Theorem pwnex 4378

Description: The class of all power sets is a proper class. See also snnex 4377. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pwnex	|- { x | E. y x = ~P y } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem pwnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abnex 4376	. . 3 |- ( A. y ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y ) -> -. { x | E. y x = ~P y } e. _V )
2		df-nel 2405	. . 3 |- ( { x | E. y x = ~P y } e/ _V <-> -. { x | E. y x = ~P y } e. _V )
3	1, 2	sylibr 133	. 2 |- ( A. y ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y ) -> { x | E. y x = ~P y } e/ _V )
4		vpwex 4111	. . 3 |- ~P y e. _V
5		vex 2692	. . . 4 |- y e. _V
6	5	pwid 3530	. . 3 |- y e. ~P y
7	4, 6	pm3.2i 270	. 2 |- ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y )
8	3, 7	mpg 1428	1 |- { x | E. y x = ~P y } e/ _V

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   A.wal 1330   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   {cab 2126   e/ wnel 2404   _Vcvv 2689   ~Pcpw 3515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-uni 3745  df-iun 3823

This theorem is referenced by:  topnex  12294