Theorem acexmidlem2 5915

Description: Lemma for acexmid 5917. This builds on acexmidlem1 5914 by noting that every element of C is inhabited.

(Note that y is not quite a function in the df-fun 5256 sense because it uses ordered pairs as described in opthreg 4588 rather than df-op 3627).

The set A is also found in onsucelsucexmidlem 4561.

(Contributed by Jim Kingdon, 5-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlem2	|- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, v, u, A   x, B, y, z, w, v, u   x, C, y, z, w, v, u   ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2477	. . . . 5 |- ( A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. w ( w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
2		19.23v 1894	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) <-> ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
3	1, 2	bitr2i 185	. . . 4 |- ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) <-> A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
4		acexmidlem.c	. . . . . . . . 9 |- C = { A , B }
5	4	eleq2i 2260	. . . . . . . 8 |- ( z e. C <-> z e. { A , B } )
6		vex 2763	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
7	6	elpr 3639	. . . . . . . 8 |- ( z e. { A , B } <-> ( z = A \/ z = B ) )
8	5, 7	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( z e. C <-> ( z = A \/ z = B ) )
9		onsucelsucexmidlem1 4560	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
10		acexmidlem.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
11	9, 10	eleqtrri 2269	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. A
12		elex2 2776	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. A -> E. w w e. A )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. A
14		eleq2 2257	. . . . . . . . . 10 |- ( z = A -> ( w e. z <-> w e. A ) )
15	14	exbidv 1836	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. A ) )
16	13, 15	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> E. w w e. z )
17		p0ex 4217	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } e. _V
18	17	prid2 3725	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
19		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } = { (/) }
20	19	orci 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } = { (/) } \/ ph )
21		eqeq1 2200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = { (/) } -> ( x = { (/) } <-> { (/) } = { (/) } ) )
22	21	orbi1d 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { (/) } -> ( ( x = { (/) } \/ ph ) <-> ( { (/) } = { (/) } \/ ph ) ) )
23	22	elrab 2916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) } <-> ( { (/) } e. { (/) , { (/) } } /\ ( { (/) } = { (/) } \/ ph ) ) )
24	18, 20, 23	mpbir2an 944	. . . . . . . . . . 11 |- { (/) } e. { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
25		acexmidlem.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
26	24, 25	eleqtrri 2269	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. B
27		elex2 2776	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. B -> E. w w e. B )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. B
29		eleq2 2257	. . . . . . . . . 10 |- ( z = B -> ( w e. z <-> w e. B ) )
30	29	exbidv 1836	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. B ) )
31	28, 30	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> E. w w e. z )
32	16, 31	jaoi 717	. . . . . . 7 |- ( ( z = A \/ z = B ) -> E. w w e. z )
33	8, 32	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( z e. C -> E. w w e. z )
34		pm2.27 40	. . . . . 6 |- ( E. w w e. z -> ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . 5 |- ( z e. C -> ( ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
36	35	imp 124	. . . 4 |- ( ( z e. C /\ ( E. w w e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
37	3, 36	sylan2br 288	. . 3 |- ( ( z e. C /\ A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
38	37	ralimiaa 2556	. 2 |- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
39	10, 25, 4	acexmidlem1 5914	. 2 |- ( A. z e. C E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )
40	38, 39	syl 14	1 |- ( A. z e. C A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   E!wreu 2474   {crab 2476   (/)c0 3446   {csn 3618   {cpr 3619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iota 5215  df-riota 5873

This theorem is referenced by:  acexmidlemv  5916