ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  acexmidlem2 Unicode version

Theorem acexmidlem2 5764
Description: Lemma for acexmid 5766. This builds on acexmidlem1 5763 by noting that every element of  C is inhabited.

(Note that  y is not quite a function in the df-fun 5120 sense because it uses ordered pairs as described in opthreg 4466 rather than df-op 3531).

The set  A is also found in onsucelsucexmidlem 4439.

(Contributed by Jim Kingdon, 5-Aug-2019.)

Hypotheses
Ref Expression
acexmidlem.a  |-  A  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
acexmidlem.b  |-  B  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
acexmidlem.c  |-  C  =  { A ,  B }
Assertion
Ref Expression
acexmidlem2  |-  ( A. z  e.  C  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, w, v, u, A   
x, B, y, z, w, v, u    x, C, y, z, w, v, u    ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlem2
StepHypRef Expression
1 df-ral 2419 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. w ( w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
2 19.23v 1855 . . . . 5  |-  ( A. w ( w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )  <->  ( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
31, 2bitr2i 184 . . . 4  |-  ( ( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )  <->  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )
4 acexmidlem.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  { A ,  B }
54eleq2i 2204 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  C  <->  z  e.  { A ,  B }
)
6 vex 2684 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
76elpr 3543 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { A ,  B }  <->  ( z  =  A  \/  z  =  B ) )
85, 7bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  C  <->  ( z  =  A  \/  z  =  B ) )
9 onsucelsucexmidlem1 4438 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( x  =  (/)  \/ 
ph ) }
10 acexmidlem.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
119, 10eleqtrri 2213 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  A
12 elex2 2697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  A  ->  E. w  w  e.  A )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  E. w  w  e.  A
14 eleq2 2201 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  A  ->  (
w  e.  z  <->  w  e.  A ) )
1514exbidv 1797 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  ( E. w  w  e.  z 
<->  E. w  w  e.  A ) )
1613, 15mpbiri 167 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  E. w  w  e.  z )
17 p0ex 4107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { (/) }  e.  _V
1817prid2 3625 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
19 eqid 2137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { (/) }  =  { (/) }
2019orci 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
(/) }  =  { (/)
}  \/  ph )
21 eqeq1 2144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( x  =  { (/) }  <->  { (/) }  =  { (/)
} ) )
2221orbi1d 780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( x  =  { (/)
}  \/  ph )  <->  ( { (/) }  =  { (/)
}  \/  ph )
) )
2322elrab 2835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
(/) }  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }  <->  ( { (/)
}  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  ( { (/) }  =  { (/)
}  \/  ph )
) )
2418, 20, 23mpbir2an 926 . . . . . . . . . . 11  |-  { (/) }  e.  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
25 acexmidlem.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
2624, 25eleqtrri 2213 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  B
27 elex2 2697 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
(/) }  e.  B  ->  E. w  w  e.  B )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  E. w  w  e.  B
29 eleq2 2201 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  B  ->  (
w  e.  z  <->  w  e.  B ) )
3029exbidv 1797 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  ( E. w  w  e.  z 
<->  E. w  w  e.  B ) )
3128, 30mpbiri 167 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  E. w  w  e.  z )
3216, 31jaoi 705 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  A  \/  z  =  B )  ->  E. w  w  e.  z )
338, 32sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( z  e.  C  ->  E. w  w  e.  z )
34 pm2.27 40 . . . . . 6  |-  ( E. w  w  e.  z  ->  ( ( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
3533, 34syl 14 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  ->  (
( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
)  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
3635imp 123 . . . 4  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )
373, 36sylan2br 286 . . 3  |-  ( ( z  e.  C  /\  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
)  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )
3837ralimiaa 2492 . 2  |-  ( A. z  e.  C  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
) )
3910, 25, 4acexmidlem1 5763 . 2  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
4038, 39syl 14 1  |-  ( A. z  e.  C  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697   A.wal 1329    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   E!wreu 2416   {crab 2418   (/)c0 3358   {csn 3522   {cpr 3523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-tr 4022  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iota 5083  df-riota 5723
This theorem is referenced by:  acexmidlemv  5765
  Copyright terms: Public domain W3C validator