Theorem opeq1 3713

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq1	|- ( A = B -> <. A , C >. = <. B , C >. )

Proof of Theorem opeq1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2203	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. _V <-> B e. _V ) )
2	1	anbi1d 461	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( A e. _V /\ C e. _V ) <-> ( B e. _V /\ C e. _V ) ) )
3		sneq 3543	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A } = { B } )
4		preq1 3608	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )
5	3, 4	preq12d 3616	. . . . . 6 |- ( A = B -> { { A } , { A , C } } = { { B } , { B , C } } )
6	5	eleq2d 2210	. . . . 5 |- ( A = B -> ( x e. { { A } , { A , C } } <-> x e. { { B } , { B , C } } ) )
7	2, 6	anbi12d 465	. . . 4 |- ( A = B -> ( ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { B } , { B , C } } ) ) )
8		df-3an 965	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , C } } ) )
9		df-3an 965	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) <-> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { B } , { B , C } } ) )
10	7, 8, 9	3bitr4g 222	. . 3 |- ( A = B -> ( ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) ) )
11	10	abbidv 2258	. 2 |- ( A = B -> { x | ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) } = { x | ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) } )
12		df-op 3541	. 2 |- <. A , C >. = { x | ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) }
13		df-op 3541	. 2 |- <. B , C >. = { x | ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2198	1 |- ( A = B -> <. A , C >. = <. B , C >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   {cab 2126   _Vcvv 2689   {csn 3532   {cpr 3533   <.cop 3535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541

This theorem is referenced by:  opeq12  3715  opeq1i  3716  opeq1d  3719  oteq1  3722  breq1  3940  cbvopab1  4009  cbvopab1s  4011  opthg  4168  eqvinop  4173  opelopabsb  4190  opelxp  4577  elvvv  4610  opabid2  4678  opeliunxp2  4687  elsnres  4864  elimasng  4915  rnxpid  4981  dmsnopg  5018  cnvsng  5032  elxp4  5034  elxp5  5035  funopg  5165  f1osng  5416  dmfco  5497  fvelrn  5559  fsng  5601  fvsng  5624  funfvima3  5659  oveq1  5789  oprabid  5811  dfoprab2  5826  cbvoprab1  5851  opabex3d  6027  opabex3  6028  op1stg  6056  op2ndg  6057  oprssdmm  6077  dfoprab4f  6099  cnvoprab  6139  opeliunxp2f  6143  tfr1onlemaccex  6253  tfrcllemaccex  6266  elixpsn  6637  fundmen  6708  xpsnen  6723  xpassen  6732  xpf1o  6746  ltexnqq  7240  archnqq  7249  prarloclemarch2  7251  prarloclemlo  7326  prarloclem3  7329  prarloclem5  7332  caucvgprlemnkj  7498  caucvgprlemnbj  7499  caucvgprlemm  7500  caucvgprlemdisj  7506  caucvgprlemloc  7507  caucvgprlemcl  7508  caucvgprlemladdfu  7509  caucvgprlemladdrl  7510  caucvgprlem1  7511  caucvgprlem2  7512  caucvgpr  7514  caucvgprprlemell  7517  caucvgprprlemelu  7518  caucvgprprlemcbv  7519  caucvgprprlemval  7520  caucvgprprlemnkeqj  7522  caucvgprprlemmu  7527  caucvgprprlemopl  7529  caucvgprprlemlol  7530  caucvgprprlemopu  7531  caucvgprprlemloc  7535  caucvgprprlemclphr  7537  caucvgprprlemexbt  7538  caucvgprprlem1  7541  caucvgprprlem2  7542  caucvgsr  7634  suplocsrlemb  7638  suplocsrlempr  7639  suplocsrlem  7640  suplocsr  7641  elrealeu  7661  pitonn  7680  nntopi  7726  axcaucvglemval  7729  axcaucvg  7732  axpre-suploclemres  7733  fsum2dlemstep  11235  cnmpt21  12499