Theorem pwnex 4539

Description: The class of all power sets is a proper class. See also snnex 4538. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pwnex	|- { x | E. y x = ~P y } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem pwnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abnex 4537	. . 3 |- ( A. y ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y ) -> -. { x | E. y x = ~P y } e. _V )
2		df-nel 2496	. . 3 |- ( { x | E. y x = ~P y } e/ _V <-> -. { x | E. y x = ~P y } e. _V )
3	1, 2	sylibr 134	. 2 |- ( A. y ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y ) -> { x | E. y x = ~P y } e/ _V )
4		vpwex 4262	. . 3 |- ~P y e. _V
5		vex 2802	. . . 4 |- y e. _V
6	5	pwid 3664	. . 3 |- y e. ~P y
7	4, 6	pm3.2i 272	. 2 |- ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y )
8	3, 7	mpg 1497	1 |- { x | E. y x = ~P y } e/ _V

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cab 2215   e/ wnel 2495   _Vcvv 2799   ~Pcpw 3649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-uni 3888  df-iun 3966

This theorem is referenced by:  topnex  14754