Theorem acexmidlem2 5824

Description: Lemma for acexmid 5826. This builds on acexmidlem1 5823 by noting that every element of C is inhabited.

(Note that y is not quite a function in the df-fun 5175 sense because it uses ordered pairs as described in opthreg 4518 rather than df-op 3570).

The set A is also found in onsucelsucexmidlem 4491.

(Contributed by Jim Kingdon, 5-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlem2	|- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, v, u, A   x, B, y, z, w, v, u   x, C, y, z, w, v, u   ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2440	. . . . 5 |- ( A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. w ( w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
2		19.23v 1863	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) <-> ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
3	1, 2	bitr2i 184	. . . 4 |- ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) <-> A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
4		acexmidlem.c	. . . . . . . . 9 |- C = { A , B }
5	4	eleq2i 2224	. . . . . . . 8 |- ( z e. C <-> z e. { A , B } )
6		vex 2715	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
7	6	elpr 3582	. . . . . . . 8 |- ( z e. { A , B } <-> ( z = A \/ z = B ) )
8	5, 7	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( z e. C <-> ( z = A \/ z = B ) )
9		onsucelsucexmidlem1 4490	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
10		acexmidlem.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
11	9, 10	eleqtrri 2233	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. A
12		elex2 2728	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. A -> E. w w e. A )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. A
14		eleq2 2221	. . . . . . . . . 10 |- ( z = A -> ( w e. z <-> w e. A ) )
15	14	exbidv 1805	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. A ) )
16	13, 15	mpbiri 167	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> E. w w e. z )
17		p0ex 4152	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } e. _V
18	17	prid2 3668	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
19		eqid 2157	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } = { (/) }
20	19	orci 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } = { (/) } \/ ph )
21		eqeq1 2164	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = { (/) } -> ( x = { (/) } <-> { (/) } = { (/) } ) )
22	21	orbi1d 781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { (/) } -> ( ( x = { (/) } \/ ph ) <-> ( { (/) } = { (/) } \/ ph ) ) )
23	22	elrab 2868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) } <-> ( { (/) } e. { (/) , { (/) } } /\ ( { (/) } = { (/) } \/ ph ) ) )
24	18, 20, 23	mpbir2an 927	. . . . . . . . . . 11 |- { (/) } e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
25		acexmidlem.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
26	24, 25	eleqtrri 2233	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. B
27		elex2 2728	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. B -> E. w w e. B )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. B
29		eleq2 2221	. . . . . . . . . 10 |- ( z = B -> ( w e. z <-> w e. B ) )
30	29	exbidv 1805	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. B ) )
31	28, 30	mpbiri 167	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> E. w w e. z )
32	16, 31	jaoi 706	. . . . . . 7 |- ( ( z = A \/ z = B ) -> E. w w e. z )
33	8, 32	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( z e. C -> E. w w e. z )
34		pm2.27 40	. . . . . 6 |- ( E. w w e. z -> ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . 5 |- ( z e. C -> ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
36	35	imp 123	. . . 4 |- ( ( z e. C /\ ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
37	3, 36	sylan2br 286	. . 3 |- ( ( z e. C /\ A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
38	37	ralimiaa 2519	. 2 |- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
39	10, 25, 4	acexmidlem1 5823	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )
40	38, 39	syl 14	1 |- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   A.wal 1333   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   E!wreu 2437   {crab 2439   (/)c0 3395   {csn 3561   {cpr 3562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-uni 3775  df-tr 4066  df-iord 4329  df-on 4331  df-suc 4334  df-iota 5138  df-riota 5783

This theorem is referenced by:  acexmidlemv  5825