Theorem pwnex 4500

Description: The class of all power sets is a proper class. See also snnex 4499. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pwnex	|- { x | E. y x = ~P y } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem pwnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abnex 4498	. . 3 |- ( A. y ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y ) -> -. { x | E. y x = ~P y } e. _V )
2		df-nel 2473	. . 3 |- ( { x | E. y x = ~P y } e/ _V <-> -. { x | E. y x = ~P y } e. _V )
3	1, 2	sylibr 134	. 2 |- ( A. y ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y ) -> { x | E. y x = ~P y } e/ _V )
4		vpwex 4227	. . 3 |- ~P y e. _V
5		vex 2776	. . . 4 |- y e. _V
6	5	pwid 3632	. . 3 |- y e. ~P y
7	4, 6	pm3.2i 272	. 2 |- ( ~P y e. _V /\ y e. ~P y )
8	3, 7	mpg 1475	1 |- { x | E. y x = ~P y } e/ _V

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   {cab 2192   e/ wnel 2472   _Vcvv 2773   ~Pcpw 3617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-un 4484

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-uni 3853  df-iun 3931

This theorem is referenced by:  topnex  14602