ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  archnqq Unicode version

Theorem archnqq 7225
Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
archnqq  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem archnqq
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7186 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
2 1pi 7123 . . . . . . 7  |-  1o  e.  N.
3 addclpi 7135 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( z  +N  1o )  e.  N. )
42, 3mpan2 421 . . . . . 6  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  1o )  e.  N. )
54adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +N  1o )  e.  N. )
65adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  (
z  +N  1o )  e.  N. )
7 pinn 7117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  om )
8 1onn 6416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  om
9 nnacl 6376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
( z  +o  1o )  e.  om )
107, 8, 9sylancl 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +o  1o )  e.  om )
1110adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +o  1o )  e.  om )
12 nnm1 6420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  +o  1o )  e.  om  ->  (
( z  +o  1o )  .o  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
14 elni2 7122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  N.  <->  ( w  e.  om  /\  (/)  e.  w
) )
15 nnord 4525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  om  ->  Ord  w )
16 ordgt0ge1 6332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord  w  ->  ( (/)  e.  w  <->  1o  C_  w ) )
1716biimpa 294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  w  /\  (/)  e.  w
)  ->  1o  C_  w
)
1815, 17sylan 281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  om  /\  (/) 
e.  w )  ->  1o  C_  w )
1914, 18sylbi 120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  N.  ->  1o  C_  w )
2019adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  1o  C_  w )
21 pinn 7117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
2221adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  w  e.  om )
23 nnaword1 6409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
z  C_  ( z  +o  1o ) )
247, 8, 23sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  z  C_  ( z  +o  1o ) )
25 elni2 7122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  N.  <->  ( z  e.  om  /\  (/)  e.  z ) )
2625simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  (/)  e.  z )
2724, 26sseldd 3098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (/)  e.  ( z  +o  1o ) )
2827adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  -> 
(/)  e.  ( z  +o  1o ) )
29 nnmword 6414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1o  e.  om  /\  w  e.  om  /\  ( z  +o  1o )  e.  om )  /\  (/)  e.  ( z  +o  1o ) )  ->  ( 1o  C_  w 
<->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) ) )
308, 29mp3anl1 1309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  ( z  +o  1o )  e.  om )  /\  (/)  e.  ( z  +o  1o ) )  ->  ( 1o  C_  w 
<->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) ) )
3122, 11, 28, 30syl21anc 1215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( 1o  C_  w  <->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w
) ) )
3220, 31mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +o  1o )  .o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
3313, 32eqsstrrd 3134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +o  1o )  C_  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
34 nna0 6370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  =  z )
35 0lt1o 6337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  1o
36 nnaordi 6404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( (/)  e.  1o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  1o ) ) )
378, 36mpan 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  om  ->  ( (/) 
e.  1o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  1o ) ) )
3835, 37mpi 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  1o ) )
3934, 38eqeltrrd 2217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  ( z  +o  1o ) )
407, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  ( z  +o  1o ) )
4140adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  e.  ( z  +o  1o ) )
4233, 41sseldd 3098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  e.  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
43 mulclpi 7136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  (
( z  +N  1o )  .N  w )  e. 
N. )
444, 43sylan 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  e.  N. )
45 ltpiord 7127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +N  1o )  .N  w
) ) )
4644, 45syldan 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +N  1o )  .N  w
) ) )
47 mulpiord 7125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  (
( z  +N  1o )  .N  w )  =  ( ( z  +N  1o )  .o  w
) )
484, 47sylan 281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  =  ( ( z  +N  1o )  .o  w ) )
49 addpiord 7124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( z  +N  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
502, 49mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
5150adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  +N  1o )  =  ( z  +o  1o ) )
5251oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .o  w
)  =  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
5348, 52eqtrd 2172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  =  ( ( z  +o  1o )  .o  w ) )
5453eleq2d 2209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  e.  ( ( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +o  1o )  .o  w
) ) )
5546, 54bitrd 187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  e.  ( ( z  +o  1o )  .o  w
) ) )
5642, 55mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  <N  ( (
z  +N  1o )  .N  w ) )
57 mulcompig 7139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  (
( z  +N  1o )  .N  w )  =  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) )
584, 57sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  .N  w
)  =  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) )
5958breq2d 3941 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
( z  +N  1o )  .N  w )  <->  z  <N  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) ) )
6056, 59mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  z  <N  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) )
615, 2jctir 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)
62 ordpipqqs 7182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) ) )
6361, 62mpdan 417 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) ) )
64 mulidpi 7126 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  .N  1o )  =  z )
6564adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  .N  1o )  =  z )
6665breq1d 3939 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  1o )  <N  (
w  .N  ( z  +N  1o ) )  <-> 
z  <N  ( w  .N  ( z  +N  1o ) ) ) )
6763, 66bitrd 187 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  z 
<N  ( w  .N  (
z  +N  1o ) ) ) )
6860, 67mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
6968adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
70 breq1 3932 . . . . . 6  |-  ( A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ->  ( A  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
7170adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  ( A  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
7269, 71mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  A  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
73 opeq1 3705 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z  +N  1o )  ->  <. x ,  1o >.  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
7473eceq1d 6465 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z  +N  1o )  ->  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
7574breq2d 3941 . . . . 5  |-  ( x  =  ( z  +N  1o )  ->  ( A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  <->  A  <Q  [
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
7675rspcev 2789 . . . 4  |-  ( ( ( z  +N  1o )  e.  N.  /\  A  <Q  [ <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
776, 72, 76syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
7877exlimivv 1868 . 2  |-  ( E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
791, 78syl 14 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  N.  A  <Q  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   E.wrex 2417    C_ wss 3071   (/)c0 3363   <.cop 3530   class class class wbr 3929   Ord word 4284   omcom 4504  (class class class)co 5774   1oc1o 6306    +o coa 6310    .o comu 6311   [cec 6427   N.cnpi 7080    +N cpli 7081    .N cmi 7082    <N clti 7083    ~Q ceq 7087   Q.cnq 7088    <Q cltq 7093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-ltnqqs 7161
This theorem is referenced by:  prarloclemarch  7226  nqprm  7350  archpr  7451  archrecnq  7471
  Copyright terms: Public domain W3C validator