Theorem pwnex 4308

Description: The class of all power sets is a proper class. See also snnex 4307. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pwnex	|- { x | E. y x = ~P y } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem pwnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abnex 4306	. . 3 |- ( A. y ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y ) -> -. { x | E. y x = ~P y } e. _V )
2		df-nel 2363	. . 3 |- ( { x | E. y x = ~P y } e/ _V <-> -. { x | E. y x = ~P y } e. _V )
3	1, 2	sylibr 133	. 2 |- ( A. y ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y ) -> { x | E. y x = ~P y } e/ _V )
4		vpwex 4043	. . 3 |- ~P y e. _V
5		vex 2644	. . . 4 |- y e. _V
6	5	pwid 3472	. . 3 |- y e. ~P y
7	4, 6	pm3.2i 268	. 2 |- ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y )
8	3, 7	mpg 1395	1 |- { x | E. y x = ~P y } e/ _V

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   A.wal 1297   = wceq 1299   E.wex 1436   e. wcel 1448   {cab 2086   e/ wnel 2362   _Vcvv 2641   ~Pcpw 3457

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-uni 3684  df-iun 3762

This theorem is referenced by:  topnex  12037