Theorem opwo0id 4341

Description: An ordered pair is equal to the ordered pair without the empty set. This is because no ordered pair contains the empty set. (Contributed by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
opwo0id	|- <. X , Y >. = ( <. X , Y >. \ { (/) } )

Proof of Theorem opwo0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelop 4340	. . . 4 |- -. (/) e. <. X , Y >.
2		disjsn 3731	. . . 4 |- ( ( <. X , Y >. i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. <. X , Y >. )
3	1, 2	mpbir 146	. . 3 |- ( <. X , Y >. i^i { (/) } ) = (/)
4		disjdif2 3573	. . 3 |- ( ( <. X , Y >. i^i { (/) } ) = (/) -> ( <. X , Y >. \ { (/) } ) = <. X , Y >. )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- ( <. X , Y >. \ { (/) } ) = <. X , Y >.
6	5	eqcomi 2235	1 |- <. X , Y >. = ( <. X , Y >. \ { (/) } )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1397   e. wcel 2202   \ cdif 3197   i^i cin 3199   (/)c0 3494   {csn 3669   <.cop 3672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678

This theorem is referenced by:  fundm2domnop0  11108