Theorem opwo0id 4334

Description: An ordered pair is equal to the ordered pair without the empty set. This is because no ordered pair contains the empty set. (Contributed by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
opwo0id	|- <. X , Y >. = ( <. X , Y >. \ { (/) } )

Proof of Theorem opwo0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelop 4333	. . . 4 |- -. (/) e. <. X , Y >.
2		disjsn 3728	. . . 4 |- ( ( <. X , Y >. i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. <. X , Y >. )
3	1, 2	mpbir 146	. . 3 |- ( <. X , Y >. i^i { (/) } ) = (/)
4		disjdif2 3570	. . 3 |- ( ( <. X , Y >. i^i { (/) } ) = (/) -> ( <. X , Y >. \ { (/) } ) = <. X , Y >. )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- ( <. X , Y >. \ { (/) } ) = <. X , Y >.
6	5	eqcomi 2233	1 |- <. X , Y >. = ( <. X , Y >. \ { (/) } )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1395   e. wcel 2200   \ cdif 3194   i^i cin 3196   (/)c0 3491   {csn 3666   <.cop 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675

This theorem is referenced by:  fundm2domnop0  11062