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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xmetxp | Unicode version |
Description: The maximum metric (Chebyshev distance) on the product of two sets. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2023.) |
Ref | Expression |
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xmetxp.p |
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xmetxp.1 |
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xmetxp.2 |
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Ref | Expression |
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xmetxp |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xmetxp.1 |
. . . 4
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2 | eqid 2177 |
. . . . 5
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3 | 2 | mopnm 13951 |
. . . 4
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4 | 1, 3 | syl 14 |
. . 3
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5 | xmetxp.2 |
. . . 4
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6 | eqid 2177 |
. . . . 5
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7 | 6 | mopnm 13951 |
. . . 4
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8 | 5, 7 | syl 14 |
. . 3
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9 | xpexg 4741 |
. . 3
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10 | 4, 8, 9 | syl2anc 411 |
. 2
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11 | 1 | adantr 276 |
. . . . . 6
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12 | xp1st 6166 |
. . . . . . 7
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13 | 12 | ad2antrl 490 |
. . . . . 6
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14 | xp1st 6166 |
. . . . . . 7
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15 | 14 | ad2antll 491 |
. . . . . 6
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16 | xmetcl 13855 |
. . . . . 6
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17 | 11, 13, 15, 16 | syl3anc 1238 |
. . . . 5
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18 | 5 | adantr 276 |
. . . . . 6
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19 | xp2nd 6167 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | ad2antrl 490 |
. . . . . 6
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21 | xp2nd 6167 |
. . . . . . 7
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22 | 21 | ad2antll 491 |
. . . . . 6
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23 | xmetcl 13855 |
. . . . . 6
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24 | 18, 20, 22, 23 | syl3anc 1238 |
. . . . 5
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25 | xrmaxcl 11260 |
. . . . 5
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26 | 17, 24, 25 | syl2anc 411 |
. . . 4
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27 | 26 | ralrimivva 2559 |
. . 3
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28 | xmetxp.p |
. . . . 5
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29 | fveq2 5516 |
. . . . . . . . 9
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30 | 29 | oveq1d 5890 |
. . . . . . . 8
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31 | fveq2 5516 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31 | oveq1d 5890 |
. . . . . . . 8
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33 | 30, 32 | preq12d 3678 |
. . . . . . 7
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34 | 33 | supeq1d 6986 |
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35 | fveq2 5516 |
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36 | 35 | oveq2d 5891 |
. . . . . . . 8
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37 | fveq2 5516 |
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38 | 37 | oveq2d 5891 |
. . . . . . . 8
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39 | 36, 38 | preq12d 3678 |
. . . . . . 7
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40 | 39 | supeq1d 6986 |
. . . . . 6
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41 | 34, 40 | cbvmpov 5955 |
. . . . 5
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42 | 28, 41 | eqtri 2198 |
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43 | 42 | fmpo 6202 |
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44 | 27, 43 | sylib 122 |
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45 | simprl 529 |
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46 | simprr 531 |
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47 | 34, 40, 28 | ovmpog 6009 |
. . . . . . . 8
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48 | 45, 46, 26, 47 | syl3anc 1238 |
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49 | 48, 26 | eqeltrd 2254 |
. . . . . 6
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50 | 0xr 8004 |
. . . . . . 7
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51 | 50 | a1i 9 |
. . . . . 6
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52 | xrletri3 9804 |
. . . . . 6
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53 | 49, 51, 52 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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54 | xmetge0 13868 |
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58 | 51, 17, 26, 55, 57 | xrletrd 9812 |
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59 | 58, 48 | breqtrrd 4032 |
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61 | 53, 60 | bitr4d 191 |
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62 | 48 | breq1d 4014 |
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63 | xrmaxlesup 11267 |
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65 | 61, 62, 64 | 3bitrd 214 |
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70 | xmetge0 13868 |
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78 | 11, 13, 15, 77 | syl3anc 1238 |
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79 | xmeteq0 13862 |
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80 | 18, 20, 22, 79 | syl3anc 1238 |
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85 | 65, 76, 84 | 3bitrd 214 |
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86 | 48 | 3adantr3 1158 |
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88 | 1 | adantr 276 |
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89 | simpr3 1005 |
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90 | xp1st 6166 |
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92 | simpr1 1003 |
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93 | 92, 12 | syl 14 |
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94 | xmetcl 13855 |
. . . . . . 7
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95 | 88, 91, 93, 94 | syl3anc 1238 |
. . . . . 6
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96 | 15 | 3adantr3 1158 |
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97 | xmetcl 13855 |
. . . . . . 7
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98 | 88, 91, 96, 97 | syl3anc 1238 |
. . . . . 6
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99 | 95, 98 | xaddcld 9884 |
. . . . 5
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101 | xp2nd 6167 |
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103 | 92, 19 | syl 14 |
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104 | xmetcl 13855 |
. . . . . . . . . 10
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105 | 100, 102, 103, 104 | syl3anc 1238 |
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107 | 95, 105, 106 | syl2anc 411 |
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. . . . . . . . . . . 12
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110 | 108, 109 | oveqan12d 5894 |
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113 | 111, 112 | oveqan12d 5894 |
. . . . . . . . . . 11
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114 | 110, 113 | preq12d 3678 |
. . . . . . . . . 10
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115 | 114 | supeq1d 6986 |
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116 | 115, 28 | ovmpoga 6004 |
. . . . . . . 8
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117 | 89, 92, 107, 116 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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118 | 117, 107 | eqeltrd 2254 |
. . . . . 6
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119 | simpr2 1004 |
. . . . . . . 8
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120 | 22 | 3adantr3 1158 |
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121 | xmetcl 13855 |
. . . . . . . . . 10
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122 | 100, 102, 120, 121 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . 9
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123 | xrmaxcl 11260 |
. . . . . . . . 9
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124 | 98, 122, 123 | syl2anc 411 |
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125 | 108, 35 | oveqan12d 5894 |
. . . . . . . . . . 11
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126 | 111, 37 | oveqan12d 5894 |
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129 | 128, 28 | ovmpoga 6004 |
. . . . . . . 8
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131 | 130, 124 | eqeltrd 2254 |
. . . . . 6
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132 | 118, 131 | xaddcld 9884 |
. . . . 5
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144 | 87, 99, 132, 134, 143 | xrletrd 9812 |
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160 | 87, 145, 132, 159 | syl3anc 1238 |
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161 | 144, 158, 160 | mpbir2and 944 |
. . 3
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162 | 86, 161 | eqbrtrd 4026 |
. 2
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163 | 10, 44, 85, 162 | isxmetd 13850 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 ax-arch 7930 ax-caucvg 7931 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-isom 5226 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-frec 6392 df-map 6650 df-sup 6983 df-inf 6984 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-3 8979 df-4 8980 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-q 9620 df-rp 9654 df-xneg 9772 df-xadd 9773 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 df-cj 10851 df-re 10852 df-im 10853 df-rsqrt 11007 df-abs 11008 df-topgen 12709 df-psmet 13450 df-xmet 13451 df-bl 13453 df-mopn 13454 df-top 13501 df-topon 13514 df-bases 13546 |
This theorem is referenced by: xmetxpbl 14011 xmettxlem 14012 xmettx 14013 txmetcnp 14021 |
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