Theorem opeq1 3904

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq1	|- ( A = B -> <. A , C >. = <. B , C >. )

Proof of Theorem opeq1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. _V <-> B e. _V ) )
2	1	anbi1d 469	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( A e. _V /\ C e. _V ) <-> ( B e. _V /\ C e. _V ) ) )
3		sneq 3720	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A } = { B } )
4		preq1 3788	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )
5	3, 4	preq12d 3796	. . . . . 6 |- ( A = B -> { { A } , { A , C } } = { { B } , { B , C } } )
6	5	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( A = B -> ( x e. { { A } , { A , C } } <-> x e. { { B } , { B , C } } ) )
7	2, 6	anbi12d 477	. . . 4 |- ( A = B -> ( ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { B } , { B , C } } ) ) )
8		df-3an 1011	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , C } } ) )
9		df-3an 1011	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) <-> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { B } , { B , C } } ) )
10	7, 8, 9	3bitr4g 223	. . 3 |- ( A = B -> ( ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) ) )
11	10	abbidv 2358	. 2 |- ( A = B -> { x | ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) } = { x | ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) } )
12		df-op 3718	. 2 |- <. A , C >. = { x | ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) }
13		df-op 3718	. 2 |- <. B , C >. = { x | ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2296	1 |- ( A = B -> <. A , C >. = <. B , C >. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   _Vcvv 2821   {csn 3709   {cpr 3710   <.cop 3712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718

This theorem is used by:  opeq12  3906  opeq1i  3907  opeq1d  3910  oteq1  3913  breq1  4134  cbvopab1  4205  cbvopab1s  4207  opthg  4380  eqvinop  4385  opelopabsb  4404  opelxp  4806  elvvv  4840  opabid2  4913  opeliunxp2  4922  elsnres  5102  elimasng  5158  rnxpid  5225  dmsnopg  5262  cnvsng  5276  elxp4  5278  elxp5  5279  funopg  5414  f1osng  5685  dmfco  5776  fvelrn  5842  fsng  5884  fvsng  5914  funfvima3  5955  oveq1  6095  oprabid  6120  dfoprab2  6138  cbvoprab1  6163  opabex3d  6354  opabex3  6355  op1stg  6388  op2ndg  6389  oprssdmm  6409  dfoprab4f  6431  cnvoprab  6474  opeliunxp2f  6513  tfr1onlemaccex  6623  tfrcllemaccex  6636  elixpsn  7021  fundmen  7098  xpsnen  7123  xpassen  7132  xpf1o  7148  ltexnqq  7781  archnqq  7790  prarloclemarch2  7792  prarloclemlo  7867  prarloclem3  7870  prarloclem5  7873  caucvgprlemnkj  8039  caucvgprlemnbj  8040  caucvgprlemm  8041  caucvgprlemdisj  8047  caucvgprlemloc  8048  caucvgprlemcl  8049  caucvgprlemladdfu  8050  caucvgprlemladdrl  8051  caucvgprlem1  8052  caucvgprlem2  8053  caucvgpr  8055  caucvgprprlemell  8058  caucvgprprlemelu  8059  caucvgprprlemcbv  8060  caucvgprprlemval  8061  caucvgprprlemnkeqj  8063  caucvgprprlemmu  8068  caucvgprprlemopl  8070  caucvgprprlemlol  8071  caucvgprprlemopu  8072  caucvgprprlemloc  8076  caucvgprprlemclphr  8078  caucvgprprlemexbt  8079  caucvgprprlem1  8082  caucvgprprlem2  8083  caucvgsr  8175  suplocsrlemb  8179  suplocsrlempr  8180  suplocsrlem  8181  suplocsr  8182  elrealeu  8202  pitonn  8221  nntopi  8267  axcaucvglemval  8270  axcaucvg  8273  axpre-suploclemres  8274  swrdccatin1  11519  swrdccat3blem  11533  fsum2dlemstep  12226  fprod2dlemstep  12414  imasaddfnlemg  13694  gsumcom2fi  14275  cnmpt21  15517