Theorem preq12d 3778

Description: Equality deduction for unordered pairs. (Contributed by NM, 19-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
preq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
preq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
preq12d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐷})

Proof of Theorem preq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		preq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		preq12 3772	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐷})
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐷})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  {cpr 3692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3217  df-sn 3697  df-pr 3698

This theorem is referenced by:  opeq1  3885  opeq2  3886  xrminrecl  11966  xrminadd  11968  prdsval  13507  xpsfval  13582  xpsval  13586  ring1  14224  xmetxp  15421  xmetxpbl  15422  txmetcnp  15432  hovera  15561  hoverb  15562  hoverlt1  15563  hovergt0  15564  ivthdich  15567  wkslem1  16364  wkslem2  16365  iswlk  16367  2wlklem  16420  isclwwlk  16438  clwwlkccatlem  16444  clwwlkccat  16445  clwwlkn2  16465  clwwlkext2edg  16466  umgr2cwwk2dif  16468  s2elclwwlknon2  16480  clwwlknonex2lem2  16482  clwwlknonex2  16483  eupthseg  16496  eupth2lem3fi  16520