Theorem preq12d 3796

Description: Equality deduction for unordered pairs. (Contributed by NM, 19-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
preq1d.1	|- ( ph -> A = B )
preq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
preq12d	|- ( ph -> { A , C } = { B , D } )

Proof of Theorem preq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		preq12d.2	. 2 |- ( ph -> C = D )
3		preq12 3790	. 2 |- ( ( A = B /\ C = D ) -> { A , C } = { B , D } )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> { A , C } = { B , D } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   {cpr 3710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716

This theorem is used by:  opeq1  3904  opeq2  3905  xrminrecl  12039  xrminadd  12041  xpsfval  13669  prdsval  14173  xpsval  14201  ring1  14364  xmetxp  15608  xmetxpbl  15609  txmetcnp  15619  hovera  15748  hoverb  15749  hoverlt1  15750  hovergt0  15751  ivthdich  15754  wkslem1  16561  wkslem2  16562  iswlk  16564  2wlklem  16617  isclwwlk  16635  clwwlkccatlem  16641  clwwlkccat  16642  clwwlkn2  16662  clwwlkext2edg  16663  umgr2cwwk2dif  16665  s2elclwwlknon2  16677  clwwlknonex2lem2  16679  clwwlknonex2  16680  eupthseg  16693  eupth2lem3fi  16717