Theorem oprab4 5835

Description: Two ways to state the domain of an operation. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
oprab4	|- { <. <. x , y >. , z >. | ( <. x , y >. e. ( A X. B ) /\ ph ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x, y, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem oprab4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4564	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	anbi1i 453	. 2 |- ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )
3	2	oprabbii 5819	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( <. x , y >. e. ( A X. B ) /\ ph ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3525   X. cxp 4532   {coprab 5768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-opab 3985  df-xp 4540  df-oprab 5771

This theorem is referenced by: (None)