Theorem acexmidlem2 6014

Description: Lemma for acexmid 6016. This builds on acexmidlem1 6013 by noting that every element of C is inhabited.

(Note that y is not quite a function in the df-fun 5328 sense because it uses ordered pairs as described in opthreg 4654 rather than df-op 3678).

The set A is also found in onsucelsucexmidlem 4627.

(Contributed by Jim Kingdon, 5-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlem2	|- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, v, u, A   x, B, y, z, w, v, u   x, C, y, z, w, v, u   ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2515	. . . . 5 |- ( A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. w ( w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
2		19.23v 1931	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) <-> ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
3	1, 2	bitr2i 185	. . . 4 |- ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) <-> A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
4		acexmidlem.c	. . . . . . . . 9 |- C = { A , B }
5	4	eleq2i 2298	. . . . . . . 8 |- ( z e. C <-> z e. { A , B } )
6		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
7	6	elpr 3690	. . . . . . . 8 |- ( z e. { A , B } <-> ( z = A \/ z = B ) )
8	5, 7	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( z e. C <-> ( z = A \/ z = B ) )
9		onsucelsucexmidlem1 4626	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
10		acexmidlem.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
11	9, 10	eleqtrri 2307	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. A
12		elex2 2819	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. A -> E. w w e. A )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. A
14		eleq2 2295	. . . . . . . . . 10 |- ( z = A -> ( w e. z <-> w e. A ) )
15	14	exbidv 1873	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. A ) )
16	13, 15	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> E. w w e. z )
17		p0ex 4278	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } e. _V
18	17	prid2 3778	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
19		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } = { (/) }
20	19	orci 738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } = { (/) } \/ ph )
21		eqeq1 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = { (/) } -> ( x = { (/) } <-> { (/) } = { (/) } ) )
22	21	orbi1d 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { (/) } -> ( ( x = { (/) } \/ ph ) <-> ( { (/) } = { (/) } \/ ph ) ) )
23	22	elrab 2962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) } <-> ( { (/) } e. { (/) , { (/) } } /\ ( { (/) } = { (/) } \/ ph ) ) )
24	18, 20, 23	mpbir2an 950	. . . . . . . . . . 11 |- { (/) } e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
25		acexmidlem.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
26	24, 25	eleqtrri 2307	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. B
27		elex2 2819	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. B -> E. w w e. B )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. B
29		eleq2 2295	. . . . . . . . . 10 |- ( z = B -> ( w e. z <-> w e. B ) )
30	29	exbidv 1873	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. B ) )
31	28, 30	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> E. w w e. z )
32	16, 31	jaoi 723	. . . . . . 7 |- ( ( z = A \/ z = B ) -> E. w w e. z )
33	8, 32	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( z e. C -> E. w w e. z )
34		pm2.27 40	. . . . . 6 |- ( E. w w e. z -> ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . 5 |- ( z e. C -> ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
36	35	imp 124	. . . 4 |- ( ( z e. C /\ ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
37	3, 36	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( z e. C /\ A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
38	37	ralimiaa 2594	. 2 |- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
39	10, 25, 4	acexmidlem1 6013	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )
40	38, 39	syl 14	1 |- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   A.wal 1395   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   E!wreu 2512   {crab 2514   (/)c0 3494   {csn 3669   {cpr 3670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iota 5286  df-riota 5970

This theorem is referenced by:  acexmidlemv  6015