ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  archnqq Unicode version

Theorem archnqq 7415
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
archnqq  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem archnqq
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7376 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
2 1pi 7313 . . . . . . 7  |-  1o  e.  N.
3 addclpi 7325 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( z  +N  1o )  e.  N. )
42, 3mpan2 425 . . . . . 6  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  1o )  e.  N. )
54adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +N  1o )  e.  N. )
65adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  (
z  +N  1o )  e.  N. )
7 pinn 7307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  om )
8 1onn 6520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  om
9 nnacl 6480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
( z  +o  1o )  e.  om )
107, 8, 9sylancl 413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +o  1o )  e.  om )
1110adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +o  1o )  e.  om )
12 nnm1 6525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  +o  1o )  e.  om  ->  (
( z  +o  1o )  .o  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
14 elni2 7312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  N.  <->  ( w  e.  om  /\  (/)  e.  w
) )
15 nnord 4611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  om  ->  Ord  w )
16 ordgt0ge1 6435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord  w  ->  ( (/)  e.  w  <->  1o  C_  w ) )
1716biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  w  /\  (/)  e.  w
)  ->  1o  C_  w
)
1815, 17sylan 283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  om  /\  (/) 
e.  w )  ->  1o  C_  w )
1914, 18sylbi 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  N.  ->  1o  C_  w )
2019adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  1o  C_  w )
21 pinn 7307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
2221adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  w  e.  om )
23 nnaword1 6513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
z  C_  ( z  +o  1o ) )
247, 8, 23sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  z  C_  ( z  +o  1o ) )
25 elni2 7312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  N.  <->  ( z  e.  om  /\  (/)  e.  z ) )
2625simprbi 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  (/)  e.  z )
2724, 26sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (/)  e.  ( z  +o  1o ) )
2827adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  -> 
(/)  e.  ( z  +o  1o ) )
29 nnmword 6518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1o  e.  om  /\  w  e.  om  /\  ( z  +o  1o )  e.  om )  /\  (/)  e.  ( z  +o  1o ) )  ->  ( 1o  C_  w 
<->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) ) )
308, 29mp3anl1 1331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  ( z  +o  1o )  e.  om )  /\  (/)  e.  ( z  +o  1o ) )  ->  ( 1o  C_  w 
<->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) ) )
3122, 11, 28, 30syl21anc 1237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( 1o  C_  w  <->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w
) ) )
3220, 31mpbid 147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
3313, 32eqsstrrd 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
34 nna0 6474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  =  z )
35 0lt1o 6440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  1o
36 nnaordi 6508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( (/)  e.  1o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  1o ) ) )
378, 36mpan 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  om  ->  ( (/) 
e.  1o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  1o ) ) )
3835, 37mpi 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  1o ) )
3934, 38eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  ( z  +o  1o ) )
407, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  ( z  +o  1o ) )
4140adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  e.  ( z  +o  1o ) )
4233, 41sseldd 3156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  e.  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
43 mulclpi 7326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  (
( z  +N  1o )  .N  w )  e. 
N. )
444, 43sylan 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  e.  N. )
45 ltpiord 7317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +N  1o )  .N  w
) ) )
4644, 45syldan 282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +N  1o )  .N  w
) ) )
47 mulpiord 7315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  (
( z  +N  1o )  .N  w )  =  ( ( z  +N  1o )  .o  w
) )
484, 47sylan 283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  =  ( ( z  +N  1o )  .o  w ) )
49 addpiord 7314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( z  +N  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
502, 49mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
5150adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +N  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
5251oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .o  w
)  =  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
5348, 52eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  =  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
5453eleq2d 2247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  e.  ( ( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +o  1o )  .o  w
) ) )
5546, 54bitrd 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +o  1o )  .o  w
) ) )
5642, 55mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  <N  ( (
z  +N  1o )  .N  w ) )
57 mulcompig 7329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  (
( z  +N  1o )  .N  w )  =  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) )
584, 57sylan 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  =  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) )
5958breq2d 4015 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  <N  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) ) )
6056, 59mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  <N  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) )
615, 2jctir 313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)
62 ordpipqqs 7372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) ) )
6361, 62mpdan 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) ) )
64 mulidpi 7316 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  .N  1o )  =  z )
6564adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  .N  1o )  =  z )
6665breq1d 4013 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  1o )  <N  (
w  .N  ( z  +N  1o ) )  <-> 
z  <N  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) ) )
6763, 66bitrd 188 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  z 
<N  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) ) )
6860, 67mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
6968adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
70 breq1 4006 . . . . . 6  |-  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ->  ( A  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
7170adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  ( A  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
7269, 71mpbird 167 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  A  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
73 opeq1 3778 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z  +N  1o )  ->  <. x ,  1o >.  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
7473eceq1d 6570 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z  +N  1o )  ->  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
7574breq2d 4015 . . . . 5  |-  ( x  =  ( z  +N  1o )  ->  ( A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  <->  A  <Q  [
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
7675rspcev 2841 . . . 4  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  A  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
776, 72, 76syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
7877exlimivv 1896 . 2  |-  ( E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
791, 78syl 14 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   E.wrex 2456    C_ wss 3129   (/)c0 3422   <.cop 3595   class class class wbr 4003   Ord word 4362   omcom 4589  (class class class)co 5874   1oc1o 6409    +o coa 6413    .o comu 6414   [cec 6532   N.cnpi 7270    +N cpli 7271    .N cmi 7272    <N clti 7273    ~Q ceq 7277   Q.cnq 7278    <Q cltq 7283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-ltnqqs 7351
This theorem is referenced by:  prarloclemarch  7416  nqprm  7540  archpr  7641  archrecnq  7661
  Copyright terms: Public domain W3C validator