Theorem xpsfval 12991

Description: The value of the function appearing in xpsval 12995. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )

Assertion

Ref	Expression
xpsfval	|- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem xpsfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6499	. . . 4 |- (/) e. 2o
2		simpl 109	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> X e. A )
3		opexg 4261	. . . 4 |- ( ( (/) e. 2o /\ X e. A ) -> <. (/) , X >. e. _V )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> <. (/) , X >. e. _V )
5		1lt2o 6500	. . . 4 |- 1o e. 2o
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> Y e. B )
7		opexg 4261	. . . 4 |- ( ( 1o e. 2o /\ Y e. B ) -> <. 1o , Y >. e. _V )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> <. 1o , Y >. e. _V )
9		prexg 4244	. . 3 |- ( ( <. (/) , X >. e. _V /\ <. 1o , Y >. e. _V ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
11		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> x = X )
12	11	opeq2d 3815	. . . 4 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> <. (/) , x >. = <. (/) , X >. )
13		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> y = Y )
14	13	opeq2d 3815	. . . 4 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> <. 1o , y >. = <. 1o , Y >. )
15	12, 14	preq12d 3707	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )
16		xpsff1o.f	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )
17	15, 16	ovmpoga 6052	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )
18	10, 17	mpd3an3 1349	1 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   (/)c0 3450   {cpr 3623   <.cop 3625  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   1oc1o 6467   2oc2o 6468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1o 6474  df-2o 6475

This theorem is referenced by:  xpsff1o  12992