ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ge2m1nn Unicode version

Theorem nn0ge2m1nn 9546
Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge2m1nn  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem nn0ge2m1nn
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
2 1red 8277 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
3 2re 9295 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
43a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
5 nn0re 9493 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
62, 4, 53jca 1204 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
76adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
8 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
2  <_  N )
9 1lt2 9395 . . . . . . 7  |-  1  <  2
108, 9jctil 312 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( 1  <  2  /\  2  <_  N ) )
11 ltleletr 8343 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  N )  ->  1  <_  N
) )
127, 10, 11sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
1  <_  N )
13 elnnnn0c 9529 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
141, 12, 13sylanbrc 417 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  N  e.  NN )
15 nn1m1nn 9243 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  ( N  -  1
)  e.  NN ) )
1614, 15syl 14 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  =  1  \/  ( N  - 
1 )  e.  NN ) )
17 1re 8261 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
183, 17lenlti 8362 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <_  1  <->  -.  1  <  2 )
1918biimpi 120 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <_  1  ->  -.  1  <  2 )
209, 19mt2 645 . . . . . . . 8  |-  -.  2  <_  1
21 breq2 4106 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  1  ->  (
2  <_  N  <->  2  <_  1 ) )
2220, 21mtbiri 682 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  -.  2  <_  N )
2322pm2.21d 624 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
2  <_  N  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2423com12 30 . . . . 5  |-  ( 2  <_  N  ->  ( N  =  1  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2524adantl 277 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  =  1  ->  ( N  - 
1 )  e.  NN ) )
2625orim1d 795 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( ( N  =  1  \/  ( N  -  1 )  e.  NN )  ->  (
( N  -  1 )  e.  NN  \/  ( N  -  1
)  e.  NN ) ) )
2716, 26mpd 13 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( ( N  - 
1 )  e.  NN  \/  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
28 oridm 765 . 2  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN  \/  ( N  -  1
)  e.  NN )  <-> 
( N  -  1 )  e.  NN )
2927, 28sylib 122 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 716    /\ w3a 1005    = wceq 1398    e. wcel 2203   class class class wbr 4102  (class class class)co 6041   RRcr 8114   1c1 8116    < clt 8296    <_ cle 8297    - cmin 8432   NNcn 9225   2c2 9276   NN0cn0 9484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-addcom 8215  ax-addass 8217  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-ltadd 8231
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-br 4103  df-opab 4165  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-inn 9226  df-2 9284  df-n0 9485
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  9547
  Copyright terms: Public domain W3C validator