Theorem snnex 4545

Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
snnex	|- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem snnex

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4221	. . . 4 |- -. _V e. _V
2		vsnid 3701	. . . . . . . . 9 |- z e. { z }
3		a9ev 1745	. . . . . . . . . 10 |- E. y y = z
4		sneq 3680	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> { z } = { y } )
5	4	equcoms 1756	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> { z } = { y } )
6	3, 5	eximii 1650	. . . . . . . . 9 |- E. y { z } = { y }
7		vex 2805	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
8	7	snex 4275	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. _V
9		eleq2 2295	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( z e. x <-> z e. { z } ) )
10		eqeq1 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { z } -> ( x = { y } <-> { z } = { y } ) )
11	10	exbidv 1873	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( E. y x = { y } <-> E. y { z } = { y } ) )
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z } -> ( ( z e. x /\ E. y x = { y } ) <-> ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) ) )
13	8, 12	spcev 2901	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) -> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
14	2, 6, 13	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } )
15		eluniab 3905	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
16	14, 15	mpbir 146	. . . . . . 7 |- z e. U. { x | E. y x = { y } }
17	16, 7	2th 174	. . . . . 6 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> z e. _V )
18	17	eqriv 2228	. . . . 5 |- U. { x | E. y x = { y } } = _V
19	18	eleq1i 2297	. . . 4 |- ( U. { x | E. y x = { y } } e. _V <-> _V e. _V )
20	1, 19	mtbir 677	. . 3 |- -. U. { x | E. y x = { y } } e. _V
21		uniexg 4536	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e. _V -> U. { x | E. y x = { y } } e. _V )
22	20, 21	mto 668	. 2 |- -. { x | E. y x = { y } } e. _V
23	22	nelir 2500	1 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   {cab 2217   e/ wnel 2497   _Vcvv 2802   {csn 3669   U.cuni 3893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-nel 2498  df-rex 2516  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-uni 3894

This theorem is referenced by:  fiprc  6989