ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  archnqq Unicode version

Theorem archnqq 7379
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
archnqq  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem archnqq
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7340 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
2 1pi 7277 . . . . . . 7  |-  1o  e.  N.
3 addclpi 7289 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( z  +N  1o )  e.  N. )
42, 3mpan2 423 . . . . . 6  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  1o )  e.  N. )
54adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +N  1o )  e.  N. )
65adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  (
z  +N  1o )  e.  N. )
7 pinn 7271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  om )
8 1onn 6499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  om
9 nnacl 6459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
( z  +o  1o )  e.  om )
107, 8, 9sylancl 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +o  1o )  e.  om )
1110adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +o  1o )  e.  om )
12 nnm1 6504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  +o  1o )  e.  om  ->  (
( z  +o  1o )  .o  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
14 elni2 7276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  N.  <->  ( w  e.  om  /\  (/)  e.  w
) )
15 nnord 4596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  om  ->  Ord  w )
16 ordgt0ge1 6414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord  w  ->  ( (/)  e.  w  <->  1o  C_  w ) )
1716biimpa 294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  w  /\  (/)  e.  w
)  ->  1o  C_  w
)
1815, 17sylan 281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  om  /\  (/) 
e.  w )  ->  1o  C_  w )
1914, 18sylbi 120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  N.  ->  1o  C_  w )
2019adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  1o  C_  w )
21 pinn 7271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
2221adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  w  e.  om )
23 nnaword1 6492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
z  C_  ( z  +o  1o ) )
247, 8, 23sylancl 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  z  C_  ( z  +o  1o ) )
25 elni2 7276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  N.  <->  ( z  e.  om  /\  (/)  e.  z ) )
2625simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  (/)  e.  z )
2724, 26sseldd 3148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (/)  e.  ( z  +o  1o ) )
2827adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  -> 
(/)  e.  ( z  +o  1o ) )
29 nnmword 6497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1o  e.  om  /\  w  e.  om  /\  ( z  +o  1o )  e.  om )  /\  (/)  e.  ( z  +o  1o ) )  ->  ( 1o  C_  w 
<->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) ) )
308, 29mp3anl1 1326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  ( z  +o  1o )  e.  om )  /\  (/)  e.  ( z  +o  1o ) )  ->  ( 1o  C_  w 
<->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) ) )
3122, 11, 28, 30syl21anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( 1o  C_  w  <->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w
) ) )
3220, 31mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
3313, 32eqsstrrd 3184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
34 nna0 6453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  =  z )
35 0lt1o 6419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  1o
36 nnaordi 6487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( (/)  e.  1o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  1o ) ) )
378, 36mpan 422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  om  ->  ( (/) 
e.  1o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  1o ) ) )
3835, 37mpi 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  1o ) )
3934, 38eqeltrrd 2248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  ( z  +o  1o ) )
407, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  ( z  +o  1o ) )
4140adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  e.  ( z  +o  1o ) )
4233, 41sseldd 3148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  e.  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
43 mulclpi 7290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  (
( z  +N  1o )  .N  w )  e. 
N. )
444, 43sylan 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  e.  N. )
45 ltpiord 7281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +N  1o )  .N  w
) ) )
4644, 45syldan 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +N  1o )  .N  w
) ) )
47 mulpiord 7279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  (
( z  +N  1o )  .N  w )  =  ( ( z  +N  1o )  .o  w
) )
484, 47sylan 281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  =  ( ( z  +N  1o )  .o  w ) )
49 addpiord 7278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( z  +N  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
502, 49mpan2 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
5150adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +N  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
5251oveq1d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .o  w
)  =  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
5348, 52eqtrd 2203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  =  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
5453eleq2d 2240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  e.  ( ( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +o  1o )  .o  w
) ) )
5546, 54bitrd 187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +o  1o )  .o  w
) ) )
5642, 55mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  <N  ( (
z  +N  1o )  .N  w ) )
57 mulcompig 7293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  (
( z  +N  1o )  .N  w )  =  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) )
584, 57sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  =  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) )
5958breq2d 4001 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  <N  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) ) )
6056, 59mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  <N  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) )
615, 2jctir 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)
62 ordpipqqs 7336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) ) )
6361, 62mpdan 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) ) )
64 mulidpi 7280 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  .N  1o )  =  z )
6564adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  .N  1o )  =  z )
6665breq1d 3999 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  1o )  <N  (
w  .N  ( z  +N  1o ) )  <-> 
z  <N  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) ) )
6763, 66bitrd 187 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  z 
<N  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) ) )
6860, 67mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
6968adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
70 breq1 3992 . . . . . 6  |-  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ->  ( A  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
7170adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  ( A  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
7269, 71mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  A  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
73 opeq1 3765 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z  +N  1o )  ->  <. x ,  1o >.  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
7473eceq1d 6549 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z  +N  1o )  ->  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
7574breq2d 4001 . . . . 5  |-  ( x  =  ( z  +N  1o )  ->  ( A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  <->  A  <Q  [
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
7675rspcev 2834 . . . 4  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  A  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
776, 72, 76syl2anc 409 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
7877exlimivv 1889 . 2  |-  ( E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
791, 78syl 14 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   E.wrex 2449    C_ wss 3121   (/)c0 3414   <.cop 3586   class class class wbr 3989   Ord word 4347   omcom 4574  (class class class)co 5853   1oc1o 6388    +o coa 6392    .o comu 6393   [cec 6511   N.cnpi 7234    +N cpli 7235    .N cmi 7236    <N clti 7237    ~Q ceq 7241   Q.cnq 7242    <Q cltq 7247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-ltnqqs 7315
This theorem is referenced by:  prarloclemarch  7380  nqprm  7504  archpr  7605  archrecnq  7625
  Copyright terms: Public domain W3C validator