Theorem archnqq 7477

Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
archnqq	|- ( A e. Q. -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem archnqq

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7438	. 2 |- ( A e. Q. -> E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
2		1pi 7375	. . . . . . 7 |- 1o e. N.
3		addclpi 7387	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( z +N 1o ) e. N. )
4	2, 3	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( z e. N. -> ( z +N 1o ) e. N. )
5	4	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +N 1o ) e. N. )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> ( z +N 1o ) e. N. )
7		pinn 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> z e. om )
8		1onn 6573	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. om
9		nnacl 6533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. om /\ 1o e. om ) -> ( z +o 1o ) e. om )
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. N. -> ( z +o 1o ) e. om )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +o 1o ) e. om )
12		nnm1 6578	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z +o 1o ) e. om -> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) = ( z +o 1o ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) = ( z +o 1o ) )
14		elni2 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. <-> ( w e. om /\ (/) e. w ) )
15		nnord 4644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. om -> Ord w )
16		ordgt0ge1 6488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord w -> ( (/) e. w <-> 1o C_ w ) )
17	16	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Ord w /\ (/) e. w ) -> 1o C_ w )
18	15, 17	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. om /\ (/) e. w ) -> 1o C_ w )
19	14, 18	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. N. -> 1o C_ w )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> 1o C_ w )
21		pinn 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. -> w e. om )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> w e. om )
23		nnaword1 6566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ 1o e. om ) -> z C_ ( z +o 1o ) )
24	7, 8, 23	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. N. -> z C_ ( z +o 1o ) )
25		elni2 7374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. N. <-> ( z e. om /\ (/) e. z ) )
26	25	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. N. -> (/) e. z )
27	24, 26	sseldd 3180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> (/) e. ( z +o 1o ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> (/) e. ( z +o 1o ) )
29		nnmword 6571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1o e. om /\ w e. om /\ ( z +o 1o ) e. om ) /\ (/) e. ( z +o 1o ) ) -> ( 1o C_ w <-> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
30	8, 29	mp3anl1 1342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w e. om /\ ( z +o 1o ) e. om ) /\ (/) e. ( z +o 1o ) ) -> ( 1o C_ w <-> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
31	22, 11, 28, 30	syl21anc 1248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( 1o C_ w <-> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
32	20, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) )
33	13, 32	eqsstrrd 3216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) )
34		nna0 6527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. om -> ( z +o (/) ) = z )
35		0lt1o 6493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. 1o
36		nnaordi 6561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1o e. om /\ z e. om ) -> ( (/) e. 1o -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 1o ) ) )
37	8, 36	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. om -> ( (/) e. 1o -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 1o ) ) )
38	35, 37	mpi 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. om -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 1o ) )
39	34, 38	eqeltrrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. om -> z e. ( z +o 1o ) )
40	7, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. N. -> z e. ( z +o 1o ) )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z e. ( z +o 1o ) )
42	33, 41	sseldd 3180	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z e. ( ( z +o 1o ) .o w ) )
43		mulclpi 7388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) e. N. )
44	4, 43	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) e. N. )
45		ltpiord 7379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ ( ( z +N 1o ) .N w ) e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +N 1o ) .N w ) ) )
46	44, 45	syldan 282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +N 1o ) .N w ) ) )
47		mulpiord 7377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( ( z +N 1o ) .o w ) )
48	4, 47	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( ( z +N 1o ) .o w ) )
49		addpiord 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( z +N 1o ) = ( z +o 1o ) )
50	2, 49	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> ( z +N 1o ) = ( z +o 1o ) )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +N 1o ) = ( z +o 1o ) )
52	51	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .o w ) = ( ( z +o 1o ) .o w ) )
53	48, 52	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( ( z +o 1o ) .o w ) )
54	53	eleq2d 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z e. ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
55	46, 54	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
56	42, 55	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) )
57		mulcompig 7391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( w .N ( z +N 1o ) ) )
58	4, 57	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( w .N ( z +N 1o ) ) )
59	58	breq2d 4041	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
60	56, 59	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) )
61	5, 2	jctir 313	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) )
62		ordpipqqs 7434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( ( z +N 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
63	61, 62	mpdan 421	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
64		mulidpi 7378	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. N. -> ( z .N 1o ) = z )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z .N 1o ) = z )
66	65	breq1d 4039	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z .N 1o ) <N ( w .N ( z +N 1o ) ) <-> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
67	63, 66	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
68	60, 67	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
69	68	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
70		breq1 4032	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q -> ( A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) )
71	70	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> ( A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) )
72	69, 71	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
73		opeq1 3804	. . . . . . 7 |- ( x = ( z +N 1o ) -> <. x , 1o >. = <. ( z +N 1o ) , 1o >. )
74	73	eceq1d 6623	. . . . . 6 |- ( x = ( z +N 1o ) -> [ <. x , 1o >. ] ~Q = [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
75	74	breq2d 4041	. . . . 5 |- ( x = ( z +N 1o ) -> ( A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q <-> A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) )
76	75	rspcev 2864	. . . 4 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )
77	6, 72, 76	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )
78	77	exlimivv 1908	. 2 |- ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )
79	1, 78	syl 14	1 |- ( A e. Q. -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   E.wrex 2473   C_ wss 3153   (/)c0 3446   <.cop 3621   class class class wbr 4029   Ord word 4393   omcom 4622  (class class class)co 5918   1oc1o 6462   +o coa 6466   .o comu 6467   [cec 6585   N.cnpi 7332   +N cpli 7333   .N cmi 7334   <N clti 7335   ~Q ceq 7339   Q.cnq 7340   <Q cltq 7345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-ltnqqs 7413

This theorem is referenced by:  prarloclemarch  7478  nqprm  7602  archpr  7703  archrecnq  7723