Theorem opelxp 4656

Description: Ordered pair membership in a cross product. (Contributed by NM, 15-Nov-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opelxp	|- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )

Proof of Theorem opelxp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp2 4644	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. )
2		vex 2740	. . . . . . 7 |- x e. _V
3		vex 2740	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	2, 3	opth2 4240	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. = <. x , y >. <-> ( A = x /\ B = y ) )
5		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( A = x -> ( A e. C <-> x e. C ) )
6		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( B = y -> ( B e. D <-> y e. D ) )
7	5, 6	bi2anan9 606	. . . . . 6 |- ( ( A = x /\ B = y ) -> ( ( A e. C /\ B e. D ) <-> ( x e. C /\ y e. D ) ) )
8	4, 7	sylbi 121	. . . . 5 |- ( <. A , B >. = <. x , y >. -> ( ( A e. C /\ B e. D ) <-> ( x e. C /\ y e. D ) ) )
9	8	biimprcd 160	. . . 4 |- ( ( x e. C /\ y e. D ) -> ( <. A , B >. = <. x , y >. -> ( A e. C /\ B e. D ) ) )
10	9	rexlimivv 2600	. . 3 |- ( E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. -> ( A e. C /\ B e. D ) )
11		eqid 2177	. . . 4 |- <. A , B >. = <. A , B >.
12		opeq1 3778	. . . . . 6 |- ( x = A -> <. x , y >. = <. A , y >. )
13	12	eqeq2d 2189	. . . . 5 |- ( x = A -> ( <. A , B >. = <. x , y >. <-> <. A , B >. = <. A , y >. ) )
14		opeq2 3779	. . . . . 6 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
15	14	eqeq2d 2189	. . . . 5 |- ( y = B -> ( <. A , B >. = <. A , y >. <-> <. A , B >. = <. A , B >. ) )
16	13, 15	rspc2ev 2856	. . . 4 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ <. A , B >. = <. A , B >. ) -> E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. )
17	11, 16	mp3an3 1326	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. )
18	10, 17	impbii 126	. 2 |- ( E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
19	1, 18	bitri 184	1 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   <.cop 3595   X. cxp 4624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-opab 4065  df-xp 4632

This theorem is referenced by:  brxp  4657  opelxpi  4658  opelxp1  4660  opelxp2  4661  opthprc  4677  elxp3  4680  opeliunxp  4681  optocl  4702  xpiindim  4764  opelres  4912  resiexg  4952  restidsing  4963  codir  5017  qfto  5018  xpmlem  5049  rnxpid  5063  ssrnres  5071  dfco2  5128  relssdmrn  5149  ressn  5169  opelf  5387  fnovex  5907  oprab4  5945  resoprab  5970  elmpocl  6068  fo1stresm  6161  fo2ndresm  6162  dfoprab4  6192  xporderlem  6231  f1od2  6235  brecop  6624  xpdom2  6830  djulclb  7053  djuss  7068  enq0enq  7429  enq0sym  7430  enq0tr  7432  nqnq0pi  7436  nnnq0lem1  7444  elinp  7472  genipv  7507  prsrlem1  7740  gt0srpr  7746  opelcn  7824  opelreal  7825  elreal2  7828  frecuzrdgrrn  10407  frec2uzrdg  10408  frecuzrdgrcl  10409  frecuzrdgsuc  10413  frecuzrdgrclt  10414  frecuzrdgsuctlem  10422  fisumcom2  11445  fprodcom2fi  11633  sqpweven  12174  2sqpwodd  12175  phimullem  12224  txuni2  13726  txcnp  13741  txcnmpt  13743  txdis1cn  13748  txlm  13749  xmeterval  13905  limccnp2lem  14115  limccnp2cntop  14116