Theorem opelxp 4804

Description: Ordered pair membership in a cross product. (Contributed by NM, 15-Nov-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opelxp	|- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )

Proof of Theorem opelxp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp2 4792	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. )
2		vex 2824	. . . . . . 7 |- x e. _V
3		vex 2824	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	2, 3	opth2 4380	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. = <. x , y >. <-> ( A = x /\ B = y ) )
5		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( A = x -> ( A e. C <-> x e. C ) )
6		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( B = y -> ( B e. D <-> y e. D ) )
7	5, 6	bi2anan9 614	. . . . . 6 |- ( ( A = x /\ B = y ) -> ( ( A e. C /\ B e. D ) <-> ( x e. C /\ y e. D ) ) )
8	4, 7	sylbi 121	. . . . 5 |- ( <. A , B >. = <. x , y >. -> ( ( A e. C /\ B e. D ) <-> ( x e. C /\ y e. D ) ) )
9	8	biimprcd 160	. . . 4 |- ( ( x e. C /\ y e. D ) -> ( <. A , B >. = <. x , y >. -> ( A e. C /\ B e. D ) ) )
10	9	rexlimivv 2674	. . 3 |- ( E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. -> ( A e. C /\ B e. D ) )
11		eqid 2238	. . . 4 |- <. A , B >. = <. A , B >.
12		opeq1 3904	. . . . . 6 |- ( x = A -> <. x , y >. = <. A , y >. )
13	12	eqeq2d 2250	. . . . 5 |- ( x = A -> ( <. A , B >. = <. x , y >. <-> <. A , B >. = <. A , y >. ) )
14		opeq2 3905	. . . . . 6 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
15	14	eqeq2d 2250	. . . . 5 |- ( y = B -> ( <. A , B >. = <. A , y >. <-> <. A , B >. = <. A , B >. ) )
16	13, 15	rspc2ev 2945	. . . 4 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ <. A , B >. = <. A , B >. ) -> E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. )
17	11, 16	mp3an3 1367	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. )
18	10, 17	impbii 126	. 2 |- ( E. x e. C E. y e. D <. A , B >. = <. x , y >. <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
19	1, 18	bitri 184	1 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   <.cop 3712   X. cxp 4772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-opab 4193  df-xp 4780

This theorem is used by:  brxp  4805  opelxpi  4806  opelxp1  4808  opelxp2  4809  opthprc  4826  elxp3  4829  opeliunxp  4830  optocl  4851  xpiindim  4917  opelres  5068  resiexg  5108  restidsing  5119  codir  5176  qfto  5177  xpmlem  5208  rnxpid  5222  ssrnres  5230  dfco2  5287  relssdmrn  5308  ressn  5328  opelf  5560  fnovex  6118  oprab4  6159  resoprab  6184  elmpocl  6284  fo1stresm  6395  fo2ndresm  6396  dfoprab4  6426  xporderlem  6467  f1od2  6471  brecop  6899  xpdom2  7129  mapunen  7151  djulclb  7395  djuss  7410  enq0enq  7798  enq0sym  7799  enq0tr  7801  nqnq0pi  7805  nnnq0lem1  7813  elinp  7841  genipv  7876  prsrlem1  8109  gt0srpr  8115  opelcn  8193  opelreal  8194  elreal2  8197  frecuzrdgrrn  10858  frec2uzrdg  10859  frecuzrdgrcl  10860  frecuzrdgsuc  10864  frecuzrdgrclt  10865  frecuzrdgsuctlem  10873  fisumcom2  12221  fprodcom2fi  12409  sqpweven  12971  2sqpwodd  12972  phimullem  13023  relelbasov  13465  txuni2  15406  txcnp  15421  txcnmpt  15423  txdis1cn  15428  txlm  15429  xmeterval  15585  limccnp2lem  15826  limccnp2cntop  15827  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295