Theorem onsucsssucexmid 4511

Description: The converse of onsucsssucr 4493 implies excluded middle. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
onsucsssucexmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y -> suc x C_ suc y )

Assertion

Ref	Expression
onsucsssucexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable groups:   ph, x   x, y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem onsucsssucexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3232	. . . . . 6 |- { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
2		ordtriexmidlem 4503	. . . . . . 7 |- { z e. { (/) } | ph } e. On
3		sseq1 3170	. . . . . . . . 9 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( x C_ { (/) } <-> { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) )
4		suceq 4387	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> suc x = suc { z e. { (/) } | ph } )
5	4	sseq1d 3176	. . . . . . . . 9 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( suc x C_ suc { (/) } <-> suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) } ) )
6	3, 5	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( x C_ { (/) } -> suc x C_ suc { (/) } ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } -> suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) } ) ) )
7		suc0 4396	. . . . . . . . . 10 |- suc (/) = { (/) }
8		0elon 4377	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. On
9	8	onsuci 4500	. . . . . . . . . 10 |- suc (/) e. On
10	7, 9	eqeltrri 2244	. . . . . . . . 9 |- { (/) } e. On
11		p0ex 4174	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
12		eleq1 2233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = { (/) } -> ( y e. On <-> { (/) } e. On ) )
13	12	anbi2d 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = { (/) } -> ( ( x e. On /\ y e. On ) <-> ( x e. On /\ { (/) } e. On ) ) )
14		sseq2 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = { (/) } -> ( x C_ y <-> x C_ { (/) } ) )
15		suceq 4387	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = { (/) } -> suc y = suc { (/) } )
16	15	sseq2d 3177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = { (/) } -> ( suc x C_ suc y <-> suc x C_ suc { (/) } ) )
17	14, 16	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = { (/) } -> ( ( x C_ y -> suc x C_ suc y ) <-> ( x C_ { (/) } -> suc x C_ suc { (/) } ) ) )
18	13, 17	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( y = { (/) } -> ( ( ( x e. On /\ y e. On ) -> ( x C_ y -> suc x C_ suc y ) ) <-> ( ( x e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x C_ { (/) } -> suc x C_ suc { (/) } ) ) ) )
19		onsucsssucexmid.1	. . . . . . . . . . 11 |- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y -> suc x C_ suc y )
20	19	rspec2 2559	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. On /\ y e. On ) -> ( x C_ y -> suc x C_ suc y ) )
21	11, 18, 20	vtocl 2784	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x C_ { (/) } -> suc x C_ suc { (/) } ) )
22	10, 21	mpan2 423	. . . . . . . 8 |- ( x e. On -> ( x C_ { (/) } -> suc x C_ suc { (/) } ) )
23	6, 22	vtoclga 2796	. . . . . . 7 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. On -> ( { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } -> suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) } ) )
24	2, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } -> suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) } )
25	1, 24	ax-mp 5	. . . . 5 |- suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) }
26	10	onsuci 4500	. . . . . . 7 |- suc { (/) } e. On
27	26	onordi 4411	. . . . . 6 |- Ord suc { (/) }
28		ordelsuc 4489	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } e. On /\ Ord suc { (/) } ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. suc { (/) } <-> suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) } ) )
29	2, 27, 28	mp2an 424	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. suc { (/) } <-> suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) } )
30	25, 29	mpbir 145	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } e. suc { (/) }
31		elsucg 4389	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. On -> ( { z e. { (/) } | ph } e. suc { (/) } <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { z e. { (/) } | ph } = { (/) } ) ) )
32	2, 31	ax-mp 5	. . . 4 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. suc { (/) } <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { z e. { (/) } | ph } = { (/) } ) )
33	30, 32	mpbi 144	. . 3 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { z e. { (/) } | ph } = { (/) } )
34		elsni 3601	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
35		ordtriexmidlem2 4504	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
36	34, 35	syl 14	. . . 4 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> -. ph )
37		0ex 4116	. . . . 5 |- (/) e. _V
38		biidd 171	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
39	37, 38	rabsnt 3658	. . . 4 |- ( { z e. { (/) } | ph } = { (/) } -> ph )
40	36, 39	orim12i 754	. . 3 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { z e. { (/) } | ph } = { (/) } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
41	33, 40	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
42		orcom 723	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
43	41, 42	mpbi 144	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   Ord word 4347   Oncon0 4348   suc csuc 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356

This theorem is referenced by:  oawordriexmid  6449