Theorem onsucelsucexmidlem1 4512

Description: Lemma for onsucelsucexmid 4514. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
onsucelsucexmidlem1	|- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem onsucelsucexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4116	. . 3 |- (/) e. _V
2	1	prid1 3689	. 2 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
3		eqid 2170	. . 3 |- (/) = (/)
4	3	orci 726	. 2 |- ( (/) = (/) \/ ph )
5		eqeq1 2177	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( x = (/) <-> (/) = (/) ) )
6	5	orbi1d 786	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( (/) = (/) \/ ph ) ) )
7	6	elrab 2886	. 2 |- ( (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( (/) e. { (/) , { (/) } } /\ ( (/) = (/) \/ ph ) ) )
8	2, 4, 7	mpbir2an 937	1 |- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }

Syntax hints:   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   (/)c0 3414   {csn 3583   {cpr 3584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-nul 4115

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-nul 3415  df-sn 3589  df-pr 3590

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmidlem  4513  onsucelsucexmid  4514  acexmidlem2  5850