Theorem preq12d 3757

Description: Equality deduction for unordered pairs. (Contributed by NM, 19-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
preq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
preq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
preq12d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐷})

Proof of Theorem preq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		preq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		preq12 3751	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐷})
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐷})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397  {cpr 3671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-v 2803  df-un 3203  df-sn 3676  df-pr 3677

This theorem is referenced by:  opeq1  3863  opeq2  3864  xrminrecl  11856  xrminadd  11858  prdsval  13379  xpsfval  13454  xpsval  13458  ring1  14096  xmetxp  15260  xmetxpbl  15261  txmetcnp  15271  hovera  15400  hoverb  15401  hoverlt1  15402  hovergt0  15403  ivthdich  15406  wkslem1  16200  wkslem2  16201  iswlk  16203  2wlklem  16256  isclwwlk  16274  clwwlkccatlem  16280  clwwlkccat  16281  clwwlkn2  16301  clwwlkext2edg  16302  umgr2cwwk2dif  16304  s2elclwwlknon2  16316  clwwlknonex2lem2  16318  clwwlknonex2  16319  eupthseg  16332  eupth2lem3fi  16356