Theorem lenlt 8408

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8378	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 8378	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 8397	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8185   RR*cxr 8366   < clt 8367   <_ cle 8368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-xr 8371  df-le 8373

This theorem is used by:  letri3  8413  ltleletr  8414  letr  8415  leid  8416  eqlelt  8419  ltle  8420  lelttr  8421  ltletr  8422  lenlti  8434  lenltd  8452  lemul1  8930  msqge0  8953  mulge0  8956  ltleap  8969  recgt0  9189  lediv1  9208  dfinfre  9295  nnge1  9337  nnnlt1  9340  avgle1  9558  avgle2  9559  nn0nlt0  9601  zltnle  9702  zleloe  9703  zdcle  9733  recnz  9751  btwnnz  9752  prime  9757  fznlem  10463  nelfzo  10577  fzonlt0  10594  qltnle  10696  bcval4  11213  ccatsymb  11393  swrd0g  11455  resqrexlemgt0  11809  climge0  12117  infpnlem1  13168  efle  16014  logleb  16117  cxple  16164  cxple3  16168  birthdaylem3  16239  ppiqeq0  16292  lgsval2lem  16346  lgsneg  16360  lgsdilem  16363  gausslemma2dlem1a  16394  gausslemma2dlem3  16399  lealltlt1  16968  lealltlt2  16969  supfz  17340  inffz  17341