Theorem ordgt0ge1 6403

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	|- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) )

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4370	. . 3 |- (/) e. On
2		ordelsuc 4482	. . 3 |- ( ( (/) e. On /\ Ord A ) -> ( (/) e. A <-> suc (/) C_ A ) )
3	1, 2	mpan 421	. 2 |- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> suc (/) C_ A ) )
4		df-1o 6384	. . 3 |- 1o = suc (/)
5	4	sseq1i 3168	. 2 |- ( 1o C_ A <-> suc (/) C_ A )
6	3, 5	bitr4di 197	1 |- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2136   C_ wss 3116   (/)c0 3409   Ord word 4340   Oncon0 4341   suc csuc 4343   1oc1o 6377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-nul 4108

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-1o 6384

This theorem is referenced by:  ordge1n0im  6404  archnqq  7358