Theorem onntri51 7234

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 2-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri51	|- ( -. -. EXMID -> -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem onntri51

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontriim 7219	. . 3 |- (EXMID -> A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
2	1	con3i 632	. 2 |- ( -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> -. EXMID )
3	2	con3i 632	1 |- ( -. -. EXMID -> -. -. A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ w3o 977   A.wral 2455  EXMIDwem 4192   Oncon0 4361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-setind 4534

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-uni 3809  df-tr 4100  df-exmid 4193  df-iord 4364  df-on 4366

This theorem is referenced by:  onntri3or  7239