Theorem xpsfval 12785

Description: The value of the function appearing in xpsval 12789. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )

Assertion

Ref	Expression
xpsfval	|- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem xpsfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6455	. . . 4 |- (/) e. 2o
2		simpl 109	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> X e. A )
3		opexg 4240	. . . 4 |- ( ( (/) e. 2o /\ X e. A ) -> <. (/) , X >. e. _V )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> <. (/) , X >. e. _V )
5		1lt2o 6456	. . . 4 |- 1o e. 2o
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> Y e. B )
7		opexg 4240	. . . 4 |- ( ( 1o e. 2o /\ Y e. B ) -> <. 1o , Y >. e. _V )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> <. 1o , Y >. e. _V )
9		prexg 4223	. . 3 |- ( ( <. (/) , X >. e. _V /\ <. 1o , Y >. e. _V ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V )
11		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> x = X )
12	11	opeq2d 3797	. . . 4 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> <. (/) , x >. = <. (/) , X >. )
13		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> y = Y )
14	13	opeq2d 3797	. . . 4 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> <. 1o , y >. = <. 1o , Y >. )
15	12, 14	preq12d 3689	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )
16		xpsff1o.f	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )
17	15, 16	ovmpoga 6017	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } e. _V ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )
18	10, 17	mpd3an3 1348	1 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X F Y ) = { <. (/) , X >. , <. 1o , Y >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   (/)c0 3434   {cpr 3605   <.cop 3607  (class class class)co 5888   e. cmpo 5890   1oc1o 6423   2oc2o 6424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1o 6430  df-2o 6431

This theorem is referenced by:  xpsff1o  12786