Theorem oprab4 5924

Description: Two ways to state the domain of an operation. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
oprab4	|- { <. <. x , y >. , z >. | ( <. x , y >. e. ( A X. B ) /\ ph ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x, y, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem oprab4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4641	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	anbi1i 455	. 2 |- ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )
3	2	oprabbii 5908	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( <. x , y >. e. ( A X. B ) /\ ph ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   X. cxp 4609   {coprab 5854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617  df-oprab 5857

This theorem is referenced by: (None)