Theorem ordgt0ge1 6130

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1𝑜 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4182	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		ordelsuc 4284	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐴) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴))
3	1, 2	mpan 415	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴))
4		df-1o 6112	. . 3 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
5	4	sseq1i 3034	. 2 ⊢ (1𝑜 ⊆ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴)
6	3, 5	syl6bbr 196	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1𝑜 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   ∈ wcel 1434   ⊆ wss 2984  ∅c0 3269  Ord word 4152  Oncon0 4153  suc csuc 4155  1_𝑜c1o 6105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-nul 3930

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-uni 3628  df-tr 3902  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-1o 6112

This theorem is referenced by:  ordge1n0im  6131  archnqq  6878