Theorem pwnex 4552

Description: The class of all power sets is a proper class. See also snnex 4551. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pwnex	|- { x | E. y x = ~P y } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem pwnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abnex 4550	. . 3 |- ( A. y ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y ) -> -. { x | E. y x = ~P y } e. _V )
2		df-nel 2499	. . 3 |- ( { x | E. y x = ~P y } e/ _V <-> -. { x | E. y x = ~P y } e. _V )
3	1, 2	sylibr 134	. 2 |- ( A. y ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y ) -> { x | E. y x = ~P y } e/ _V )
4		vpwex 4275	. . 3 |- ~P y e. _V
5		vex 2806	. . . 4 |- y e. _V
6	5	pwid 3671	. . 3 |- y e. ~P y
7	4, 6	pm3.2i 272	. 2 |- ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y )
8	3, 7	mpg 1500	1 |- { x | E. y x = ~P y } e/ _V

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   {cab 2217   e/ wnel 2498   _Vcvv 2803   ~Pcpw 3656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-uni 3899  df-iun 3977

This theorem is referenced by:  topnex  14880