Theorem lenlt 8238

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8208	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 8208	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 8227	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 8014   RR*cxr 8196   < clt 8197   <_ cle 8198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4726  df-cnv 4728  df-xr 8201  df-le 8203

This theorem is referenced by:  letri3  8243  ltleletr  8244  letr  8245  leid  8246  eqlelt  8249  ltle  8250  lelttr  8251  ltletr  8252  lenlti  8263  lenltd  8280  lemul1  8756  msqge0  8779  mulge0  8782  ltleap  8795  recgt0  9013  lediv1  9032  dfinfre  9119  nnge1  9149  nnnlt1  9152  avgle1  9368  avgle2  9369  nn0nlt0  9411  zltnle  9508  zleloe  9509  zdcle  9539  recnz  9556  btwnnz  9557  prime  9562  fznlem  10254  nelfzo  10365  fzonlt0  10382  qltnle  10480  bcval4  10991  ccatsymb  11155  swrd0g  11213  resqrexlemgt0  11552  climge0  11857  infpnlem1  12903  efle  15471  logleb  15570  cxple  15612  cxple3  15616  lgsval2lem  15710  lgsneg  15724  lgsdilem  15727  gausslemma2dlem1a  15758  gausslemma2dlem3  15763  supfz  16553  inffz  16554