Theorem archnqq 7784

Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
archnqq	|- ( A e. Q. -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem archnqq

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7745	. 2 |- ( A e. Q. -> E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
2		1pi 7682	. . . . . . 7 |- 1o e. N.
3		addclpi 7694	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( z +N 1o ) e. N. )
4	2, 3	mpan2 429	. . . . . 6 |- ( z e. N. -> ( z +N 1o ) e. N. )
5	4	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +N 1o ) e. N. )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> ( z +N 1o ) e. N. )
7		pinn 7676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> z e. om )
8		1onn 6793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. om
9		nnacl 6753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. om /\ 1o e. om ) -> ( z +o 1o ) e. om )
10	7, 8, 9	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. N. -> ( z +o 1o ) e. om )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +o 1o ) e. om )
12		nnm1 6798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z +o 1o ) e. om -> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) = ( z +o 1o ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) = ( z +o 1o ) )
14		elni2 7681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. <-> ( w e. om /\ (/) e. w ) )
15		nnord 4759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. om -> Ord w )
16		ordgt0ge1 6708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord w -> ( (/) e. w <-> 1o C_ w ) )
17	16	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Ord w /\ (/) e. w ) -> 1o C_ w )
18	15, 17	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. om /\ (/) e. w ) -> 1o C_ w )
19	14, 18	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. N. -> 1o C_ w )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> 1o C_ w )
21		pinn 7676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. -> w e. om )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> w e. om )
23		nnaword1 6786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ 1o e. om ) -> z C_ ( z +o 1o ) )
24	7, 8, 23	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. N. -> z C_ ( z +o 1o ) )
25		elni2 7681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. N. <-> ( z e. om /\ (/) e. z ) )
26	25	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. N. -> (/) e. z )
27	24, 26	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> (/) e. ( z +o 1o ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> (/) e. ( z +o 1o ) )
29		nnmword 6791	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1o e. om /\ w e. om /\ ( z +o 1o ) e. om ) /\ (/) e. ( z +o 1o ) ) -> ( 1o C_ w <-> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
30	8, 29	mp3anl1 1372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w e. om /\ ( z +o 1o ) e. om ) /\ (/) e. ( z +o 1o ) ) -> ( 1o C_ w <-> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
31	22, 11, 28, 30	syl21anc 1277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( 1o C_ w <-> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
32	20, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +o 1o ) .o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) )
33	13, 32	eqsstrrd 3285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +o 1o ) C_ ( ( z +o 1o ) .o w ) )
34		nna0 6747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. om -> ( z +o (/) ) = z )
35		0lt1o 6713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. 1o
36		nnaordi 6781	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1o e. om /\ z e. om ) -> ( (/) e. 1o -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 1o ) ) )
37	8, 36	mpan 428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. om -> ( (/) e. 1o -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 1o ) ) )
38	35, 37	mpi 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. om -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 1o ) )
39	34, 38	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. om -> z e. ( z +o 1o ) )
40	7, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. N. -> z e. ( z +o 1o ) )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z e. ( z +o 1o ) )
42	33, 41	sseldd 3249	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z e. ( ( z +o 1o ) .o w ) )
43		mulclpi 7695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) e. N. )
44	4, 43	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) e. N. )
45		ltpiord 7686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ ( ( z +N 1o ) .N w ) e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +N 1o ) .N w ) ) )
46	44, 45	syldan 282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +N 1o ) .N w ) ) )
47		mulpiord 7684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( ( z +N 1o ) .o w ) )
48	4, 47	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( ( z +N 1o ) .o w ) )
49		addpiord 7683	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( z +N 1o ) = ( z +o 1o ) )
50	2, 49	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> ( z +N 1o ) = ( z +o 1o ) )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z +N 1o ) = ( z +o 1o ) )
52	51	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .o w ) = ( ( z +o 1o ) .o w ) )
53	48, 52	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( ( z +o 1o ) .o w ) )
54	53	eleq2d 2308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z e. ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
55	46, 54	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z e. ( ( z +o 1o ) .o w ) ) )
56	42, 55	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) )
57		mulcompig 7698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( w .N ( z +N 1o ) ) )
58	4, 57	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) .N w ) = ( w .N ( z +N 1o ) ) )
59	58	breq2d 4142	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z <N ( ( z +N 1o ) .N w ) <-> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
60	56, 59	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) )
61	5, 2	jctir 313	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z +N 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) )
62		ordpipqqs 7741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( ( z +N 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
63	61, 62	mpdan 425	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
64		mulidpi 7685	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. N. -> ( z .N 1o ) = z )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z .N 1o ) = z )
66	65	breq1d 4140	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z .N 1o ) <N ( w .N ( z +N 1o ) ) <-> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
67	63, 66	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> z <N ( w .N ( z +N 1o ) ) ) )
68	60, 67	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
69	68	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
70		breq1 4133	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q -> ( A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) )
71	70	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> ( A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q <-> [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) )
72	69, 71	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
73		opeq1 3904	. . . . . . 7 |- ( x = ( z +N 1o ) -> <. x , 1o >. = <. ( z +N 1o ) , 1o >. )
74	73	eceq1d 6843	. . . . . 6 |- ( x = ( z +N 1o ) -> [ <. x , 1o >. ] ~Q = [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
75	74	breq2d 4142	. . . . 5 |- ( x = ( z +N 1o ) -> ( A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q <-> A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) )
76	75	rspcev 2929	. . . 4 |- ( ( ( z +N 1o ) e. N. /\ A <Q [ <. ( z +N 1o ) , 1o >. ] ~Q ) -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )
77	6, 72, 76	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )
78	77	exlimivv 1952	. 2 |- ( E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )
79	1, 78	syl 14	1 |- ( A e. Q. -> E. x e. N. A <Q [ <. x , 1o >. ] ~Q )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   C_ wss 3220   (/)c0 3520   <.cop 3712   class class class wbr 4130   Ord word 4507   omcom 4737  (class class class)co 6085   1oc1o 6680   +o coa 6684   .o comu 6685   [cec 6805   N.cnpi 7639   +N cpli 7640   .N cmi 7641   <N clti 7642   ~Q ceq 7646   Q.cnq 7647   <Q cltq 7652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-ltnqqs 7720

This theorem is used by:  prarloclemarch  7785  nqprm  7909  archpr  8010  archrecnq  8030