Theorem onsucelsucexmidlem1 4505

Description: Lemma for onsucelsucexmid 4507. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
onsucelsucexmidlem1	⊢ ∅ ∈ {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = ∅ ∨ 𝜑)}

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Proof of Theorem onsucelsucexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4109	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 3682	. 2 ⊢ ∅ ∈ {∅, {∅}}
3		eqid 2165	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
4	3	orci 721	. 2 ⊢ (∅ = ∅ ∨ 𝜑)
5		eqeq1 2172	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 = ∅ ↔ ∅ = ∅))
6	5	orbi1d 781	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 = ∅ ∨ 𝜑) ↔ (∅ = ∅ ∨ 𝜑)))
7	6	elrab 2882	. 2 ⊢ (∅ ∈ {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = ∅ ∨ 𝜑)} ↔ (∅ ∈ {∅, {∅}} ∧ (∅ = ∅ ∨ 𝜑)))
8	2, 4, 7	mpbir2an 932	1 ⊢ ∅ ∈ {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = ∅ ∨ 𝜑)}

Syntax hints:   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {crab 2448  ∅c0 3409  {csn 3576  {cpr 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-nul 4108

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583

This theorem is referenced by:  onsucelsucexmidlem  4506  onsucelsucexmid  4507  acexmidlem2  5839