Theorem snnex 4442

Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
snnex	|- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem snnex

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4130	. . . 4 |- -. _V e. _V
2		vsnid 3621	. . . . . . . . 9 |- z e. { z }
3		a9ev 1695	. . . . . . . . . 10 |- E. y y = z
4		sneq 3600	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> { z } = { y } )
5	4	equcoms 1706	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> { z } = { y } )
6	3, 5	eximii 1600	. . . . . . . . 9 |- E. y { z } = { y }
7		vex 2738	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
8	7	snex 4180	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. _V
9		eleq2 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( z e. x <-> z e. { z } ) )
10		eqeq1 2182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { z } -> ( x = { y } <-> { z } = { y } ) )
11	10	exbidv 1823	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( E. y x = { y } <-> E. y { z } = { y } ) )
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z } -> ( ( z e. x /\ E. y x = { y } ) <-> ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) ) )
13	8, 12	spcev 2830	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) -> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
14	2, 6, 13	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } )
15		eluniab 3817	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
16	14, 15	mpbir 146	. . . . . . 7 |- z e. U. { x | E. y x = { y } }
17	16, 7	2th 174	. . . . . 6 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> z e. _V )
18	17	eqriv 2172	. . . . 5 |- U. { x | E. y x = { y } } = _V
19	18	eleq1i 2241	. . . 4 |- ( U. { x | E. y x = { y } } e. _V <-> _V e. _V )
20	1, 19	mtbir 671	. . 3 |- -. U. { x | E. y x = { y } } e. _V
21		uniexg 4433	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e. _V -> U. { x | E. y x = { y } } e. _V )
22	20, 21	mto 662	. 2 |- -. { x | E. y x = { y } } e. _V
23	22	nelir 2443	1 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   {cab 2161   e/ wnel 2440   _Vcvv 2735   {csn 3589   U.cuni 3805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-un 4427

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-nel 2441  df-rex 2459  df-v 2737  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-uni 3806

This theorem is referenced by:  fiprc  6805