Theorem preq12d 3796

Description: Equality deduction for unordered pairs. (Contributed by NM, 19-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
preq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
preq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
preq12d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐷})

Proof of Theorem preq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		preq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		preq12 3790	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐷})
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐷})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  {cpr 3710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716

This theorem is used by:  opeq1  3904  opeq2  3905  xrminrecl  12065  xrminadd  12067  xpsfval  13729  prdsval  14281  xpsval  14309  ring1  14472  xmetxp  15745  xmetxpbl  15746  txmetcnp  15756  hovera  15885  hoverb  15886  hoverlt1  15887  hovergt0  15888  ivthdich  15891  wkslem1  16778  wkslem2  16779  iswlk  16781  2wlklem  16834  isclwwlk  16852  clwwlkccatlem  16858  clwwlkccat  16859  clwwlkn2  16879  clwwlkext2edg  16880  umgr2cwwk2dif  16882  s2elclwwlknon2  16894  clwwlknonex2lem2  16896  clwwlknonex2  16897  eupthseg  16910  eupth2lem3fi  16934