ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0nelop Unicode version

Theorem 0nelop 4042
Description: A property of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0nelop  |-  -.  (/)  e.  <. A ,  B >.

Proof of Theorem 0nelop
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4  |-  ( (/)  e.  <. A ,  B >.  ->  (/)  e.  <. A ,  B >. )
2 oprcl 3623 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  <. A ,  B >.  ->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
3 dfopg 3597 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. A ,  B >.  =  { { A } ,  { A ,  B } } )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( (/)  e.  <. A ,  B >.  ->  <. A ,  B >.  =  { { A } ,  { A ,  B } } )
51, 4eleqtrd 2163 . . 3  |-  ( (/)  e.  <. A ,  B >.  ->  (/)  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )
6 elpri 3448 . . 3  |-  ( (/)  e.  { { A } ,  { A ,  B } }  ->  ( (/)  =  { A }  \/  (/)  =  { A ,  B } ) )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( (/)  e.  <. A ,  B >.  ->  ( (/)  =  { A }  \/  (/)  =  { A ,  B }
) )
82simpld 110 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  <. A ,  B >.  ->  A  e.  _V )
9 snnzg 3534 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  =/=  (/) )
108, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  <. A ,  B >.  ->  { A }  =/=  (/) )
1110necomd 2337 . . . 4  |-  ( (/)  e.  <. A ,  B >.  ->  (/)  =/=  { A } )
12 prnzg 3541 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  { A ,  B }  =/=  (/) )
138, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  <. A ,  B >.  ->  { A ,  B }  =/=  (/) )
1413necomd 2337 . . . 4  |-  ( (/)  e.  <. A ,  B >.  ->  (/)  =/=  { A ,  B } )
1511, 14jca 300 . . 3  |-  ( (/)  e.  <. A ,  B >.  ->  ( (/)  =/=  { A }  /\  (/)  =/=  { A ,  B }
) )
16 neanior 2338 . . 3  |-  ( (
(/)  =/=  { A }  /\  (/)  =/=  { A ,  B } )  <->  -.  ( (/)  =  { A }  \/  (/)  =  { A ,  B } ) )
1715, 16sylib 120 . 2  |-  ( (/)  e.  <. A ,  B >.  ->  -.  ( (/)  =  { A }  \/  (/)  =  { A ,  B }
) )
187, 17pm2.65i 601 1  |-  -.  (/)  e.  <. A ,  B >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    \/ wo 662    = wceq 1287    e. wcel 1436    =/= wne 2251   _Vcvv 2614   (/)c0 3272   {csn 3425   {cpr 3426   <.cop 3428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-nul 3273  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434
This theorem is referenced by:  0nelelxp  4432
  Copyright terms: Public domain W3C validator