Theorem xpsfval 13376

Description: The value of the function appearing in xpsval 13380. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )

Assertion

Ref	Expression
xpsfval	|- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem xpsfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6585	. . . 4 |- (/) e. 2o
2		simpl 109	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> X e. A )
3		opexg 4313	. . . 4 |- ( ( (/) e. 2o /\ X e. A ) -> <. (/) , X >. e. _V )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> <. (/) , X >. e. _V )
5		1lt2o 6586	. . . 4 |- 1o e. 2o
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> Y e. B )
7		opexg 4313	. . . 4 |- ( ( 1o e. 2o /\ Y e. B ) -> <. 1o , Y >. e. _V )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> <. 1o , Y >. e. _V )
9		prexg 4294	. . 3 |- ( ( <. (/) , X >. e. _V /\ <. 1o , Y >. e. _V ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
11		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> x = X )
12	11	opeq2d 3863	. . . 4 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> <. (/) , x >. = <. (/) , X >. )
13		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> y = Y )
14	13	opeq2d 3863	. . . 4 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> <. 1o , y >. = <. 1o , Y >. )
15	12, 14	preq12d 3751	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )
16		xpsff1o.f	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )
17	15, 16	ovmpoga 6133	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )
18	10, 17	mpd3an3 1372	1 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   {cpr 3667   <.cop 3669  (class class class)co 6000   e. cmpo 6002   1oc1o 6553   2oc2o 6554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1o 6560  df-2o 6561

This theorem is referenced by:  xpsff1o  13377