Theorem ordgt0ge1 6340

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	|- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) )

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4322	. . 3 |- (/) e. On
2		ordelsuc 4429	. . 3 |- ( ( (/) e. On /\ Ord A ) -> ( (/) e. A <-> suc (/) C_ A ) )
3	1, 2	mpan 421	. 2 |- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> suc (/) C_ A ) )
4		df-1o 6321	. . 3 |- 1o = suc (/)
5	4	sseq1i 3128	. 2 |- ( 1o C_ A <-> suc (/) C_ A )
6	3, 5	syl6bbr 197	1 |- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1481   C_ wss 3076   (/)c0 3368   Ord word 4292   Oncon0 4293   suc csuc 4295   1oc1o 6314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-nul 4062

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-uni 3745  df-tr 4035  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-1o 6321

This theorem is referenced by:  ordge1n0im  6341  archnqq  7249