Theorem archnqq 7379

Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
archnqq	|- ( A e. Q. -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem archnqq

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7340	. 2 |- ( A e. Q. -> E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
2		1pi 7277	. . . . . . 7 |- 1o e. N.
3		addclpi 7289	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( z +N 1o ) e. N. )
4	2, 3	mpan2 423	. . . . . 6 |- ( z e. N. -> ( z +N 1o ) e. N. )
5	4	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +N 1o ) e. N. )
6	5	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> ( z +N 1o ) e. N. )
7		pinn 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> z e. om )
8		1onn 6499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. om
9		nnacl 6459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. om /\ 1o e. om ) -> ( z +o 1o ) e. om )
10	7, 8, 9	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. N. -> ( z +o 1o ) e. om )
11	10	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +o 1o ) e. om )
12		nnm1 6504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z +o 1o ) e. om -> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) = ( z +o 1o ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) = ( z +o 1o ) )
14		elni2 7276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. <-> ( w e. om /\ (/) e. w ) )
15		nnord 4596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. om -> Ord w )
16		ordgt0ge1 6414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord w -> ( (/) e. w <-> 1o C_ w ) )
17	16	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Ord w /\ (/) e. w ) -> 1o C_ w )
18	15, 17	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. om /\ (/) e. w ) -> 1o C_ w )
19	14, 18	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. N. -> 1o C_ w )
20	19	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> 1o C_ w )
21		pinn 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. -> w e. om )
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> w e. om )
23		nnaword1 6492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ 1o e. om ) -> z C_ ( z +o 1o ) )
24	7, 8, 23	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. N. -> z C_ ( z +o 1o ) )
25		elni2 7276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. N. <-> ( z e. om /\ (/) e. z ) )
26	25	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. N. -> (/) e. z )
27	24, 26	sseldd 3148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> (/) e. ( z +o 1o ) )
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> (/) e. ( z +o 1o ) )
29		nnmword 6497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1o e. om /\ w e. om /\ ( z +o 1o ) e. om ) /\ (/) e. ( z +o 1o ) ) -> ( 1o C_ w <-> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
30	8, 29	mp3anl1 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w e. om /\ ( z +o 1o ) e. om ) /\ (/) e. ( z +o 1o ) ) -> ( 1o C_ w <-> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
31	22, 11, 28, 30	syl21anc 1232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( 1o C_ w <-> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
32	20, 31	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) )
33	13, 32	eqsstrrd 3184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) )
34		nna0 6453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. om -> ( z +o (/) ) = z )
35		0lt1o 6419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. 1o
36		nnaordi 6487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1o e. om /\ z e. om ) -> ( (/) e. 1o -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 1o ) ) )
37	8, 36	mpan 422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. om -> ( (/) e. 1o -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 1o ) ) )
38	35, 37	mpi 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. om -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 1o ) )
39	34, 38	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. om -> z e. ( z +o 1o ) )
40	7, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. N. -> z e. ( z +o 1o ) )
41	40	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z e. ( z +o 1o ) )
42	33, 41	sseldd 3148	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z e. ( ( z +o 1o ) .o w ) )
43		mulclpi 7290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) e. N. )
44	4, 43	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) e. N. )
45		ltpiord 7281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ ( ( z +N 1o ) .N w ) e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +N 1o ) .N w ) ) )
46	44, 45	syldan 280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +N 1o ) .N w ) ) )
47		mulpiord 7279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( ( z +N 1o ) .o w ) )
48	4, 47	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( ( z +N 1o ) .o w ) )
49		addpiord 7278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( z +N 1o ) = ( z +o 1o ) )
50	2, 49	mpan2 423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> ( z +N 1o ) = ( z +o 1o ) )
51	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +N 1o ) = ( z +o 1o ) )
52	51	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .o w ) = ( ( z +o 1o ) .o w ) )
53	48, 52	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( ( z +o 1o ) .o w ) )
54	53	eleq2d 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z e. ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
55	46, 54	bitrd 187	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
56	42, 55	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) )
57		mulcompig 7293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( w .N ( z +N 1o ) ) )
58	4, 57	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( w .N ( z +N 1o ) ) )
59	58	breq2d 4001	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
60	56, 59	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) )
61	5, 2	jctir 311	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) )
62		ordpipqqs 7336	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( ( z +N 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
63	61, 62	mpdan 419	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
64		mulidpi 7280	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. N. -> ( z .N 1o ) = z )
65	64	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z .N 1o ) = z )
66	65	breq1d 3999	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z .N 1o ) <N ( w .N ( z +N 1o ) ) <-> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
67	63, 66	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
68	60, 67	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
69	68	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
70		breq1 3992	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q -> ( A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) )
71	70	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> ( A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) )
72	69, 71	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
73		opeq1 3765	. . . . . . 7 |- ( x = ( z +N 1o ) -> <. x , 1o >. = <. ( z +N 1o ) , 1o >. )
74	73	eceq1d 6549	. . . . . 6 |- ( x = ( z +N 1o ) -> [ <. x , 1o >. ] ~Q = [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
75	74	breq2d 4001	. . . . 5 |- ( x = ( z +N 1o ) -> ( A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q <-> A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) )
76	75	rspcev 2834	. . . 4 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )
77	6, 72, 76	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )
78	77	exlimivv 1889	. 2 |- ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )
79	1, 78	syl 14	1 |- ( A e. Q. -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   E.wrex 2449   C_ wss 3121   (/)c0 3414   <.cop 3586   class class class wbr 3989   Ord word 4347   omcom 4574  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   +o coa 6392   .o comu 6393   [cec 6511   N.cnpi 7234   +N cpli 7235   .N cmi 7236   <N clti 7237   ~Q ceq 7241   Q.cnq 7242   <Q cltq 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-ltnqqs 7315

This theorem is referenced by:  prarloclemarch  7380  nqprm  7504  archpr  7605  archrecnq  7625