Theorem ordgt0ge1 6544

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	|- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) )

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4457	. . 3 |- (/) e. On
2		ordelsuc 4571	. . 3 |- ( ( (/) e. On /\ Ord A ) -> ( (/) e. A <-> suc (/) C_ A ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> suc (/) C_ A ) )
4		df-1o 6525	. . 3 |- 1o = suc (/)
5	4	sseq1i 3227	. 2 |- ( 1o C_ A <-> suc (/) C_ A )
6	3, 5	bitr4di 198	1 |- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2178   C_ wss 3174   (/)c0 3468   Ord word 4427   Oncon0 4428   suc csuc 4430   1oc1o 6518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-nul 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-uni 3865  df-tr 4159  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-1o 6525

This theorem is referenced by:  ordge1n0im  6545  archnqq  7565