Theorem nn0ge2m1nn 9355

Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge2m1nn	|- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. NN )

Proof of Theorem nn0ge2m1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> N e. NN0 )
2		1red 8087	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
3		2re 9106	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
5		nn0re 9304	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
6	2, 4, 5	3jca 1180	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) )
8		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> 2 <_ N )
9		1lt2 9206	. . . . . . 7 |- 1 < 2
10	8, 9	jctil 312	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) )
11		ltleletr 8154	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) -> 1 <_ N ) )
12	7, 10, 11	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> 1 <_ N )
13		elnnnn0c 9340	. . . . 5 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
14	1, 12, 13	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> N e. NN )
15		nn1m1nn 9054	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
16	14, 15	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
17		1re 8071	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
18	3, 17	lenlti 8173	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 <_ 1 <-> -. 1 < 2 )
19	18	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( 2 <_ 1 -> -. 1 < 2 )
20	9, 19	mt2 641	. . . . . . . 8 |- -. 2 <_ 1
21		breq2 4048	. . . . . . . 8 |- ( N = 1 -> ( 2 <_ N <-> 2 <_ 1 ) )
22	20, 21	mtbiri 677	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> -. 2 <_ N )
23	22	pm2.21d 620	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( 2 <_ N -> ( N - 1 ) e. NN ) )
24	23	com12 30	. . . . 5 |- ( 2 <_ N -> ( N = 1 -> ( N - 1 ) e. NN ) )
25	24	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N = 1 -> ( N - 1 ) e. NN ) )
26	25	orim1d 789	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) e. NN ) ) )
27	16, 26	mpd 13	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
28		oridm 759	. 2 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) e. NN ) <-> ( N - 1 ) e. NN )
29	27, 28	sylib 122	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   RRcr 7924   1c1 7926   < clt 8107   <_ cle 8108   - cmin 8243   NNcn 9036   2c2 9087   NN0cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  9356