Theorem preq12d 3796

Description: Equality deduction for unordered pairs. (Contributed by NM, 19-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
preq1d.1	|- ( ph -> A = B )
preq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
preq12d	|- ( ph -> { A , C } = { B , D } )

Proof of Theorem preq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		preq12d.2	. 2 |- ( ph -> C = D )
3		preq12 3790	. 2 |- ( ( A = B /\ C = D ) -> { A , C } = { B , D } )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> { A , C } = { B , D } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   {cpr 3710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716

This theorem is used by:  opeq1  3904  opeq2  3905  xrminrecl  12055  xrminadd  12057  xpsfval  13718  prdsval  14222  xpsval  14250  ring1  14413  xmetxp  15657  xmetxpbl  15658  txmetcnp  15668  hovera  15797  hoverb  15798  hoverlt1  15799  hovergt0  15800  ivthdich  15803  wkslem1  16659  wkslem2  16660  iswlk  16662  2wlklem  16715  isclwwlk  16733  clwwlkccatlem  16739  clwwlkccat  16740  clwwlkn2  16760  clwwlkext2edg  16761  umgr2cwwk2dif  16763  s2elclwwlknon2  16775  clwwlknonex2lem2  16777  clwwlknonex2  16778  eupthseg  16791  eupth2lem3fi  16815