Theorem onsucsssucexmid 4437

Description: The converse of onsucsssucr 4420 implies excluded middle. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
onsucsssucexmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y -> suc x C_ suc y )

Assertion

Ref	Expression
onsucsssucexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable groups:   ph, x   x, y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem onsucsssucexmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3177	. . . . . 6 |- { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
2		ordtriexmidlem 4430	. . . . . . 7 |- { z e. { (/) } | ph } e. On
3		sseq1 3115	. . . . . . . . 9 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( x C_ { (/) } <-> { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) )
4		suceq 4319	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> suc x = suc { z e. { (/) } | ph } )
5	4	sseq1d 3121	. . . . . . . . 9 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( suc x C_ suc { (/) } <-> suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) } ) )
6	3, 5	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( x C_ { (/) } -> suc x C_ suc { (/) } ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } -> suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) } ) ) )
7		suc0 4328	. . . . . . . . . 10 |- suc (/) = { (/) }
8		0elon 4309	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. On
9	8	onsuci 4427	. . . . . . . . . 10 |- suc (/) e. On
10	7, 9	eqeltrri 2211	. . . . . . . . 9 |- { (/) } e. On
11		p0ex 4107	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
12		eleq1 2200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = { (/) } -> ( y e. On <-> { (/) } e. On ) )
13	12	anbi2d 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = { (/) } -> ( ( x e. On /\ y e. On ) <-> ( x e. On /\ { (/) } e. On ) ) )
14		sseq2 3116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = { (/) } -> ( x C_ y <-> x C_ { (/) } ) )
15		suceq 4319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = { (/) } -> suc y = suc { (/) } )
16	15	sseq2d 3122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = { (/) } -> ( suc x C_ suc y <-> suc x C_ suc { (/) } ) )
17	14, 16	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = { (/) } -> ( ( x C_ y -> suc x C_ suc y ) <-> ( x C_ { (/) } -> suc x C_ suc { (/) } ) ) )
18	13, 17	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( y = { (/) } -> ( ( ( x e. On /\ y e. On ) -> ( x C_ y -> suc x C_ suc y ) ) <-> ( ( x e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x C_ { (/) } -> suc x C_ suc { (/) } ) ) ) )
19		onsucsssucexmid.1	. . . . . . . . . . 11 |- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y -> suc x C_ suc y )
20	19	rspec2 2519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. On /\ y e. On ) -> ( x C_ y -> suc x C_ suc y ) )
21	11, 18, 20	vtocl 2735	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x C_ { (/) } -> suc x C_ suc { (/) } ) )
22	10, 21	mpan2 421	. . . . . . . 8 |- ( x e. On -> ( x C_ { (/) } -> suc x C_ suc { (/) } ) )
23	6, 22	vtoclga 2747	. . . . . . 7 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. On -> ( { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } -> suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) } ) )
24	2, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } -> suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) } )
25	1, 24	ax-mp 5	. . . . 5 |- suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) }
26	10	onsuci 4427	. . . . . . 7 |- suc { (/) } e. On
27	26	onordi 4343	. . . . . 6 |- Ord suc { (/) }
28		ordelsuc 4416	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } e. On /\ Ord suc { (/) } ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. suc { (/) } <-> suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) } ) )
29	2, 27, 28	mp2an 422	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. suc { (/) } <-> suc { z e. { (/) } | ph } C_ suc { (/) } )
30	25, 29	mpbir 145	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } e. suc { (/) }
31		elsucg 4321	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. On -> ( { z e. { (/) } | ph } e. suc { (/) } <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { z e. { (/) } | ph } = { (/) } ) ) )
32	2, 31	ax-mp 5	. . . 4 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. suc { (/) } <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { z e. { (/) } | ph } = { (/) } ) )
33	30, 32	mpbi 144	. . 3 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { z e. { (/) } | ph } = { (/) } )
34		elsni 3540	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
35		ordtriexmidlem2 4431	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
36	34, 35	syl 14	. . . 4 |- ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> -. ph )
37		0ex 4050	. . . . 5 |- (/) e. _V
38		biidd 171	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
39	37, 38	rabsnt 3593	. . . 4 |- ( { z e. { (/) } | ph } = { (/) } -> ph )
40	36, 39	orim12i 748	. . 3 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { z e. { (/) } | ph } = { (/) } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
41	33, 40	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
42		orcom 717	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
43	41, 42	mpbi 144	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   {crab 2418   C_ wss 3066   (/)c0 3358   {csn 3522   Ord word 4279   Oncon0 4280   suc csuc 4282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-tr 4022  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288

This theorem is referenced by:  oawordriexmid  6359