ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  acexmidlem2 Unicode version

Theorem acexmidlem2 5631
Description: Lemma for acexmid 5633. This builds on acexmidlem1 5630 by noting that every element of  C is inhabited.

(Note that  y is not quite a function in the df-fun 5004 sense because it uses ordered pairs as described in opthreg 4362 rather than df-op 3450).

The set  A is also found in onsucelsucexmidlem 4335.

(Contributed by Jim Kingdon, 5-Aug-2019.)

Hypotheses
Ref Expression
acexmidlem.a  |-  A  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
acexmidlem.b  |-  B  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
acexmidlem.c  |-  C  =  { A ,  B }
Assertion
Ref Expression
acexmidlem2  |-  ( A. z  e.  C  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, w, v, u, A   
x, B, y, z, w, v, u    x, C, y, z, w, v, u    ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlem2
StepHypRef Expression
1 df-ral 2364 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. w ( w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
2 19.23v 1811 . . . . 5  |-  ( A. w ( w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )  <->  ( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
31, 2bitr2i 183 . . . 4  |-  ( ( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )  <->  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )
4 acexmidlem.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  { A ,  B }
54eleq2i 2154 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  C  <->  z  e.  { A ,  B }
)
6 vex 2622 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
76elpr 3462 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { A ,  B }  <->  ( z  =  A  \/  z  =  B ) )
85, 7bitri 182 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  C  <->  ( z  =  A  \/  z  =  B ) )
9 onsucelsucexmidlem1 4334 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( x  =  (/)  \/ 
ph ) }
10 acexmidlem.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
119, 10eleqtrri 2163 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  A
12 elex2 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  A  ->  E. w  w  e.  A )
1311, 12ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  E. w  w  e.  A
14 eleq2 2151 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  A  ->  (
w  e.  z  <->  w  e.  A ) )
1514exbidv 1753 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  ( E. w  w  e.  z 
<->  E. w  w  e.  A ) )
1613, 15mpbiri 166 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  E. w  w  e.  z )
17 p0ex 4014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { (/) }  e.  _V
1817prid2 3544 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
19 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { (/) }  =  { (/) }
2019orci 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
(/) }  =  { (/)
}  \/  ph )
21 eqeq1 2094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( x  =  { (/) }  <->  { (/) }  =  { (/)
} ) )
2221orbi1d 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( x  =  { (/)
}  \/  ph )  <->  ( { (/) }  =  { (/)
}  \/  ph )
) )
2322elrab 2769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
(/) }  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }  <->  ( { (/)
}  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  ( { (/) }  =  { (/)
}  \/  ph )
) )
2418, 20, 23mpbir2an 888 . . . . . . . . . . 11  |-  { (/) }  e.  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
25 acexmidlem.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
2624, 25eleqtrri 2163 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  B
27 elex2 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
(/) }  e.  B  ->  E. w  w  e.  B )
2826, 27ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  E. w  w  e.  B
29 eleq2 2151 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  B  ->  (
w  e.  z  <->  w  e.  B ) )
3029exbidv 1753 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  ( E. w  w  e.  z 
<->  E. w  w  e.  B ) )
3128, 30mpbiri 166 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  E. w  w  e.  z )
3216, 31jaoi 671 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  A  \/  z  =  B )  ->  E. w  w  e.  z )
338, 32sylbi 119 . . . . . 6  |-  ( z  e.  C  ->  E. w  w  e.  z )
34 pm2.27 39 . . . . . 6  |-  ( E. w  w  e.  z  ->  ( ( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
3533, 34syl 14 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  ->  (
( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
)  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
3635imp 122 . . . 4  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )
373, 36sylan2br 282 . . 3  |-  ( ( z  e.  C  /\  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
)  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )
3837ralimiaa 2437 . 2  |-  ( A. z  e.  C  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
) )
3910, 25, 4acexmidlem1 5630 . 2  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
4038, 39syl 14 1  |-  ( A. z  e.  C  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664   A.wal 1287    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   E!wreu 2361   {crab 2363   (/)c0 3284   {csn 3441   {cpr 3442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-tr 3929  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iota 4967  df-riota 5590
This theorem is referenced by:  acexmidlemv  5632
  Copyright terms: Public domain W3C validator