Theorem lenlt 8036

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8006	. 2 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2		rexr 8006	. 2 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3		xrlenlt 8025	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   RRcr 7813   RR*cxr 7994   < clt 7995   <_ cle 7996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-xr 7999  df-le 8001

This theorem is referenced by:  letri3  8041  ltleletr  8042  letr  8043  leid  8044  eqlelt  8047  ltle  8048  lelttr  8049  ltletr  8050  lenlti  8061  lenltd  8078  lemul1  8553  msqge0  8576  mulge0  8579  ltleap  8592  recgt0  8810  lediv1  8829  dfinfre  8916  nnge1  8945  nnnlt1  8948  avgle1  9162  avgle2  9163  nn0nlt0  9205  zltnle  9302  zleloe  9303  zdcle  9332  recnz  9349  btwnnz  9350  prime  9355  fznlem  10044  fzonlt0  10170  qltnle  10249  bcval4  10735  resqrexlemgt0  11032  climge0  11336  infpnlem1  12360  efle  14358  logleb  14457  cxple  14498  cxple3  14502  lgsval2lem  14572  lgsneg  14586  lgsdilem  14589  supfz  14981  inffz  14982