Theorem opeq1 3804

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq1	|- ( A = B -> <. A , C >. = <. B , C >. )

Proof of Theorem opeq1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2256	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. _V <-> B e. _V ) )
2	1	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( A e. _V /\ C e. _V ) <-> ( B e. _V /\ C e. _V ) ) )
3		sneq 3629	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A } = { B } )
4		preq1 3695	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )
5	3, 4	preq12d 3703	. . . . . 6 |- ( A = B -> { { A } , { A , C } } = { { B } , { B , C } } )
6	5	eleq2d 2263	. . . . 5 |- ( A = B -> ( x e. { { A } , { A , C } } <-> x e. { { B } , { B , C } } ) )
7	2, 6	anbi12d 473	. . . 4 |- ( A = B -> ( ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { B } , { B , C } } ) ) )
8		df-3an 982	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , C } } ) )
9		df-3an 982	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) <-> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) /\ x e. { { B } , { B , C } } ) )
10	7, 8, 9	3bitr4g 223	. . 3 |- ( A = B -> ( ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) <-> ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) ) )
11	10	abbidv 2311	. 2 |- ( A = B -> { x | ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) } = { x | ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) } )
12		df-op 3627	. 2 |- <. A , C >. = { x | ( A e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { A } , { A , C } } ) }
13		df-op 3627	. 2 |- <. B , C >. = { x | ( B e. _V /\ C e. _V /\ x e. { { B } , { B , C } } ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2251	1 |- ( A = B -> <. A , C >. = <. B , C >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   _Vcvv 2760   {csn 3618   {cpr 3619   <.cop 3621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627

This theorem is referenced by:  opeq12  3806  opeq1i  3807  opeq1d  3810  oteq1  3813  breq1  4032  cbvopab1  4102  cbvopab1s  4104  opthg  4267  eqvinop  4272  opelopabsb  4290  opelxp  4689  elvvv  4722  opabid2  4793  opeliunxp2  4802  elsnres  4979  elimasng  5033  rnxpid  5100  dmsnopg  5137  cnvsng  5151  elxp4  5153  elxp5  5154  funopg  5288  f1osng  5541  dmfco  5625  fvelrn  5689  fsng  5731  fvsng  5754  funfvima3  5792  oveq1  5925  oprabid  5950  dfoprab2  5965  cbvoprab1  5990  opabex3d  6173  opabex3  6174  op1stg  6203  op2ndg  6204  oprssdmm  6224  dfoprab4f  6246  cnvoprab  6287  opeliunxp2f  6291  tfr1onlemaccex  6401  tfrcllemaccex  6414  elixpsn  6789  fundmen  6860  xpsnen  6875  xpassen  6884  xpf1o  6900  ltexnqq  7468  archnqq  7477  prarloclemarch2  7479  prarloclemlo  7554  prarloclem3  7557  prarloclem5  7560  caucvgprlemnkj  7726  caucvgprlemnbj  7727  caucvgprlemm  7728  caucvgprlemdisj  7734  caucvgprlemloc  7735  caucvgprlemcl  7736  caucvgprlemladdfu  7737  caucvgprlemladdrl  7738  caucvgprlem1  7739  caucvgprlem2  7740  caucvgpr  7742  caucvgprprlemell  7745  caucvgprprlemelu  7746  caucvgprprlemcbv  7747  caucvgprprlemval  7748  caucvgprprlemnkeqj  7750  caucvgprprlemmu  7755  caucvgprprlemopl  7757  caucvgprprlemlol  7758  caucvgprprlemopu  7759  caucvgprprlemloc  7763  caucvgprprlemclphr  7765  caucvgprprlemexbt  7766  caucvgprprlem1  7769  caucvgprprlem2  7770  caucvgsr  7862  suplocsrlemb  7866  suplocsrlempr  7867  suplocsrlem  7868  suplocsr  7869  elrealeu  7889  pitonn  7908  nntopi  7954  axcaucvglemval  7957  axcaucvg  7960  axpre-suploclemres  7961  fsum2dlemstep  11577  fprod2dlemstep  11765  imasaddfnlemg  12897  cnmpt21  14459