Theorem onsucelsucexmidlem1 4307

Description: Lemma for onsucelsucexmid 4309. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
onsucelsucexmidlem1	|- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem onsucelsucexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3931	. . 3 |- (/) e. _V
2	1	prid1 3522	. 2 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
3		eqid 2083	. . 3 |- (/) = (/)
4	3	orci 683	. 2 |- ( (/) = (/) \/ ph )
5		eqeq1 2089	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( x = (/) <-> (/) = (/) ) )
6	5	orbi1d 738	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( (/) = (/) \/ ph ) ) )
7	6	elrab 2759	. 2 |- ( (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( (/) e. { (/) , { (/) } } /\ ( (/) = (/) \/ ph ) ) )
8	2, 4, 7	mpbir2an 884	1 |- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }

Syntax hints:   \/ wo 662   = wceq 1285   e. wcel 1434   {crab 2357   (/)c0 3269   {csn 3422   {cpr 3423

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-nul 3930

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-nul 3270  df-sn 3428  df-pr 3429

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmidlem  4308  onsucelsucexmid  4309  acexmidlem2  5588