Theorem opeq1 3904

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq1	|- ( A = B -> <. A , C >. = <. B , C >. )

Proof of Theorem opeq1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. _V <-> B e. _V ) )
2	1	anbi1d 469	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( A e. _V /\ C e. _V ) <-> ( B e. _V /\ C e. _V ) ) )
3		sneq 3720	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A } = { B } )
4		preq1 3788	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )
5	3, 4	preq12d 3796	. . . . . 6 |- ( A = B -> { { A } , { A , C } } = { { B } , { B , C } } )
6	5	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( A = B -> ( x e. { { A } , { A , C } } <-> x e. { { B } , { B , C } } ) )
7	2, 6	anbi12d 477	. . . 4 |- ( A = B -> ( ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { B } , { B , C } } ) ) )
8		df-3an 1011	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , C } } ) )
9		df-3an 1011	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) <-> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { B } , { B , C } } ) )
10	7, 8, 9	3bitr4g 223	. . 3 |- ( A = B -> ( ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) ) )
11	10	abbidv 2358	. 2 |- ( A = B -> { x | ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) } = { x | ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) } )
12		df-op 3718	. 2 |- <. A , C >. = { x | ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) }
13		df-op 3718	. 2 |- <. B , C >. = { x | ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2296	1 |- ( A = B -> <. A , C >. = <. B , C >. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   _Vcvv 2821   {csn 3709   {cpr 3710   <.cop 3712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718

This theorem is used by:  opeq12  3906  opeq1i  3907  opeq1d  3910  oteq1  3913  breq1  4133  cbvopab1  4204  cbvopab1s  4206  opthg  4378  eqvinop  4383  opelopabsb  4402  opelxp  4804  elvvv  4838  opabid2  4911  opeliunxp2  4920  elsnres  5100  elimasng  5155  rnxpid  5222  dmsnopg  5259  cnvsng  5273  elxp4  5275  elxp5  5276  funopg  5411  f1osng  5682  dmfco  5773  fvelrn  5839  fsng  5881  fvsng  5911  funfvima3  5952  oveq1  6092  oprabid  6117  dfoprab2  6135  cbvoprab1  6160  opabex3d  6350  opabex3  6351  op1stg  6384  op2ndg  6385  oprssdmm  6405  dfoprab4f  6427  cnvoprab  6470  opeliunxp2f  6509  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllemaccex  6632  elixpsn  7017  fundmen  7094  xpsnen  7119  xpassen  7128  xpf1o  7144  ltexnqq  7775  archnqq  7784  prarloclemarch2  7786  prarloclemlo  7861  prarloclem3  7864  prarloclem5  7867  caucvgprlemnkj  8033  caucvgprlemnbj  8034  caucvgprlemm  8035  caucvgprlemdisj  8041  caucvgprlemloc  8042  caucvgprlemcl  8043  caucvgprlemladdfu  8044  caucvgprlemladdrl  8045  caucvgprlem1  8046  caucvgprlem2  8047  caucvgpr  8049  caucvgprprlemell  8052  caucvgprprlemelu  8053  caucvgprprlemcbv  8054  caucvgprprlemval  8055  caucvgprprlemnkeqj  8057  caucvgprprlemmu  8062  caucvgprprlemopl  8064  caucvgprprlemlol  8065  caucvgprprlemopu  8066  caucvgprprlemloc  8070  caucvgprprlemclphr  8072  caucvgprprlemexbt  8073  caucvgprprlem1  8076  caucvgprprlem2  8077  caucvgsr  8169  suplocsrlemb  8173  suplocsrlempr  8174  suplocsrlem  8175  suplocsr  8176  elrealeu  8196  pitonn  8215  nntopi  8261  axcaucvglemval  8264  axcaucvg  8267  axpre-suploclemres  8268  swrdccatin1  11497  swrdccat3blem  11511  fsum2dlemstep  12201  fprod2dlemstep  12389  imasaddfnlemg  13635  cnmpt21  15392