Theorem snnex 4483

Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
snnex	|- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem snnex

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4165	. . . 4 |- -. _V e. _V
2		vsnid 3654	. . . . . . . . 9 |- z e. { z }
3		a9ev 1711	. . . . . . . . . 10 |- E. y y = z
4		sneq 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> { z } = { y } )
5	4	equcoms 1722	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> { z } = { y } )
6	3, 5	eximii 1616	. . . . . . . . 9 |- E. y { z } = { y }
7		vex 2766	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
8	7	snex 4218	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. _V
9		eleq2 2260	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( z e. x <-> z e. { z } ) )
10		eqeq1 2203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { z } -> ( x = { y } <-> { z } = { y } ) )
11	10	exbidv 1839	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( E. y x = { y } <-> E. y { z } = { y } ) )
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z } -> ( ( z e. x /\ E. y x = { y } ) <-> ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) ) )
13	8, 12	spcev 2859	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) -> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
14	2, 6, 13	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } )
15		eluniab 3851	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
16	14, 15	mpbir 146	. . . . . . 7 |- z e. U. { x | E. y x = { y } }
17	16, 7	2th 174	. . . . . 6 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> z e. _V )
18	17	eqriv 2193	. . . . 5 |- U. { x | E. y x = { y } } = _V
19	18	eleq1i 2262	. . . 4 |- ( U. { x | E. y x = { y } } e. _V <-> _V e. _V )
20	1, 19	mtbir 672	. . 3 |- -. U. { x | E. y x = { y } } e. _V
21		uniexg 4474	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e. _V -> U. { x | E. y x = { y } } e. _V )
22	20, 21	mto 663	. 2 |- -. { x | E. y x = { y } } e. _V
23	22	nelir 2465	1 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   e/ wnel 2462   _Vcvv 2763   {csn 3622   U.cuni 3839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-nel 2463  df-rex 2481  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-uni 3840

This theorem is referenced by:  fiprc  6874