Theorem oprab4 6152

Description: Two ways to state the domain of an operation. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
oprab4	|- { <. <. x , y >. , z >. | ( <. x , y >. e. ( A X. B ) /\ ph ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x, y, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem oprab4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4802	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	anbi1i 462	. 2 |- ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )
3	2	oprabbii 6136	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( <. x , y >. e. ( A X. B ) /\ ph ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3711   X. cxp 4770   {coprab 6079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-opab 4191  df-xp 4778  df-oprab 6082

This theorem is referenced by: (None)