Theorem nn0ge2m1nn 9546

Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge2m1nn	|- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. NN )

Proof of Theorem nn0ge2m1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> N e. NN0 )
2		1red 8277	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
3		2re 9295	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
5		nn0re 9493	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
6	2, 4, 5	3jca 1204	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) )
8		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> 2 <_ N )
9		1lt2 9395	. . . . . . 7 |- 1 < 2
10	8, 9	jctil 312	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) )
11		ltleletr 8343	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) -> 1 <_ N ) )
12	7, 10, 11	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> 1 <_ N )
13		elnnnn0c 9529	. . . . 5 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
14	1, 12, 13	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> N e. NN )
15		nn1m1nn 9243	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
16	14, 15	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
17		1re 8261	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
18	3, 17	lenlti 8362	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 <_ 1 <-> -. 1 < 2 )
19	18	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( 2 <_ 1 -> -. 1 < 2 )
20	9, 19	mt2 645	. . . . . . . 8 |- -. 2 <_ 1
21		breq2 4106	. . . . . . . 8 |- ( N = 1 -> ( 2 <_ N <-> 2 <_ 1 ) )
22	20, 21	mtbiri 682	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> -. 2 <_ N )
23	22	pm2.21d 624	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( 2 <_ N -> ( N - 1 ) e. NN ) )
24	23	com12 30	. . . . 5 |- ( 2 <_ N -> ( N = 1 -> ( N - 1 ) e. NN ) )
25	24	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N = 1 -> ( N - 1 ) e. NN ) )
26	25	orim1d 795	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) e. NN ) ) )
27	16, 26	mpd 13	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
28		oridm 765	. 2 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) e. NN ) <-> ( N - 1 ) e. NN )
29	27, 28	sylib 122	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4102  (class class class)co 6041   RRcr 8114   1c1 8116   < clt 8296   <_ cle 8297   - cmin 8432   NNcn 9225   2c2 9276   NN0cn0 9484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-addcom 8215  ax-addass 8217  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-ltadd 8231

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-br 4103  df-opab 4165  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-inn 9226  df-2 9284  df-n0 9485

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  9547