Theorem opeq1 3867

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq1	|- ( A = B -> <. A , C >. = <. B , C >. )

Proof of Theorem opeq1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. _V <-> B e. _V ) )
2	1	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( A e. _V /\ C e. _V ) <-> ( B e. _V /\ C e. _V ) ) )
3		sneq 3684	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A } = { B } )
4		preq1 3752	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )
5	3, 4	preq12d 3760	. . . . . 6 |- ( A = B -> { { A } , { A , C } } = { { B } , { B , C } } )
6	5	eleq2d 2301	. . . . 5 |- ( A = B -> ( x e. { { A } , { A , C } } <-> x e. { { B } , { B , C } } ) )
7	2, 6	anbi12d 473	. . . 4 |- ( A = B -> ( ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { B } , { B , C } } ) ) )
8		df-3an 1007	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , C } } ) )
9		df-3an 1007	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) <-> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { B } , { B , C } } ) )
10	7, 8, 9	3bitr4g 223	. . 3 |- ( A = B -> ( ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) ) )
11	10	abbidv 2350	. 2 |- ( A = B -> { x | ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) } = { x | ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) } )
12		df-op 3682	. 2 |- <. A , C >. = { x | ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) }
13		df-op 3682	. 2 |- <. B , C >. = { x | ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2289	1 |- ( A = B -> <. A , C >. = <. B , C >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cab 2217   _Vcvv 2803   {csn 3673   {cpr 3674   <.cop 3676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682

This theorem is referenced by:  opeq12  3869  opeq1i  3870  opeq1d  3873  oteq1  3876  breq1  4096  cbvopab1  4167  cbvopab1s  4169  opthg  4336  eqvinop  4341  opelopabsb  4360  opelxp  4761  elvvv  4795  opabid2  4867  opeliunxp2  4876  elsnres  5056  elimasng  5111  rnxpid  5178  dmsnopg  5215  cnvsng  5229  elxp4  5231  elxp5  5232  funopg  5367  f1osng  5635  dmfco  5723  fvelrn  5786  fsng  5828  fvsng  5858  funfvima3  5898  oveq1  6035  oprabid  6060  dfoprab2  6078  cbvoprab1  6103  opabex3d  6292  opabex3  6293  op1stg  6322  op2ndg  6323  oprssdmm  6343  dfoprab4f  6365  cnvoprab  6408  opeliunxp2f  6447  tfr1onlemaccex  6557  tfrcllemaccex  6570  elixpsn  6947  fundmen  7024  xpsnen  7048  xpassen  7057  xpf1o  7073  ltexnqq  7688  archnqq  7697  prarloclemarch2  7699  prarloclemlo  7774  prarloclem3  7777  prarloclem5  7780  caucvgprlemnkj  7946  caucvgprlemnbj  7947  caucvgprlemm  7948  caucvgprlemdisj  7954  caucvgprlemloc  7955  caucvgprlemcl  7956  caucvgprlemladdfu  7957  caucvgprlemladdrl  7958  caucvgprlem1  7959  caucvgprlem2  7960  caucvgpr  7962  caucvgprprlemell  7965  caucvgprprlemelu  7966  caucvgprprlemcbv  7967  caucvgprprlemval  7968  caucvgprprlemnkeqj  7970  caucvgprprlemmu  7975  caucvgprprlemopl  7977  caucvgprprlemlol  7978  caucvgprprlemopu  7979  caucvgprprlemloc  7983  caucvgprprlemclphr  7985  caucvgprprlemexbt  7986  caucvgprprlem1  7989  caucvgprprlem2  7990  caucvgsr  8082  suplocsrlemb  8086  suplocsrlempr  8087  suplocsrlem  8088  suplocsr  8089  elrealeu  8109  pitonn  8128  nntopi  8174  axcaucvglemval  8177  axcaucvg  8180  axpre-suploclemres  8181  swrdccatin1  11372  swrdccat3blem  11386  fsum2dlemstep  12075  fprod2dlemstep  12263  imasaddfnlemg  13477  cnmpt21  15102