Theorem ordgt0ge1 6382

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	|- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) )

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4352	. . 3 |- (/) e. On
2		ordelsuc 4464	. . 3 |- ( ( (/) e. On /\ Ord A ) -> ( (/) e. A <-> suc (/) C_ A ) )
3	1, 2	mpan 421	. 2 |- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> suc (/) C_ A ) )
4		df-1o 6363	. . 3 |- 1o = suc (/)
5	4	sseq1i 3154	. 2 |- ( 1o C_ A <-> suc (/) C_ A )
6	3, 5	bitr4di 197	1 |- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2128   C_ wss 3102   (/)c0 3394   Ord word 4322   Oncon0 4323   suc csuc 4325   1oc1o 6356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-nul 4090

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-uni 3773  df-tr 4063  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-1o 6363

This theorem is referenced by:  ordge1n0im  6383  archnqq  7337