Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetxpbl Unicode version

Theorem xmetxpbl 12868
 Description: The maximum metric (Chebyshev distance) on the product of two sets, expressed in terms of balls centered on a point with radius . (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetxp.p
xmetxp.1
xmetxp.2
xmetxpbl.r
xmetxpbl.c
Assertion
Ref Expression
xmetxpbl
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem xmetxpbl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetxp.p . . . 4
2 xmetxp.1 . . . 4
3 xmetxp.2 . . . 4
41, 2, 3xmetxp 12867 . . 3
5 xmetxpbl.c . . 3
6 xmetxpbl.r . . 3
7 blval 12749 . . 3
84, 5, 6, 7syl3anc 1220 . 2
95adantr 274 . . . . . 6
10 simpr 109 . . . . . 6
112adantr 274 . . . . . . . 8
12 xp1st 6107 . . . . . . . . 9
139, 12syl 14 . . . . . . . 8
14 xp1st 6107 . . . . . . . . 9
1514adantl 275 . . . . . . . 8
16 xmetcl 12712 . . . . . . . 8
1711, 13, 15, 16syl3anc 1220 . . . . . . 7
183adantr 274 . . . . . . . 8
19 xp2nd 6108 . . . . . . . . 9
209, 19syl 14 . . . . . . . 8
21 xp2nd 6108 . . . . . . . . 9
2221adantl 275 . . . . . . . 8
23 xmetcl 12712 . . . . . . . 8
2418, 20, 22, 23syl3anc 1220 . . . . . . 7
25 xrmaxcl 11131 . . . . . . 7
2617, 24, 25syl2anc 409 . . . . . 6
27 fveq2 5465 . . . . . . . . . 10
28 fveq2 5465 . . . . . . . . . 10
2927, 28oveqan12d 5837 . . . . . . . . 9
30 fveq2 5465 . . . . . . . . . 10
31 fveq2 5465 . . . . . . . . . 10
3230, 31oveqan12d 5837 . . . . . . . . 9
3329, 32preq12d 3644 . . . . . . . 8
3433supeq1d 6923 . . . . . . 7
3534, 1ovmpoga 5944 . . . . . 6
369, 10, 26, 35syl3anc 1220 . . . . 5
3736breq1d 3975 . . . 4
386adantr 274 . . . . 5
39 xrmaxltsup 11137 . . . . 5
4017, 24, 38, 39syl3anc 1220 . . . 4
4137, 40bitrd 187 . . 3
4241rabbidva 2700 . 2
43 1st2nd2 6117 . . . . . . 7
4443ad2antrl 482 . . . . . 6
45 xp1st 6107 . . . . . . . 8
4645ad2antrl 482 . . . . . . 7
47 simprrl 529 . . . . . . 7
485, 12syl 14 . . . . . . . . 9
49 elbl 12751 . . . . . . . . 9
502, 48, 6, 49syl3anc 1220 . . . . . . . 8
5150adantr 274 . . . . . . 7
5246, 47, 51mpbir2and 929 . . . . . 6
53 xp2nd 6108 . . . . . . . 8
5453ad2antrl 482 . . . . . . 7
55 simprrr 530 . . . . . . 7
565, 19syl 14 . . . . . . . . 9
57 elbl 12751 . . . . . . . . 9
583, 56, 6, 57syl3anc 1220 . . . . . . . 8
5958adantr 274 . . . . . . 7
6054, 55, 59mpbir2and 929 . . . . . 6
6144, 52, 60jca32 308 . . . . 5
62 simprl 521 . . . . . . . 8
63 simprrl 529 . . . . . . . . . 10
6450adantr 274 . . . . . . . . . 10
6563, 64mpbid 146 . . . . . . . . 9
6665simpld 111 . . . . . . . 8
67 simprrr 530 . . . . . . . . . 10
6858adantr 274 . . . . . . . . . 10
6967, 68mpbid 146 . . . . . . . . 9
7069simpld 111 . . . . . . . 8
7162, 66, 70jca32 308 . . . . . . 7
72 elxp6 6111 . . . . . . 7
7371, 72sylibr 133 . . . . . 6
7465simprd 113 . . . . . 6
7569simprd 113 . . . . . 6
7673, 74, 75jca32 308 . . . . 5
7761, 76impbida 586 . . . 4
78 fveq2 5465 . . . . . . . 8
7978oveq2d 5834 . . . . . . 7
8079breq1d 3975 . . . . . 6
81 fveq2 5465 . . . . . . . 8
8281oveq2d 5834 . . . . . . 7
8382breq1d 3975 . . . . . 6
8480, 83anbi12d 465 . . . . 5
8584elrab 2868 . . . 4
86 elxp6 6111 . . . 4
8777, 85, 863bitr4g 222 . . 3
8887eqrdv 2155 . 2
898, 42, 883eqtrd 2194 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1335   wcel 2128  crab 2439  cpr 3561  cop 3563   class class class wbr 3965   cxp 4581  cfv 5167  (class class class)co 5818   cmpo 5820  c1st 6080  c2nd 6081  csup 6918  cxr 7894   clt 7895  cxmet 12340  cbl 12342 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-map 6588  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401 This theorem is referenced by:  xmettxlem  12869  xmettx  12870
 Copyright terms: Public domain W3C validator