ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ge2m1nn Unicode version

Theorem nn0ge2m1nn 8731
Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge2m1nn  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem nn0ge2m1nn
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
2 1red 7501 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
3 2re 8490 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
43a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
5 nn0re 8680 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
62, 4, 53jca 1123 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
76adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
8 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
2  <_  N )
9 1lt2 8583 . . . . . . 7  |-  1  <  2
108, 9jctil 305 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( 1  <  2  /\  2  <_  N ) )
11 ltleletr 7565 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  N )  ->  1  <_  N
) )
127, 10, 11sylc 61 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
1  <_  N )
13 elnnnn0c 8716 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
141, 12, 13sylanbrc 408 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  N  e.  NN )
15 nn1m1nn 8438 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  ( N  -  1
)  e.  NN ) )
1614, 15syl 14 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  =  1  \/  ( N  - 
1 )  e.  NN ) )
17 1re 7485 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
183, 17lenlti 7583 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <_  1  <->  -.  1  <  2 )
1918biimpi 118 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <_  1  ->  -.  1  <  2 )
209, 19mt2 604 . . . . . . . 8  |-  -.  2  <_  1
21 breq2 3849 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  1  ->  (
2  <_  N  <->  2  <_  1 ) )
2220, 21mtbiri 635 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  -.  2  <_  N )
2322pm2.21d 584 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
2  <_  N  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2423com12 30 . . . . 5  |-  ( 2  <_  N  ->  ( N  =  1  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2524adantl 271 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  =  1  ->  ( N  - 
1 )  e.  NN ) )
2625orim1d 736 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( ( N  =  1  \/  ( N  -  1 )  e.  NN )  ->  (
( N  -  1 )  e.  NN  \/  ( N  -  1
)  e.  NN ) ) )
2716, 26mpd 13 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( ( N  - 
1 )  e.  NN  \/  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
28 oridm 709 . 2  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN  \/  ( N  -  1
)  e.  NN )  <-> 
( N  -  1 )  e.  NN )
2927, 28sylib 120 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RRcr 7347   1c1 7349    < clt 7520    <_ cle 7521    - cmin 7651   NNcn 8420   2c2 8471   NN0cn0 8671
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-inn 8421  df-2 8479  df-n0 8672
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  8732
  Copyright terms: Public domain W3C validator