Theorem opeq1 3809

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq1	|- ( A = B -> <. A , C >. = <. B , C >. )

Proof of Theorem opeq1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. _V <-> B e. _V ) )
2	1	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( A e. _V /\ C e. _V ) <-> ( B e. _V /\ C e. _V ) ) )
3		sneq 3634	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A } = { B } )
4		preq1 3700	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )
5	3, 4	preq12d 3708	. . . . . 6 |- ( A = B -> { { A } , { A , C } } = { { B } , { B , C } } )
6	5	eleq2d 2266	. . . . 5 |- ( A = B -> ( x e. { { A } , { A , C } } <-> x e. { { B } , { B , C } } ) )
7	2, 6	anbi12d 473	. . . 4 |- ( A = B -> ( ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { B } , { B , C } } ) ) )
8		df-3an 982	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , C } } ) )
9		df-3an 982	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) <-> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { B } , { B , C } } ) )
10	7, 8, 9	3bitr4g 223	. . 3 |- ( A = B -> ( ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) ) )
11	10	abbidv 2314	. 2 |- ( A = B -> { x | ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) } = { x | ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) } )
12		df-op 3632	. 2 |- <. A , C >. = { x | ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) }
13		df-op 3632	. 2 |- <. B , C >. = { x | ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2254	1 |- ( A = B -> <. A , C >. = <. B , C >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   _Vcvv 2763   {csn 3623   {cpr 3624   <.cop 3626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632

This theorem is referenced by:  opeq12  3811  opeq1i  3812  opeq1d  3815  oteq1  3818  breq1  4037  cbvopab1  4107  cbvopab1s  4109  opthg  4272  eqvinop  4277  opelopabsb  4295  opelxp  4694  elvvv  4727  opabid2  4798  opeliunxp2  4807  elsnres  4984  elimasng  5038  rnxpid  5105  dmsnopg  5142  cnvsng  5156  elxp4  5158  elxp5  5159  funopg  5293  f1osng  5546  dmfco  5630  fvelrn  5694  fsng  5736  fvsng  5759  funfvima3  5797  oveq1  5930  oprabid  5955  dfoprab2  5970  cbvoprab1  5995  opabex3d  6179  opabex3  6180  op1stg  6209  op2ndg  6210  oprssdmm  6230  dfoprab4f  6252  cnvoprab  6293  opeliunxp2f  6297  tfr1onlemaccex  6407  tfrcllemaccex  6420  elixpsn  6795  fundmen  6866  xpsnen  6881  xpassen  6890  xpf1o  6906  ltexnqq  7477  archnqq  7486  prarloclemarch2  7488  prarloclemlo  7563  prarloclem3  7566  prarloclem5  7569  caucvgprlemnkj  7735  caucvgprlemnbj  7736  caucvgprlemm  7737  caucvgprlemdisj  7743  caucvgprlemloc  7744  caucvgprlemcl  7745  caucvgprlemladdfu  7746  caucvgprlemladdrl  7747  caucvgprlem1  7748  caucvgprlem2  7749  caucvgpr  7751  caucvgprprlemell  7754  caucvgprprlemelu  7755  caucvgprprlemcbv  7756  caucvgprprlemval  7757  caucvgprprlemnkeqj  7759  caucvgprprlemmu  7764  caucvgprprlemopl  7766  caucvgprprlemlol  7767  caucvgprprlemopu  7768  caucvgprprlemloc  7772  caucvgprprlemclphr  7774  caucvgprprlemexbt  7775  caucvgprprlem1  7778  caucvgprprlem2  7779  caucvgsr  7871  suplocsrlemb  7875  suplocsrlempr  7876  suplocsrlem  7877  suplocsr  7878  elrealeu  7898  pitonn  7917  nntopi  7963  axcaucvglemval  7966  axcaucvg  7969  axpre-suploclemres  7970  fsum2dlemstep  11601  fprod2dlemstep  11789  imasaddfnlemg  12967  cnmpt21  14537