ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lenlt Unicode version

Theorem lenlt 7808
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lenlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )

Proof of Theorem lenlt
StepHypRef Expression
1 rexr 7779 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 7779 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrlenlt 7797 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
41, 2, 3syl2an 287 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   RRcr 7587   RR*cxr 7767    < clt 7768    <_ cle 7769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-xr 7772  df-le 7774
This theorem is referenced by:  letri3  7813  ltleletr  7814  letr  7815  leid  7816  ltle  7819  lelttr  7820  ltletr  7821  lenlti  7832  lenltd  7848  lemul1  8323  msqge0  8346  mulge0  8349  ltleap  8362  recgt0  8576  lediv1  8595  dfinfre  8682  nnge1  8711  nnnlt1  8714  avgle1  8928  avgle2  8929  nn0nlt0  8971  zltnle  9068  zleloe  9069  zdcle  9095  recnz  9112  btwnnz  9113  prime  9118  fznlem  9789  fzonlt0  9912  qltnle  9991  bcval4  10466  resqrexlemgt0  10760  climge0  11062  efler  11332  supfz  13164  inffz  13165
  Copyright terms: Public domain W3C validator