Theorem oprab4 6016

Description: Two ways to state the domain of an operation. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
oprab4	|- { <. <. x , y >. , z >. | ( <. x , y >. e. ( A X. B ) /\ ph ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x, y, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem oprab4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4705	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	anbi1i 458	. 2 |- ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )
3	2	oprabbii 6000	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( <. x , y >. e. ( A X. B ) /\ ph ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   X. cxp 4673   {coprab 5945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-opab 4106  df-xp 4681  df-oprab 5948

This theorem is referenced by: (None)