Theorem opwo0id 4301

Description: An ordered pair is equal to the ordered pair without the empty set. This is because no ordered pair contains the empty set. (Contributed by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
opwo0id	|- <. X , Y >. = ( <. X , Y >. \ { (/) } )

Proof of Theorem opwo0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelop 4300	. . . 4 |- -. (/) e. <. X , Y >.
2		disjsn 3700	. . . 4 |- ( ( <. X , Y >. i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. <. X , Y >. )
3	1, 2	mpbir 146	. . 3 |- ( <. X , Y >. i^i { (/) } ) = (/)
4		disjdif2 3543	. . 3 |- ( ( <. X , Y >. i^i { (/) } ) = (/) -> ( <. X , Y >. \ { (/) } ) = <. X , Y >. )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- ( <. X , Y >. \ { (/) } ) = <. X , Y >.
6	5	eqcomi 2210	1 |- <. X , Y >. = ( <. X , Y >. \ { (/) } )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1373   e. wcel 2177   \ cdif 3167   i^i cin 3169   (/)c0 3464   {csn 3638   <.cop 3641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647

This theorem is referenced by:  fundm2domnop0  11012