Theorem 0nelop 4383

Description: A property of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelop	|- -. (/) e. <. A , B >.

Proof of Theorem 0nelop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) e. <. A , B >. )
2		oprcl 3923	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3		dfopg 3897	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
5	1, 4	eleqtrd 2317	. . 3 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) e. { { A } , { A , B } } )
6		elpri 3728	. . 3 |- ( (/) e. { { A } , { A , B } } -> ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
8	2	simpld 112	. . . . . 6 |- ( (/) e. <. A , B >. -> A e. _V )
9		snnzg 3825	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> { A } =/= (/) )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> { A } =/= (/) )
11	10	necomd 2506	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) =/= { A } )
12		prnzg 3833	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> { A , B } =/= (/) )
13	8, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> { A , B } =/= (/) )
14	13	necomd 2506	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) =/= { A , B } )
15	11, 14	jca 306	. . 3 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( (/) =/= { A } /\ (/) =/= { A , B } ) )
16		neanior 2507	. . 3 |- ( ( (/) =/= { A } /\ (/) =/= { A , B } ) <-> -. ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
17	15, 16	sylib 122	. 2 |- ( (/) e. <. A , B >. -> -. ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
18	7, 17	pm2.65i 648	1 |- -. (/) e. <. A , B >.

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {csn 3705   {cpr 3706   <.cop 3708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-nul 3521  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714

This theorem is referenced by:  opwo0id  4384  0nelelxp  4798