Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  onsucelsucexmid Unicode version

Theorem onsucelsucexmid 4449
 Description: The converse of onsucelsucr 4428 implies excluded middle. On the other hand, if is constrained to be a natural number, instead of an arbitrary ordinal, then the converse of onsucelsucr 4428 does hold, as seen at nnsucelsuc 6391. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucelsucexmid.1
Assertion
Ref Expression
onsucelsucexmid
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem onsucelsucexmid
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucelsucexmidlem1 4447 . . . 4
2 0elon 4318 . . . . . 6
3 onsucelsucexmidlem 4448 . . . . . 6
42, 3pm3.2i 270 . . . . 5
5 onsucelsucexmid.1 . . . . 5
6 eleq1 2203 . . . . . . 7
7 suceq 4328 . . . . . . . 8
87eleq1d 2209 . . . . . . 7
96, 8imbi12d 233 . . . . . 6
10 eleq2 2204 . . . . . . 7
11 suceq 4328 . . . . . . . 8
1211eleq2d 2210 . . . . . . 7
1310, 12imbi12d 233 . . . . . 6
149, 13rspc2va 2804 . . . . 5
154, 5, 14mp2an 423 . . . 4
161, 15ax-mp 5 . . 3
17 elsuci 4329 . . 3
1816, 17ax-mp 5 . 2
19 suc0 4337 . . . . . 6
20 p0ex 4116 . . . . . . 7
2120prid2 3634 . . . . . 6
2219, 21eqeltri 2213 . . . . 5
23 eqeq1 2147 . . . . . . 7
2423orbi1d 781 . . . . . 6
2524elrab3 2842 . . . . 5
2622, 25ax-mp 5 . . . 4
27 0ex 4059 . . . . . . 7
28 nsuceq0g 4344 . . . . . . 7
2927, 28ax-mp 5 . . . . . 6
30 df-ne 2310 . . . . . 6
3129, 30mpbi 144 . . . . 5
32 pm2.53 712 . . . . 5
3331, 32mpi 15 . . . 4
3426, 33sylbi 120 . . 3
3519eqeq1i 2148 . . . . 5
3619eqeq1i 2148 . . . . . . . 8
3731, 36mtbi 660 . . . . . . 7
3820elsn 3544 . . . . . . 7
3937, 38mtbir 661 . . . . . 6
40 eleq2 2204 . . . . . 6
4139, 40mtbii 664 . . . . 5
4235, 41sylbi 120 . . . 4
43 olc 701 . . . . 5
44 eqeq1 2147 . . . . . . . 8
4544orbi1d 781 . . . . . . 7
4645elrab3 2842 . . . . . 6
4721, 46ax-mp 5 . . . . 5
4843, 47sylibr 133 . . . 4
4942, 48nsyl 618 . . 3
5034, 49orim12i 749 . 2
5118, 50ax-mp 5 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 698   wceq 1332   wcel 1481   wne 2309  wral 2417  crab 2421  cvv 2687  c0 3364  csn 3528  cpr 3529  con0 4289   csuc 4291 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2689  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-uni 3741  df-tr 4031  df-iord 4292  df-on 4294  df-suc 4297 This theorem is referenced by:  ordsucunielexmid  4450
 Copyright terms: Public domain W3C validator