Theorem opelxp 4654

Description: Ordered pair membership in a cross product. (Contributed by NM, 15-Nov-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opelxp	|- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )

Proof of Theorem opelxp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp2 4642	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. )
2		vex 2740	. . . . . . 7 |- x e. _V
3		vex 2740	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	2, 3	opth2 4238	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. = <. x , y >. <-> ( A = x /\ B = y ) )
5		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( A = x -> ( A e. C <-> x e. C ) )
6		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( B = y -> ( B e. D <-> y e. D ) )
7	5, 6	bi2anan9 606	. . . . . 6 |- ( ( A = x /\ B = y ) -> ( ( A e. C /\ B e. D ) <-> ( x e. C /\ y e. D ) ) )
8	4, 7	sylbi 121	. . . . 5 |- ( <. A , B >. = <. x , y >. -> ( ( A e. C /\ B e. D ) <-> ( x e. C /\ y e. D ) ) )
9	8	biimprcd 160	. . . 4 |- ( ( x e. C /\ y e. D ) -> ( <. A , B >. = <. x , y >. -> ( A e. C /\ B e. D ) ) )
10	9	rexlimivv 2600	. . 3 |- ( E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. -> ( A e. C /\ B e. D ) )
11		eqid 2177	. . . 4 |- <. A , B >. = <. A , B >.
12		opeq1 3777	. . . . . 6 |- ( x = A -> <. x , y >. = <. A , y >. )
13	12	eqeq2d 2189	. . . . 5 |- ( x = A -> ( <. A , B >. = <. x , y >. <-> <. A , B >. = <. A , y >. ) )
14		opeq2 3778	. . . . . 6 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
15	14	eqeq2d 2189	. . . . 5 |- ( y = B -> ( <. A , B >. = <. A , y >. <-> <. A , B >. = <. A , B >. ) )
16	13, 15	rspc2ev 2856	. . . 4 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ <. A , B >. = <. A , B >. ) -> E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. )
17	11, 16	mp3an3 1326	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. )
18	10, 17	impbii 126	. 2 |- ( E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
19	1, 18	bitri 184	1 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   <.cop 3595   X. cxp 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-opab 4063  df-xp 4630

This theorem is referenced by:  brxp  4655  opelxpi  4656  opelxp1  4658  opelxp2  4659  opthprc  4675  elxp3  4678  opeliunxp  4679  optocl  4700  xpiindim  4761  opelres  4909  resiexg  4949  restidsing  4960  codir  5014  qfto  5015  xpmlem  5046  rnxpid  5060  ssrnres  5068  dfco2  5125  relssdmrn  5146  ressn  5166  opelf  5384  fnovex  5903  oprab4  5941  resoprab  5966  elmpocl  6064  fo1stresm  6157  fo2ndresm  6158  dfoprab4  6188  xporderlem  6227  f1od2  6231  brecop  6620  xpdom2  6826  djulclb  7049  djuss  7064  enq0enq  7425  enq0sym  7426  enq0tr  7428  nqnq0pi  7432  nnnq0lem1  7440  elinp  7468  genipv  7503  prsrlem1  7736  gt0srpr  7742  opelcn  7820  opelreal  7821  elreal2  7824  frecuzrdgrrn  10401  frec2uzrdg  10402  frecuzrdgrcl  10403  frecuzrdgsuc  10407  frecuzrdgrclt  10408  frecuzrdgsuctlem  10416  fisumcom2  11437  fprodcom2fi  11625  sqpweven  12165  2sqpwodd  12166  phimullem  12215  txuni2  13538  txcnp  13553  txcnmpt  13555  txdis1cn  13560  txlm  13561  xmeterval  13717  limccnp2lem  13927  limccnp2cntop  13928