv1  8896  dfinfre  8983  nnge1  9013  nnnlt1  9016  avgle1  9232  avgle2  9233  nn0nlt0  9275  zltnle  9372  zleloe  9373  zdcle  9402  recnz  9419  btwnnz  9420  prime  9425  fznlem  10116  nelfzo  10227  fzonlt0  10243  qltnle  10333  bcval4  10844  resqrexlemgt0  11185  climge0  11490  infpnlem1  12528  efle  15012  logleb  15111  cxple  15153  cxple3  15157  lgsval2lem  15251  lgsneg  15265  lgsdilem  15268  gausslemma2dlem1a  15299  gausslemma2dlem3  15304  supfz  15715  inffz  15716