Theorem lenlt 8298

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8268	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 8268	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 8287	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8074   RR*cxr 8256   < clt 8257   <_ cle 8258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-xr 8261  df-le 8263

This theorem is referenced by:  letri3  8303  ltleletr  8304  letr  8305  leid  8306  eqlelt  8309  ltle  8310  lelttr  8311  ltletr  8312  lenlti  8323  lenltd  8340  lemul1  8816  msqge0  8839  mulge0  8842  ltleap  8855  recgt0  9073  lediv1  9092  dfinfre  9179  nnge1  9209  nnnlt1  9212  avgle1  9428  avgle2  9429  nn0nlt0  9471  zltnle  9568  zleloe  9569  zdcle  9599  recnz  9616  btwnnz  9617  prime  9622  fznlem  10319  nelfzo  10430  fzonlt0  10447  qltnle  10547  bcval4  11058  ccatsymb  11226  swrd0g  11288  resqrexlemgt0  11641  climge0  11946  infpnlem1  12993  efle  15567  logleb  15666  cxple  15708  cxple3  15712  lgsval2lem  15809  lgsneg  15823  lgsdilem  15826  gausslemma2dlem1a  15857  gausslemma2dlem3  15862  supfz  16784  inffz  16785