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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xmetxp | Unicode version |
Description: The maximum metric (Chebyshev distance) on the product of two sets. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2023.) |
Ref | Expression |
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xmetxp.p |
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xmetxp.1 |
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xmetxp.2 |
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Ref | Expression |
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xmetxp |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xmetxp.1 |
. . . 4
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2 | eqid 2140 |
. . . . 5
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3 | 2 | mopnm 12656 |
. . . 4
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4 | 1, 3 | syl 14 |
. . 3
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5 | xmetxp.2 |
. . . 4
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6 | eqid 2140 |
. . . . 5
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7 | 6 | mopnm 12656 |
. . . 4
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8 | 5, 7 | syl 14 |
. . 3
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9 | xpexg 4661 |
. . 3
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10 | 4, 8, 9 | syl2anc 409 |
. 2
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11 | 1 | adantr 274 |
. . . . . 6
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12 | xp1st 6071 |
. . . . . . 7
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13 | 12 | ad2antrl 482 |
. . . . . 6
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14 | xp1st 6071 |
. . . . . . 7
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15 | 14 | ad2antll 483 |
. . . . . 6
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16 | xmetcl 12560 |
. . . . . 6
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17 | 11, 13, 15, 16 | syl3anc 1217 |
. . . . 5
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18 | 5 | adantr 274 |
. . . . . 6
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19 | xp2nd 6072 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | ad2antrl 482 |
. . . . . 6
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21 | xp2nd 6072 |
. . . . . . 7
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22 | 21 | ad2antll 483 |
. . . . . 6
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23 | xmetcl 12560 |
. . . . . 6
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24 | 18, 20, 22, 23 | syl3anc 1217 |
. . . . 5
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25 | xrmaxcl 11053 |
. . . . 5
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26 | 17, 24, 25 | syl2anc 409 |
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27 | 26 | ralrimivva 2517 |
. . 3
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28 | xmetxp.p |
. . . . 5
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29 | fveq2 5429 |
. . . . . . . . 9
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30 | 29 | oveq1d 5797 |
. . . . . . . 8
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31 | fveq2 5429 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31 | oveq1d 5797 |
. . . . . . . 8
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33 | 30, 32 | preq12d 3616 |
. . . . . . 7
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34 | 33 | supeq1d 6882 |
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35 | fveq2 5429 |
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36 | 35 | oveq2d 5798 |
. . . . . . . 8
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37 | fveq2 5429 |
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38 | 37 | oveq2d 5798 |
. . . . . . . 8
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39 | 36, 38 | preq12d 3616 |
. . . . . . 7
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40 | 39 | supeq1d 6882 |
. . . . . 6
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41 | 34, 40 | cbvmpov 5859 |
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42 | 28, 41 | eqtri 2161 |
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43 | 42 | fmpo 6107 |
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44 | 27, 43 | sylib 121 |
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45 | simprl 521 |
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46 | simprr 522 |
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47 | 34, 40, 28 | ovmpog 5913 |
. . . . . . . 8
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48 | 45, 46, 26, 47 | syl3anc 1217 |
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49 | 48, 26 | eqeltrd 2217 |
. . . . . 6
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50 | 0xr 7836 |
. . . . . . 7
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51 | 50 | a1i 9 |
. . . . . 6
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52 | xrletri3 9618 |
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53 | 49, 51, 52 | syl2anc 409 |
. . . . 5
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54 | xmetge0 12573 |
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58 | 51, 17, 26, 55, 57 | xrletrd 9625 |
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59 | 58, 48 | breqtrrd 3964 |
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62 | 48 | breq1d 3947 |
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63 | xrmaxlesup 11060 |
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66 | 55 | biantrud 302 |
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70 | xmetge0 12573 |
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77 | xmeteq0 12567 |
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78 | 11, 13, 15, 77 | syl3anc 1217 |
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79 | xmeteq0 12567 |
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80 | 18, 20, 22, 79 | syl3anc 1217 |
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81 | 78, 80 | anbi12d 465 |
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86 | 48 | 3adantr3 1143 |
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89 | simpr3 990 |
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90 | xp1st 6071 |
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93 | 92, 12 | syl 14 |
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94 | xmetcl 12560 |
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95 | 88, 91, 93, 94 | syl3anc 1217 |
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96 | 15 | 3adantr3 1143 |
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97 | xmetcl 12560 |
. . . . . . 7
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98 | 88, 91, 96, 97 | syl3anc 1217 |
. . . . . 6
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99 | 95, 98 | xaddcld 9697 |
. . . . 5
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101 | xp2nd 6072 |
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104 | xmetcl 12560 |
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107 | 95, 105, 106 | syl2anc 409 |
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113 | 111, 112 | oveqan12d 5801 |
. . . . . . . . . . 11
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114 | 110, 113 | preq12d 3616 |
. . . . . . . . . 10
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115 | 114 | supeq1d 6882 |
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116 | 115, 28 | ovmpoga 5908 |
. . . . . . . 8
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117 | 89, 92, 107, 116 | syl3anc 1217 |
. . . . . . 7
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118 | 117, 107 | eqeltrd 2217 |
. . . . . 6
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119 | simpr2 989 |
. . . . . . . 8
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120 | 22 | 3adantr3 1143 |
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121 | xmetcl 12560 |
. . . . . . . . . 10
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122 | 100, 102, 120, 121 | syl3anc 1217 |
. . . . . . . . 9
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123 | xrmaxcl 11053 |
. . . . . . . . 9
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124 | 98, 122, 123 | syl2anc 409 |
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125 | 108, 35 | oveqan12d 5801 |
. . . . . . . . . . 11
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126 | 111, 37 | oveqan12d 5801 |
. . . . . . . . . . 11
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127 | 125, 126 | preq12d 3616 |
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128 | 127 | supeq1d 6882 |
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129 | 128, 28 | ovmpoga 5908 |
. . . . . . . 8
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131 | 130, 124 | eqeltrd 2217 |
. . . . . 6
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132 | 118, 131 | xaddcld 9697 |
. . . . 5
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143 | 137, 140, 142 | mp2and 430 |
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144 | 87, 99, 132, 134, 143 | xrletrd 9625 |
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146 | 105, 122 | xaddcld 9697 |
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147 | xmettri2 12569 |
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148 | 100, 102, 103, 120, 147 | syl13anc 1219 |
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149 | xrmax2sup 11055 |
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152 | xrmax2sup 11055 |
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155 | xle2add 9692 |
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156 | 105, 122, 118, 131, 155 | syl22anc 1218 |
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158 | 145, 146, 132, 148, 157 | xrletrd 9625 |
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159 | xrmaxlesup 11060 |
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160 | 87, 145, 132, 159 | syl3anc 1217 |
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161 | 144, 158, 160 | mpbir2and 929 |
. . 3
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162 | 86, 161 | eqbrtrd 3958 |
. 2
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163 | 10, 44, 85, 162 | isxmetd 12555 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 817 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-isom 5140 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-map 6552 df-sup 6879 df-inf 6880 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-xneg 9589 df-xadd 9590 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-topgen 12180 df-psmet 12195 df-xmet 12196 df-bl 12198 df-mopn 12199 df-top 12204 df-topon 12217 df-bases 12249 |
This theorem is referenced by: xmetxpbl 12716 xmettxlem 12717 xmettx 12718 txmetcnp 12726 |
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