Theorem lenlt 7622

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 7594	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 7594	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 7612	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 284	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   RRcr 7410   RR*cxr 7582   < clt 7583   <_ cle 7584

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4458  df-cnv 4460  df-xr 7587  df-le 7589

This theorem is referenced by:  letri3  7627  ltleletr  7628  letr  7629  leid  7630  ltle  7633  lelttr  7634  ltletr  7635  lenlti  7646  lenltd  7662  lemul1  8131  msqge0  8154  mulge0  8157  ltleap  8168  recgt0  8372  lediv1  8391  dfinfre  8478  nnge1  8506  nnnlt1  8509  avgle1  8717  avgle2  8718  nn0nlt0  8760  zltnle  8857  zleloe  8858  zdcle  8884  recnz  8900  btwnnz  8901  prime  8906  fznlem  9516  fzonlt0  9639  qltnle  9718  bcval4  10221  resqrexlemgt0  10514  climge0  10774  efler  11050  supfz  12188  inffz  12189