Theorem ring1 13615

Description: The (smallest) structure representing a zero ring. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ring1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
ring1	|- ( Z e. V -> M e. Ring )

Proof of Theorem ring1

Dummy variables a b c x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4217	. . . . . . . 8 |- ( Z e. V -> { Z } e. _V )
2		opexg 4261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. V /\ Z e. V ) -> <. Z , Z >. e. _V )
3	2	anidms 397	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> <. Z , Z >. e. _V )
4		opexg 4261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. Z , Z >. e. _V /\ Z e. V ) -> <. <. Z , Z >. , Z >. e. _V )
5	3, 4	mpancom 422	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> <. <. Z , Z >. , Z >. e. _V )
6		snexg 4217	. . . . . . . . 9 |- ( <. <. Z , Z >. , Z >. e. _V -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( Z e. V -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V )
8		ring1.m	. . . . . . . . 9 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
9	8	rngbaseg 12813	. . . . . . . 8 |- ( ( { Z } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> { Z } = ( Base ` M ) )
10	1, 7, 7, 9	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> { Z } = ( Base ` M ) )
11	10	opeq2d 3815	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. = <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. )
12	8	rngplusgg 12814	. . . . . . . 8 |- ( ( { Z } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( +g ` M ) )
13	1, 7, 7, 12	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( +g ` M ) )
14	13	opeq2d 3815	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. = <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. )
15	11, 14	preq12d 3707	. . . . 5 |- ( Z e. V -> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } = { <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. } )
16		eqid 2196	. . . . . 6 |- { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
17	16	grp1 13238	. . . . 5 |- ( Z e. V -> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. Grp )
18	15, 17	eqeltrrd 2274	. . . 4 |- ( Z e. V -> { <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. } e. Grp )
19		basendxnn 12734	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ndx ) e. NN
20		opexg 4261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ { Z } e. _V ) -> <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. e. _V )
21	19, 1, 20	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. e. _V )
22		plusgslid 12790	. . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
23	22	simpri 113	. . . . . . . 8 |- ( +g ` ndx ) e. NN
24		opexg 4261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( +g ` ndx ) e. NN /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. e. _V )
25	23, 7, 24	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. e. _V )
26		mulrslid 12809	. . . . . . . . 9 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
27	26	simpri 113	. . . . . . . 8 |- ( .r ` ndx ) e. NN
28		opexg 4261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .r ` ndx ) e. NN /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. e. _V )
29	27, 7, 28	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. e. _V )
30		tpexg 4479	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. e. _V /\ <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. e. _V /\ <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. e. _V ) -> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. _V )
31	21, 25, 29, 30	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. _V )
32	8, 31	eqeltrid 2283	. . . . 5 |- ( Z e. V -> M e. _V )
33		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
34		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
35		eqid 2196	. . . . . 6 |- { <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. } = { <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. }
36	33, 34, 35	grppropstrg 13151	. . . . 5 |- ( M e. _V -> ( M e. Grp <-> { <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. } e. Grp ) )
37	32, 36	syl 14	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( M e. Grp <-> { <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. } e. Grp ) )
38	18, 37	mpbird 167	. . 3 |- ( Z e. V -> M e. Grp )
39	16	mnd1 13087	. . . 4 |- ( Z e. V -> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. Mnd )
40		eqidd 2197	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( Base ` (mulGrp ` M ) ) = ( Base ` (mulGrp ` M ) ) )
41	16	grpbaseg 12804	. . . . . . 7 |- ( ( { Z } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> { Z } = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
42	1, 7, 41	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> { Z } = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
43		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` M ) = (mulGrp ` M )
44	43, 33	mgpbasg 13482	. . . . . . 7 |- ( M e. _V -> ( Base ` M ) = ( Base ` (mulGrp ` M ) ) )
45	32, 44	syl 14	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> ( Base ` M ) = ( Base ` (mulGrp ` M ) ) )
46	10, 42, 45	3eqtr3rd 2238	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( Base ` (mulGrp ` M ) ) = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
47	8	rngmulrg 12815	. . . . . . . 8 |- ( ( { Z } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( .r ` M ) )
48	1, 7, 7, 47	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( .r ` M ) )
49	16	grpplusgg 12805	. . . . . . . 8 |- ( ( { Z } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
50	1, 7, 49	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
51		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` M ) = ( .r ` M )
52	43, 51	mgpplusgg 13480	. . . . . . . 8 |- ( M e. _V -> ( .r ` M ) = ( +g ` (mulGrp ` M ) ) )
53	32, 52	syl 14	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> ( .r ` M ) = ( +g ` (mulGrp ` M ) ) )
54	48, 50, 53	3eqtr3rd 2238	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> ( +g ` (mulGrp ` M ) ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
55	54	oveqdr 5950	. . . . 5 |- ( ( Z e. V /\ ( x e. ( Base ` (mulGrp ` M ) ) /\ y e. ( Base ` (mulGrp ` M ) ) ) ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` M ) ) y ) = ( x ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) y ) )
56	40, 46, 55	mndpropd 13081	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( (mulGrp ` M ) e. Mnd <-> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. Mnd ) )
57	39, 56	mpbird 167	. . 3 |- ( Z e. V -> (mulGrp ` M ) e. Mnd )
58		df-ov 5925	. . . . . . 7 |- ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( { <. <. Z , Z >. , Z >. } ` <. Z , Z >. )
59		fvsng 5758	. . . . . . . 8 |- ( ( <. Z , Z >. e. _V /\ Z e. V ) -> ( { <. <. Z , Z >. , Z >. } ` <. Z , Z >. ) = Z )
60	3, 59	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> ( { <. <. Z , Z >. , Z >. } ` <. Z , Z >. ) = Z )
61	58, 60	eqtrid 2241	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = Z )
62	61	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
63	61, 61	oveq12d 5940	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
64	62, 63	eqtr4d 2232	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
65	61	oveq1d 5937	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
66	65, 63	eqtr4d 2232	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
67		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 |- ( a = Z -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
68		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( a = Z -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) )
69		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( a = Z -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) )
70	68, 69	oveq12d 5940	. . . . . . . . 9 |- ( a = Z -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
71	67, 70	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( a = Z -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
72	68	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 |- ( a = Z -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) )
73	69	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 |- ( a = Z -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
74	72, 73	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( a = Z -> ( ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
75	71, 74	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( a = Z -> ( ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
76	75	2ralbidv 2521	. . . . . 6 |- ( a = Z -> ( A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
77	76	ralsng 3662	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
78		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( b = Z -> ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) )
79	78	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 |- ( b = Z -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
80		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 |- ( b = Z -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
81	80	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 |- ( b = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
82	79, 81	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( b = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
83	80	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 |- ( b = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) )
84	78	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 |- ( b = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
85	83, 84	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( b = Z -> ( ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
86	82, 85	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( b = Z -> ( ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
87	86	ralbidv 2497	. . . . . 6 |- ( b = Z -> ( A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
88	87	ralsng 3662	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
89		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 |- ( c = Z -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
90	89	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 |- ( c = Z -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
91	89	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 |- ( c = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
92	90, 91	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( c = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) )
93		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( c = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
94	89, 89	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 |- ( c = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
95	93, 94	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( c = Z -> ( ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) )
96	92, 95	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( c = Z -> ( ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) ) )
97	96	ralsng 3662	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) ) )
98	77, 88, 97	3bitrd 214	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) ) )
99	64, 66, 98	mpbir2and 946	. . 3 |- ( Z e. V -> A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
100	38, 57, 99	3jca 1179	. 2 |- ( Z e. V -> ( M e. Grp /\ (mulGrp ` M ) e. Mnd /\ A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
101		eqidd 2197	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> a = a )
102	13	oveqd 5939	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( b ( +g ` M ) c ) )
103	48, 101, 102	oveq123d 5943	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) )
104	48	oveqd 5939	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) = ( a ( .r ` M ) b ) )
105	48	oveqd 5939	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( a ( .r ` M ) c ) )
106	13, 104, 105	oveq123d 5943	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) )
107	103, 106	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( Z e. V -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) ) )
108	13	oveqd 5939	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) = ( a ( +g ` M ) b ) )
109		eqidd 2197	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> c = c )
110	48, 108, 109	oveq123d 5943	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) )
111	48	oveqd 5939	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( b ( .r ` M ) c ) )
112	13, 105, 111	oveq123d 5943	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) )
113	110, 112	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( Z e. V -> ( ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) )
114	107, 113	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> ( ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) ) )
115	10, 114	raleqbidv 2709	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> ( A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. c e. ( Base ` M ) ( ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) ) )
116	10, 115	raleqbidv 2709	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. b e. ( Base ` M ) A. c e. ( Base ` M ) ( ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) ) )
117	10, 116	raleqbidv 2709	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. a e. ( Base ` M ) A. b e. ( Base ` M ) A. c e. ( Base ` M ) ( ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) ) )
118	117	3anbi3d 1329	. . 3 |- ( Z e. V -> ( ( M e. Grp /\ (mulGrp ` M ) e. Mnd /\ A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) <-> ( M e. Grp /\ (mulGrp ` M ) e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` M ) A. b e. ( Base ` M ) A. c e. ( Base ` M ) ( ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) ) ) )
119	33, 43, 34, 51	isring 13556	. . 3 |- ( M e. Ring <-> ( M e. Grp /\ (mulGrp ` M ) e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` M ) A. b e. ( Base ` M ) A. c e. ( Base ` M ) ( ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) ) )
120	118, 119	bitr4di 198	. 2 |- ( Z e. V -> ( ( M e. Grp /\ (mulGrp ` M ) e. Mnd /\ A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) <-> M e. Ring ) )
121	100, 120	mpbid 147	1 |- ( Z e. V -> M e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   {csn 3622   {cpr 3623   {ctp 3624   <.cop 3625   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   NNcn 8990   ndxcnx 12675  Slot cslot 12677   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   .rcmulr 12756   Mndcmnd 13057   Grpcgrp 13132  mulGrpcmgp 13476   Ringcrg 13552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-mgp 13477  df-ring 13554

This theorem is referenced by:  ringn0  13616