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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xmetxpbl | Unicode version |
Description: The maximum metric
(Chebyshev distance) on the product of two sets,
expressed in terms of balls centered on a point ![]() ![]() |
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xmetxp.p |
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xmetxp.1 |
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xmetxp.2 |
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xmetxpbl.r |
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xmetxpbl.c |
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xmetxpbl |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xmetxp.p |
. . . 4
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2 | xmetxp.1 |
. . . 4
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3 | xmetxp.2 |
. . . 4
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4 | 1, 2, 3 | xmetxp 13640 |
. . 3
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5 | xmetxpbl.c |
. . 3
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6 | xmetxpbl.r |
. . 3
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7 | blval 13522 |
. . 3
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8 | 4, 5, 6, 7 | syl3anc 1238 |
. 2
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9 | 5 | adantr 276 |
. . . . . 6
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10 | simpr 110 |
. . . . . 6
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11 | 2 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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12 | xp1st 6159 |
. . . . . . . . 9
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13 | 9, 12 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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14 | xp1st 6159 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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16 | xmetcl 13485 |
. . . . . . . 8
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17 | 11, 13, 15, 16 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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18 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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19 | xp2nd 6160 |
. . . . . . . . 9
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20 | 9, 19 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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21 | xp2nd 6160 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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23 | xmetcl 13485 |
. . . . . . . 8
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24 | 18, 20, 22, 23 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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25 | xrmaxcl 11231 |
. . . . . . 7
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26 | 17, 24, 25 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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27 | fveq2 5510 |
. . . . . . . . . 10
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28 | fveq2 5510 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 27, 28 | oveqan12d 5887 |
. . . . . . . . 9
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30 | fveq2 5510 |
. . . . . . . . . 10
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31 | fveq2 5510 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 30, 31 | oveqan12d 5887 |
. . . . . . . . 9
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33 | 29, 32 | preq12d 3676 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | supeq1d 6979 |
. . . . . . 7
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35 | 34, 1 | ovmpoga 5997 |
. . . . . 6
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36 | 9, 10, 26, 35 | syl3anc 1238 |
. . . . 5
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37 | 36 | breq1d 4010 |
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38 | 6 | adantr 276 |
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39 | xrmaxltsup 11237 |
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40 | 17, 24, 38, 39 | syl3anc 1238 |
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41 | 37, 40 | bitrd 188 |
. . 3
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42 | 41 | rabbidva 2725 |
. 2
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43 | 1st2nd2 6169 |
. . . . . . 7
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44 | 43 | ad2antrl 490 |
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45 | xp1st 6159 |
. . . . . . . 8
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46 | 45 | ad2antrl 490 |
. . . . . . 7
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47 | simprrl 539 |
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48 | 5, 12 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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49 | elbl 13524 |
. . . . . . . . 9
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50 | 2, 48, 6, 49 | syl3anc 1238 |
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84 | 80, 83 | anbi12d 473 |
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85 | 84 | elrab 2893 |
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86 | elxp6 6163 |
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87 | 77, 85, 86 | 3bitr4g 223 |
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88 | 87 | eqrdv 2175 |
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89 | 8, 42, 88 | 3eqtrd 2214 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4205 ax-un 4429 ax-setind 4532 ax-iinf 4583 ax-cnex 7880 ax-resscn 7881 ax-1cn 7882 ax-1re 7883 ax-icn 7884 ax-addcl 7885 ax-addrcl 7886 ax-mulcl 7887 ax-mulrcl 7888 ax-addcom 7889 ax-mulcom 7890 ax-addass 7891 ax-mulass 7892 ax-distr 7893 ax-i2m1 7894 ax-0lt1 7895 ax-1rid 7896 ax-0id 7897 ax-rnegex 7898 ax-precex 7899 ax-cnre 7900 ax-pre-ltirr 7901 ax-pre-ltwlin 7902 ax-pre-lttrn 7903 ax-pre-apti 7904 ax-pre-ltadd 7905 ax-pre-mulgt0 7906 ax-pre-mulext 7907 ax-arch 7908 ax-caucvg 7909 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4289 df-po 4292 df-iso 4293 df-iord 4362 df-on 4364 df-ilim 4365 df-suc 4367 df-iom 4586 df-xp 4628 df-rel 4629 df-cnv 4630 df-co 4631 df-dm 4632 df-rn 4633 df-res 4634 df-ima 4635 df-iota 5173 df-fun 5213 df-fn 5214 df-f 5215 df-f1 5216 df-fo 5217 df-f1o 5218 df-fv 5219 df-isom 5220 df-riota 5824 df-ov 5871 df-oprab 5872 df-mpo 5873 df-1st 6134 df-2nd 6135 df-recs 6299 df-frec 6385 df-map 6643 df-sup 6976 df-inf 6977 df-pnf 7971 df-mnf 7972 df-xr 7973 df-ltxr 7974 df-le 7975 df-sub 8107 df-neg 8108 df-reap 8509 df-ap 8516 df-div 8606 df-inn 8896 df-2 8954 df-3 8955 df-4 8956 df-n0 9153 df-z 9230 df-uz 9505 df-q 9596 df-rp 9628 df-xneg 9746 df-xadd 9747 df-seqfrec 10419 df-exp 10493 df-cj 10822 df-re 10823 df-im 10824 df-rsqrt 10978 df-abs 10979 df-topgen 12644 df-psmet 13120 df-xmet 13121 df-bl 13123 df-mopn 13124 df-top 13129 df-topon 13142 df-bases 13174 |
This theorem is referenced by: xmettxlem 13642 xmettx 13643 |
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