Theorem onsucelsucexmidlem1 4505

Description: Lemma for onsucelsucexmid 4507. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
onsucelsucexmidlem1	|- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem onsucelsucexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4109	. . 3 |- (/) e. _V
2	1	prid1 3682	. 2 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
3		eqid 2165	. . 3 |- (/) = (/)
4	3	orci 721	. 2 |- ( (/) = (/) \/ ph )
5		eqeq1 2172	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( x = (/) <-> (/) = (/) ) )
6	5	orbi1d 781	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( (/) = (/) \/ ph ) ) )
7	6	elrab 2882	. 2 |- ( (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( (/) e. { (/) , { (/) } } /\ ( (/) = (/) \/ ph ) ) )
8	2, 4, 7	mpbir2an 932	1 |- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }

Syntax hints:   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   {crab 2448   (/)c0 3409   {csn 3576   {cpr 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-nul 4108

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmidlem  4506  onsucelsucexmid  4507  acexmidlem2  5839