Theorem xpsfval 13430

Description: The value of the function appearing in xpsval 13434. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )

Assertion

Ref	Expression
xpsfval	|- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem xpsfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6608	. . . 4 |- (/) e. 2o
2		simpl 109	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> X e. A )
3		opexg 4320	. . . 4 |- ( ( (/) e. 2o /\ X e. A ) -> <. (/) , X >. e. _V )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> <. (/) , X >. e. _V )
5		1lt2o 6609	. . . 4 |- 1o e. 2o
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> Y e. B )
7		opexg 4320	. . . 4 |- ( ( 1o e. 2o /\ Y e. B ) -> <. 1o , Y >. e. _V )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> <. 1o , Y >. e. _V )
9		prexg 4301	. . 3 |- ( ( <. (/) , X >. e. _V /\ <. 1o , Y >. e. _V ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
11		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> x = X )
12	11	opeq2d 3869	. . . 4 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> <. (/) , x >. = <. (/) , X >. )
13		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> y = Y )
14	13	opeq2d 3869	. . . 4 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> <. 1o , y >. = <. 1o , Y >. )
15	12, 14	preq12d 3756	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )
16		xpsff1o.f	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )
17	15, 16	ovmpoga 6150	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )
18	10, 17	mpd3an3 1374	1 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   {cpr 3670   <.cop 3672  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019   1oc1o 6574   2oc2o 6575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1o 6581  df-2o 6582

This theorem is referenced by:  xpsff1o  13431