Theorem 0nelop 4364

Description: A property of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelop	|- -. (/) e. <. A , B >.

Proof of Theorem 0nelop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) e. <. A , B >. )
2		oprcl 3907	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3		dfopg 3881	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
5	1, 4	eleqtrd 2311	. . 3 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) e. { { A } , { A , B } } )
6		elpri 3712	. . 3 |- ( (/) e. { { A } , { A , B } } -> ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
8	2	simpld 112	. . . . . 6 |- ( (/) e. <. A , B >. -> A e. _V )
9		snnzg 3809	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> { A } =/= (/) )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> { A } =/= (/) )
11	10	necomd 2498	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) =/= { A } )
12		prnzg 3817	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> { A , B } =/= (/) )
13	8, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> { A , B } =/= (/) )
14	13	necomd 2498	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) =/= { A , B } )
15	11, 14	jca 306	. . 3 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( (/) =/= { A } /\ (/) =/= { A , B } ) )
16		neanior 2499	. . 3 |- ( ( (/) =/= { A } /\ (/) =/= { A , B } ) <-> -. ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
17	15, 16	sylib 122	. 2 |- ( (/) e. <. A , B >. -> -. ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
18	7, 17	pm2.65i 644	1 |- -. (/) e. <. A , B >.

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   _Vcvv 2813   (/)c0 3508   {csn 3689   {cpr 3690   <.cop 3692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-nul 3509  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698

This theorem is referenced by:  opwo0id  4365  0nelelxp  4778