Theorem ordgt0ge1 6332

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	|- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) )

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4314	. . 3 |- (/) e. On
2		ordelsuc 4421	. . 3 |- ( ( (/) e. On /\ Ord A ) -> ( (/) e. A <-> suc (/) C_ A ) )
3	1, 2	mpan 420	. 2 |- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> suc (/) C_ A ) )
4		df-1o 6313	. . 3 |- 1o = suc (/)
5	4	sseq1i 3123	. 2 |- ( 1o C_ A <-> suc (/) C_ A )
6	3, 5	syl6bbr 197	1 |- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1480   C_ wss 3071   (/)c0 3363   Ord word 4284   Oncon0 4285   suc csuc 4287   1oc1o 6306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-nul 4054

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-uni 3737  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-1o 6313

This theorem is referenced by:  ordge1n0im  6333  archnqq  7225