Theorem onsucelsucexmidlem1 4523

Description: Lemma for onsucelsucexmid 4525. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
onsucelsucexmidlem1	|- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem onsucelsucexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4127	. . 3 |- (/) e. _V
2	1	prid1 3697	. 2 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
3		eqid 2177	. . 3 |- (/) = (/)
4	3	orci 731	. 2 |- ( (/) = (/) \/ ph )
5		eqeq1 2184	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( x = (/) <-> (/) = (/) ) )
6	5	orbi1d 791	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( (/) = (/) \/ ph ) ) )
7	6	elrab 2893	. 2 |- ( (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( (/) e. { (/) , { (/) } } /\ ( (/) = (/) \/ ph ) ) )
8	2, 4, 7	mpbir2an 942	1 |- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }

Syntax hints:   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   {crab 2459   (/)c0 3422   {csn 3591   {cpr 3592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-nul 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-nul 3423  df-sn 3597  df-pr 3598

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmidlem  4524  onsucelsucexmid  4525  acexmidlem2  5865