Theorem xpsfval 13122

Description: The value of the function appearing in xpsval 13126. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )

Assertion

Ref	Expression
xpsfval	|- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem xpsfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6526	. . . 4 |- (/) e. 2o
2		simpl 109	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> X e. A )
3		opexg 4271	. . . 4 |- ( ( (/) e. 2o /\ X e. A ) -> <. (/) , X >. e. _V )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> <. (/) , X >. e. _V )
5		1lt2o 6527	. . . 4 |- 1o e. 2o
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> Y e. B )
7		opexg 4271	. . . 4 |- ( ( 1o e. 2o /\ Y e. B ) -> <. 1o , Y >. e. _V )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> <. 1o , Y >. e. _V )
9		prexg 4254	. . 3 |- ( ( <. (/) , X >. e. _V /\ <. 1o , Y >. e. _V ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
11		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> x = X )
12	11	opeq2d 3825	. . . 4 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> <. (/) , x >. = <. (/) , X >. )
13		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> y = Y )
14	13	opeq2d 3825	. . . 4 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> <. 1o , y >. = <. 1o , Y >. )
15	12, 14	preq12d 3717	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )
16		xpsff1o.f	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )
17	15, 16	ovmpoga 6074	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )
18	10, 17	mpd3an3 1350	1 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   (/)c0 3459   {cpr 3633   <.cop 3635  (class class class)co 5943   e. cmpo 5945   1oc1o 6494   2oc2o 6495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1o 6501  df-2o 6502

This theorem is referenced by:  xpsff1o  13123