Theorem nn0ge2m1nn 9235

Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge2m1nn	|- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. NN )

Proof of Theorem nn0ge2m1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> N e. NN0 )
2		1red 7971	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
3		2re 8988	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
5		nn0re 9184	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
6	2, 4, 5	3jca 1177	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) )
8		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> 2 <_ N )
9		1lt2 9087	. . . . . . 7 |- 1 < 2
10	8, 9	jctil 312	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) )
11		ltleletr 8038	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) -> 1 <_ N ) )
12	7, 10, 11	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> 1 <_ N )
13		elnnnn0c 9220	. . . . 5 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
14	1, 12, 13	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> N e. NN )
15		nn1m1nn 8936	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
16	14, 15	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
17		1re 7955	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
18	3, 17	lenlti 8057	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 <_ 1 <-> -. 1 < 2 )
19	18	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( 2 <_ 1 -> -. 1 < 2 )
20	9, 19	mt2 640	. . . . . . . 8 |- -. 2 <_ 1
21		breq2 4007	. . . . . . . 8 |- ( N = 1 -> ( 2 <_ N <-> 2 <_ 1 ) )
22	20, 21	mtbiri 675	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> -. 2 <_ N )
23	22	pm2.21d 619	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( 2 <_ N -> ( N - 1 ) e. NN ) )
24	23	com12 30	. . . . 5 |- ( 2 <_ N -> ( N = 1 -> ( N - 1 ) e. NN ) )
25	24	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N = 1 -> ( N - 1 ) e. NN ) )
26	25	orim1d 787	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) e. NN ) ) )
27	16, 26	mpd 13	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
28		oridm 757	. 2 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) e. NN ) <-> ( N - 1 ) e. NN )
29	27, 28	sylib 122	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   RRcr 7809   1c1 7811   < clt 7991   <_ cle 7992   - cmin 8127   NNcn 8918   2c2 8969   NN0cn0 9175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  9236