Theorem opwo0id 4365

Description: An ordered pair is equal to the ordered pair without the empty set. This is because no ordered pair contains the empty set. (Contributed by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
opwo0id	|- <. X , Y >. = ( <. X , Y >. \ { (/) } )

Proof of Theorem opwo0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelop 4364	. . . 4 |- -. (/) e. <. X , Y >.
2		disjsn 3751	. . . 4 |- ( ( <. X , Y >. i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. <. X , Y >. )
3	1, 2	mpbir 146	. . 3 |- ( <. X , Y >. i^i { (/) } ) = (/)
4		disjdif2 3588	. . 3 |- ( ( <. X , Y >. i^i { (/) } ) = (/) -> ( <. X , Y >. \ { (/) } ) = <. X , Y >. )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- ( <. X , Y >. \ { (/) } ) = <. X , Y >.
6	5	eqcomi 2236	1 |- <. X , Y >. = ( <. X , Y >. \ { (/) } )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1398   e. wcel 2203   \ cdif 3208   i^i cin 3210   (/)c0 3508   {csn 3689   <.cop 3692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698

This theorem is referenced by:  fundm2domnop0  11220