Theorem pwnex 4546

Description: The class of all power sets is a proper class. See also snnex 4545. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pwnex	|- { x | E. y x = ~P y } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem pwnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abnex 4544	. . 3 |- ( A. y ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y ) -> -. { x | E. y x = ~P y } e. _V )
2		df-nel 2498	. . 3 |- ( { x | E. y x = ~P y } e/ _V <-> -. { x | E. y x = ~P y } e. _V )
3	1, 2	sylibr 134	. 2 |- ( A. y ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y ) -> { x | E. y x = ~P y } e/ _V )
4		vpwex 4269	. . 3 |- ~P y e. _V
5		vex 2805	. . . 4 |- y e. _V
6	5	pwid 3667	. . 3 |- y e. ~P y
7	4, 6	pm3.2i 272	. 2 |- ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y )
8	3, 7	mpg 1499	1 |- { x | E. y x = ~P y } e/ _V

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   A.wal 1395   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   {cab 2217   e/ wnel 2497   _Vcvv 2802   ~Pcpw 3652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-uni 3894  df-iun 3972

This theorem is referenced by:  topnex  14809