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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ring1 | Unicode version |
Description: The (smallest) structure representing a zero ring. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.) |
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ring1.m |
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Ref | Expression |
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ring1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | snexg 4181 |
. . . . . . . 8
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2 | opexg 4224 |
. . . . . . . . . . 11
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3 | 2 | anidms 397 |
. . . . . . . . . 10
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4 | opexg 4224 |
. . . . . . . . . 10
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5 | 3, 4 | mpancom 422 |
. . . . . . . . 9
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6 | snexg 4181 |
. . . . . . . . 9
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7 | 5, 6 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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8 | ring1.m |
. . . . . . . . 9
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9 | 8 | rngbaseg 12560 |
. . . . . . . 8
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10 | 1, 7, 7, 9 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | opeq2d 3783 |
. . . . . 6
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12 | 8 | rngplusgg 12561 |
. . . . . . . 8
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13 | 1, 7, 7, 12 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | opeq2d 3783 |
. . . . . 6
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15 | 11, 14 | preq12d 3676 |
. . . . 5
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16 | eqid 2177 |
. . . . . 6
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17 | 16 | grp1 12852 |
. . . . 5
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18 | 15, 17 | eqeltrrd 2255 |
. . . 4
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19 | basendxnn 12487 |
. . . . . . . 8
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20 | opexg 4224 |
. . . . . . . 8
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21 | 19, 1, 20 | sylancr 414 |
. . . . . . 7
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22 | plusgslid 12538 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | simpri 113 |
. . . . . . . 8
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24 | opexg 4224 |
. . . . . . . 8
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25 | 23, 7, 24 | sylancr 414 |
. . . . . . 7
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26 | mulrslid 12556 |
. . . . . . . . 9
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27 | 26 | simpri 113 |
. . . . . . . 8
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28 | opexg 4224 |
. . . . . . . 8
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29 | 27, 7, 28 | sylancr 414 |
. . . . . . 7
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30 | tpexg 4440 |
. . . . . . 7
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31 | 21, 25, 29, 30 | syl3anc 1238 |
. . . . . 6
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32 | 8, 31 | eqeltrid 2264 |
. . . . 5
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33 | eqid 2177 |
. . . . . 6
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34 | eqid 2177 |
. . . . . 6
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35 | eqid 2177 |
. . . . . 6
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36 | 33, 34, 35 | grppropstrg 12772 |
. . . . 5
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37 | 32, 36 | syl 14 |
. . . 4
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38 | 18, 37 | mpbird 167 |
. . 3
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39 | 16 | mnd1 12724 |
. . . 4
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40 | eqidd 2178 |
. . . . 5
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41 | 16 | grpbaseg 12551 |
. . . . . . 7
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42 | 1, 7, 41 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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43 | eqid 2177 |
. . . . . . . 8
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44 | 43, 33 | mgpbasg 12950 |
. . . . . . 7
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45 | 32, 44 | syl 14 |
. . . . . 6
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46 | 10, 42, 45 | 3eqtr3rd 2219 |
. . . . 5
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47 | 8 | rngmulrg 12562 |
. . . . . . . 8
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48 | 1, 7, 7, 47 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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49 | 16 | grpplusgg 12552 |
. . . . . . . 8
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50 | 1, 7, 49 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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51 | eqid 2177 |
. . . . . . . . 9
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52 | 43, 51 | mgpplusgg 12948 |
. . . . . . . 8
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53 | 32, 52 | syl 14 |
. . . . . . 7
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54 | 48, 50, 53 | 3eqtr3rd 2219 |
. . . . . 6
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55 | 54 | oveqdr 5896 |
. . . . 5
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56 | 40, 46, 55 | mndpropd 12720 |
. . . 4
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99 | 64, 66, 98 | mpbir2and 944 |
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100 | 38, 57, 99 | 3jca 1177 |
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102 | 13 | oveqd 5885 |
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103 | 48, 101, 102 | oveq123d 5889 |
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104 | 48 | oveqd 5885 |
. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . . 10
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106 | 13, 104, 105 | oveq123d 5889 |
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110 | 48, 108, 109 | oveq123d 5889 |
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112 | 13, 105, 111 | oveq123d 5889 |
. . . . . . . . 9
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116 | 10, 115 | raleqbidv 2684 |
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117 | 10, 116 | raleqbidv 2684 |
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118 | 117 | 3anbi3d 1318 |
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119 | 33, 43, 34, 51 | isring 12996 |
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120 | 118, 119 | bitr4di 198 |
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121 | 100, 120 | mpbid 147 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4205 ax-un 4429 ax-setind 4532 ax-cnex 7880 ax-resscn 7881 ax-1cn 7882 ax-1re 7883 ax-icn 7884 ax-addcl 7885 ax-addrcl 7886 ax-mulcl 7887 ax-addcom 7889 ax-addass 7891 ax-distr 7893 ax-i2m1 7894 ax-0lt1 7895 ax-0id 7897 ax-rnegex 7898 ax-cnre 7900 ax-pre-ltirr 7901 ax-pre-ltwlin 7902 ax-pre-lttrn 7903 ax-pre-apti 7904 ax-pre-ltadd 7905 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-tp 3599 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-id 4289 df-xp 4628 df-rel 4629 df-cnv 4630 df-co 4631 df-dm 4632 df-rn 4633 df-res 4634 df-ima 4635 df-iota 5173 df-fun 5213 df-fn 5214 df-f 5215 df-fv 5219 df-riota 5824 df-ov 5871 df-oprab 5872 df-mpo 5873 df-pnf 7971 df-mnf 7972 df-xr 7973 df-ltxr 7974 df-le 7975 df-sub 8107 df-neg 8108 df-inn 8896 df-2 8954 df-3 8955 df-n0 9153 df-z 9230 df-uz 9505 df-fz 9983 df-struct 12434 df-ndx 12435 df-slot 12436 df-base 12438 df-sets 12439 df-plusg 12518 df-mulr 12519 df-0g 12642 df-mgm 12654 df-sgrp 12687 df-mnd 12697 df-grp 12757 df-mgp 12945 df-ring 12994 |
This theorem is referenced by: ringn0 13050 |
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