Theorem 0nelop 4340

Description: A property of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelop	|- -. (/) e. <. A , B >.

Proof of Theorem 0nelop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) e. <. A , B >. )
2		oprcl 3886	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3		dfopg 3860	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
5	1, 4	eleqtrd 2310	. . 3 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) e. { { A } , { A , B } } )
6		elpri 3692	. . 3 |- ( (/) e. { { A } , { A , B } } -> ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
8	2	simpld 112	. . . . . 6 |- ( (/) e. <. A , B >. -> A e. _V )
9		snnzg 3789	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> { A } =/= (/) )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> { A } =/= (/) )
11	10	necomd 2488	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) =/= { A } )
12		prnzg 3797	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> { A , B } =/= (/) )
13	8, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> { A , B } =/= (/) )
14	13	necomd 2488	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) =/= { A , B } )
15	11, 14	jca 306	. . 3 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( (/) =/= { A } /\ (/) =/= { A , B } ) )
16		neanior 2489	. . 3 |- ( ( (/) =/= { A } /\ (/) =/= { A , B } ) <-> -. ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
17	15, 16	sylib 122	. 2 |- ( (/) e. <. A , B >. -> -. ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
18	7, 17	pm2.65i 644	1 |- -. (/) e. <. A , B >.

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   {csn 3669   {cpr 3670   <.cop 3672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-nul 3495  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678

This theorem is referenced by:  opwo0id  4341  0nelelxp  4754