Theorem ring1 13028

Description: The (smallest) structure representing a zero ring. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ring1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
ring1	|- ( Z e. V -> M e. Ring )

Proof of Theorem ring1

Dummy variables a b c x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4179	. . . . . . . 8 |- ( Z e. V -> { Z } e. _V )
2		opexg 4222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. V /\ Z e. V ) -> <. Z , Z >. e. _V )
3	2	anidms 397	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> <. Z , Z >. e. _V )
4		opexg 4222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. Z , Z >. e. _V /\ Z e. V ) -> <. <. Z , Z >. , Z >. e. _V )
5	3, 4	mpancom 422	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> <. <. Z , Z >. , Z >. e. _V )
6		snexg 4179	. . . . . . . . 9 |- ( <. <. Z , Z >. , Z >. e. _V -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( Z e. V -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V )
8		ring1.m	. . . . . . . . 9 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
9	8	rngbaseg 12545	. . . . . . . 8 |- ( ( { Z } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> { Z } = ( Base ` M ) )
10	1, 7, 7, 9	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> { Z } = ( Base ` M ) )
11	10	opeq2d 3781	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. = <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. )
12	8	rngplusgg 12546	. . . . . . . 8 |- ( ( { Z } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( +g ` M ) )
13	1, 7, 7, 12	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( +g ` M ) )
14	13	opeq2d 3781	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. = <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. )
15	11, 14	preq12d 3674	. . . . 5 |- ( Z e. V -> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } = { <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. } )
16		eqid 2175	. . . . . 6 |- { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
17	16	grp1 12835	. . . . 5 |- ( Z e. V -> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. Grp )
18	15, 17	eqeltrrd 2253	. . . 4 |- ( Z e. V -> { <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. } e. Grp )
19		basendxnn 12482	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ndx ) e. NN
20		opexg 4222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ { Z } e. _V ) -> <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. e. _V )
21	19, 1, 20	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. e. _V )
22		plusgslid 12524	. . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
23	22	simpri 113	. . . . . . . 8 |- ( +g ` ndx ) e. NN
24		opexg 4222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( +g ` ndx ) e. NN /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. e. _V )
25	23, 7, 24	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. e. _V )
26		mulrslid 12541	. . . . . . . . 9 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
27	26	simpri 113	. . . . . . . 8 |- ( .r ` ndx ) e. NN
28		opexg 4222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( .r ` ndx ) e. NN /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. e. _V )
29	27, 7, 28	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. e. _V )
30		tpexg 4438	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. e. _V /\ <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. e. _V /\ <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. e. _V ) -> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. _V )
31	21, 25, 29, 30	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. _V )
32	8, 31	eqeltrid 2262	. . . . 5 |- ( Z e. V -> M e. _V )
33		eqid 2175	. . . . . 6 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
34		eqid 2175	. . . . . 6 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
35		eqid 2175	. . . . . 6 |- { <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. } = { <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. }
36	33, 34, 35	grppropstrg 12755	. . . . 5 |- ( M e. _V -> ( M e. Grp <-> { <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. } e. Grp ) )
37	32, 36	syl 14	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( M e. Grp <-> { <. ( Base ` ndx ) , ( Base ` M ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` M ) >. } e. Grp ) )
38	18, 37	mpbird 167	. . 3 |- ( Z e. V -> M e. Grp )
39	16	mnd1 12708	. . . 4 |- ( Z e. V -> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. Mnd )
40		eqidd 2176	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( Base ` (mulGrp ` M ) ) = ( Base ` (mulGrp ` M ) ) )
41	16	grpbaseg 12537	. . . . . . 7 |- ( ( { Z } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> { Z } = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
42	1, 7, 41	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> { Z } = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
43		eqid 2175	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` M ) = (mulGrp ` M )
44	43, 33	mgpbasg 12930	. . . . . . 7 |- ( M e. _V -> ( Base ` M ) = ( Base ` (mulGrp ` M ) ) )
45	32, 44	syl 14	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> ( Base ` M ) = ( Base ` (mulGrp ` M ) ) )
46	10, 42, 45	3eqtr3rd 2217	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( Base ` (mulGrp ` M ) ) = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
47	8	rngmulrg 12547	. . . . . . . 8 |- ( ( { Z } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( .r ` M ) )
48	1, 7, 7, 47	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( .r ` M ) )
49	16	grpplusgg 12538	. . . . . . . 8 |- ( ( { Z } e. _V /\ { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V ) -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
50	1, 7, 49	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
51		eqid 2175	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` M ) = ( .r ` M )
52	43, 51	mgpplusgg 12929	. . . . . . . 8 |- ( M e. _V -> ( .r ` M ) = ( +g ` (mulGrp ` M ) ) )
53	32, 52	syl 14	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> ( .r ` M ) = ( +g ` (mulGrp ` M ) ) )
54	48, 50, 53	3eqtr3rd 2217	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> ( +g ` (mulGrp ` M ) ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
55	54	oveqdr 5893	. . . . 5 |- ( ( Z e. V /\ ( x e. ( Base ` (mulGrp ` M ) ) /\ y e. ( Base ` (mulGrp ` M ) ) ) ) -> ( x ( +g ` (mulGrp ` M ) ) y ) = ( x ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) y ) )
56	40, 46, 55	mndpropd 12705	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( (mulGrp ` M ) e. Mnd <-> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. Mnd ) )
57	39, 56	mpbird 167	. . 3 |- ( Z e. V -> (mulGrp ` M ) e. Mnd )
58		df-ov 5868	. . . . . . 7 |- ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( { <. <. Z , Z >. , Z >. } ` <. Z , Z >. )
59		fvsng 5704	. . . . . . . 8 |- ( ( <. Z , Z >. e. _V /\ Z e. V ) -> ( { <. <. Z , Z >. , Z >. } ` <. Z , Z >. ) = Z )
60	3, 59	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> ( { <. <. Z , Z >. , Z >. } ` <. Z , Z >. ) = Z )
61	58, 60	eqtrid 2220	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = Z )
62	61	oveq2d 5881	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
63	61, 61	oveq12d 5883	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
64	62, 63	eqtr4d 2211	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
65	61	oveq1d 5880	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
66	65, 63	eqtr4d 2211	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
67		oveq1 5872	. . . . . . . . 9 |- ( a = Z -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
68		oveq1 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( a = Z -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) )
69		oveq1 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( a = Z -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) )
70	68, 69	oveq12d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( a = Z -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
71	67, 70	eqeq12d 2190	. . . . . . . 8 |- ( a = Z -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
72	68	oveq1d 5880	. . . . . . . . 9 |- ( a = Z -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) )
73	69	oveq1d 5880	. . . . . . . . 9 |- ( a = Z -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
74	72, 73	eqeq12d 2190	. . . . . . . 8 |- ( a = Z -> ( ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
75	71, 74	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( a = Z -> ( ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
76	75	2ralbidv 2499	. . . . . 6 |- ( a = Z -> ( A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
77	76	ralsng 3629	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
78		oveq1 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( b = Z -> ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) )
79	78	oveq2d 5881	. . . . . . . . 9 |- ( b = Z -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
80		oveq2 5873	. . . . . . . . . 10 |- ( b = Z -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
81	80	oveq1d 5880	. . . . . . . . 9 |- ( b = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
82	79, 81	eqeq12d 2190	. . . . . . . 8 |- ( b = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
83	80	oveq1d 5880	. . . . . . . . 9 |- ( b = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) )
84	78	oveq2d 5881	. . . . . . . . 9 |- ( b = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
85	83, 84	eqeq12d 2190	. . . . . . . 8 |- ( b = Z -> ( ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
86	82, 85	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( b = Z -> ( ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
87	86	ralbidv 2475	. . . . . 6 |- ( b = Z -> ( A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
88	87	ralsng 3629	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
89		oveq2 5873	. . . . . . . . 9 |- ( c = Z -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
90	89	oveq2d 5881	. . . . . . . 8 |- ( c = Z -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
91	89	oveq2d 5881	. . . . . . . 8 |- ( c = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
92	90, 91	eqeq12d 2190	. . . . . . 7 |- ( c = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) )
93		oveq2 5873	. . . . . . . 8 |- ( c = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
94	89, 89	oveq12d 5883	. . . . . . . 8 |- ( c = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
95	93, 94	eqeq12d 2190	. . . . . . 7 |- ( c = Z -> ( ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) )
96	92, 95	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( c = Z -> ( ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) ) )
97	96	ralsng 3629	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) ) )
98	77, 88, 97	3bitrd 214	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) ) )
99	64, 66, 98	mpbir2and 944	. . 3 |- ( Z e. V -> A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
100	38, 57, 99	3jca 1177	. 2 |- ( Z e. V -> ( M e. Grp /\ (mulGrp ` M ) e. Mnd /\ A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
101		eqidd 2176	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> a = a )
102	13	oveqd 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( b ( +g ` M ) c ) )
103	48, 101, 102	oveq123d 5886	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) )
104	48	oveqd 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) = ( a ( .r ` M ) b ) )
105	48	oveqd 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( a ( .r ` M ) c ) )
106	13, 104, 105	oveq123d 5886	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) )
107	103, 106	eqeq12d 2190	. . . . . . . 8 |- ( Z e. V -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) ) )
108	13	oveqd 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) = ( a ( +g ` M ) b ) )
109		eqidd 2176	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> c = c )
110	48, 108, 109	oveq123d 5886	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) )
111	48	oveqd 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. V -> ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( b ( .r ` M ) c ) )
112	13, 105, 111	oveq123d 5886	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) )
113	110, 112	eqeq12d 2190	. . . . . . . 8 |- ( Z e. V -> ( ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) )
114	107, 113	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> ( ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) ) )
115	10, 114	raleqbidv 2682	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> ( A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. c e. ( Base ` M ) ( ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) ) )
116	10, 115	raleqbidv 2682	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. b e. ( Base ` M ) A. c e. ( Base ` M ) ( ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) ) )
117	10, 116	raleqbidv 2682	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. a e. ( Base ` M ) A. b e. ( Base ` M ) A. c e. ( Base ` M ) ( ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) ) )
118	117	3anbi3d 1318	. . 3 |- ( Z e. V -> ( ( M e. Grp /\ (mulGrp ` M ) e. Mnd /\ A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) <-> ( M e. Grp /\ (mulGrp ` M ) e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` M ) A. b e. ( Base ` M ) A. c e. ( Base ` M ) ( ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) ) ) )
119	33, 43, 34, 51	isring 12976	. . 3 |- ( M e. Ring <-> ( M e. Grp /\ (mulGrp ` M ) e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` M ) A. b e. ( Base ` M ) A. c e. ( Base ` M ) ( ( a ( .r ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( ( a ( .r ` M ) b ) ( +g ` M ) ( a ( .r ` M ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` M ) b ) ( .r ` M ) c ) = ( ( a ( .r ` M ) c ) ( +g ` M ) ( b ( .r ` M ) c ) ) ) ) )
120	118, 119	bitr4di 198	. 2 |- ( Z e. V -> ( ( M e. Grp /\ (mulGrp ` M ) e. Mnd /\ A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) <-> M e. Ring ) )
121	100, 120	mpbid 147	1 |- ( Z e. V -> M e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   _Vcvv 2735   {csn 3589   {cpr 3590   {ctp 3591   <.cop 3592   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   NNcn 8890   ndxcnx 12424  Slot cslot 12426   Basecbs 12427   +g cplusg 12491   .rcmulr 12492   Mndcmnd 12681   Grpcgrp 12737  mulGrpcmgp 12925   Ringcrg 12972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-tp 3597  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-fz 9978  df-struct 12429  df-ndx 12430  df-slot 12431  df-base 12433  df-sets 12434  df-plusg 12504  df-mulr 12505  df-0g 12627  df-mgm 12639  df-sgrp 12672  df-mnd 12682  df-grp 12740  df-mgp 12926  df-ring 12974

This theorem is referenced by:  ringn0  13029