Theorem 0nelop 4281

Description: A property of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelop	|- -. (/) e. <. A , B >.

Proof of Theorem 0nelop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) e. <. A , B >. )
2		oprcl 3832	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3		dfopg 3806	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
5	1, 4	eleqtrd 2275	. . 3 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) e. { { A } , { A , B } } )
6		elpri 3645	. . 3 |- ( (/) e. { { A } , { A , B } } -> ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
8	2	simpld 112	. . . . . 6 |- ( (/) e. <. A , B >. -> A e. _V )
9		snnzg 3739	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> { A } =/= (/) )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> { A } =/= (/) )
11	10	necomd 2453	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) =/= { A } )
12		prnzg 3746	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> { A , B } =/= (/) )
13	8, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> { A , B } =/= (/) )
14	13	necomd 2453	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) =/= { A , B } )
15	11, 14	jca 306	. . 3 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( (/) =/= { A } /\ (/) =/= { A , B } ) )
16		neanior 2454	. . 3 |- ( ( (/) =/= { A } /\ (/) =/= { A , B } ) <-> -. ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
17	15, 16	sylib 122	. 2 |- ( (/) e. <. A , B >. -> -. ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
18	7, 17	pm2.65i 640	1 |- -. (/) e. <. A , B >.

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   _Vcvv 2763   (/)c0 3450   {csn 3622   {cpr 3623   <.cop 3625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-nul 3451  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631

This theorem is referenced by:  0nelelxp  4692