Theorem preq12d 3775

Description: Equality deduction for unordered pairs. (Contributed by NM, 19-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
preq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
preq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
preq12d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐷})

Proof of Theorem preq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		preq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		preq12 3769	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐷})
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐷})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  {cpr 3689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2814  df-un 3214  df-sn 3694  df-pr 3695

This theorem is referenced by:  opeq1  3882  opeq2  3883  xrminrecl  11951  xrminadd  11953  prdsval  13475  xpsfval  13550  xpsval  13554  ring1  14192  xmetxp  15359  xmetxpbl  15360  txmetcnp  15370  hovera  15499  hoverb  15500  hoverlt1  15501  hovergt0  15502  ivthdich  15505  wkslem1  16302  wkslem2  16303  iswlk  16305  2wlklem  16358  isclwwlk  16376  clwwlkccatlem  16382  clwwlkccat  16383  clwwlkn2  16403  clwwlkext2edg  16404  umgr2cwwk2dif  16406  s2elclwwlknon2  16418  clwwlknonex2lem2  16420  clwwlknonex2  16421  eupthseg  16434  eupth2lem3fi  16458