ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ge2m1nn Unicode version

Theorem nn0ge2m1nn 9235
Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge2m1nn  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem nn0ge2m1nn
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
2 1red 7971 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
3 2re 8988 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
43a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
5 nn0re 9184 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
62, 4, 53jca 1177 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
76adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
8 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
2  <_  N )
9 1lt2 9087 . . . . . . 7  |-  1  <  2
108, 9jctil 312 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( 1  <  2  /\  2  <_  N ) )
11 ltleletr 8038 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  N )  ->  1  <_  N
) )
127, 10, 11sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
1  <_  N )
13 elnnnn0c 9220 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N ) )
141, 12, 13sylanbrc 417 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  N  e.  NN )
15 nn1m1nn 8936 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  ( N  -  1
)  e.  NN ) )
1614, 15syl 14 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  =  1  \/  ( N  - 
1 )  e.  NN ) )
17 1re 7955 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
183, 17lenlti 8057 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <_  1  <->  -.  1  <  2 )
1918biimpi 120 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <_  1  ->  -.  1  <  2 )
209, 19mt2 640 . . . . . . . 8  |-  -.  2  <_  1
21 breq2 4007 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  1  ->  (
2  <_  N  <->  2  <_  1 ) )
2220, 21mtbiri 675 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  -.  2  <_  N )
2322pm2.21d 619 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
2  <_  N  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2423com12 30 . . . . 5  |-  ( 2  <_  N  ->  ( N  =  1  ->  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
2524adantl 277 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  =  1  ->  ( N  - 
1 )  e.  NN ) )
2625orim1d 787 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( ( N  =  1  \/  ( N  -  1 )  e.  NN )  ->  (
( N  -  1 )  e.  NN  \/  ( N  -  1
)  e.  NN ) ) )
2716, 26mpd 13 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( ( N  - 
1 )  e.  NN  \/  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
28 oridm 757 . 2  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN  \/  ( N  -  1
)  e.  NN )  <-> 
( N  -  1 )  e.  NN )
2927, 28sylib 122 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   RRcr 7809   1c1 7811    < clt 7991    <_ cle 7992    - cmin 8127   NNcn 8918   2c2 8969   NN0cn0 9175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  9236
  Copyright terms: Public domain W3C validator