Theorem snnex 4513

Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
snnex	|- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem snnex

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4192	. . . 4 |- -. _V e. _V
2		vsnid 3675	. . . . . . . . 9 |- z e. { z }
3		a9ev 1721	. . . . . . . . . 10 |- E. y y = z
4		sneq 3654	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> { z } = { y } )
5	4	equcoms 1732	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> { z } = { y } )
6	3, 5	eximii 1626	. . . . . . . . 9 |- E. y { z } = { y }
7		vex 2779	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
8	7	snex 4245	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. _V
9		eleq2 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( z e. x <-> z e. { z } ) )
10		eqeq1 2214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { z } -> ( x = { y } <-> { z } = { y } ) )
11	10	exbidv 1849	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( E. y x = { y } <-> E. y { z } = { y } ) )
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z } -> ( ( z e. x /\ E. y x = { y } ) <-> ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) ) )
13	8, 12	spcev 2875	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) -> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
14	2, 6, 13	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } )
15		eluniab 3876	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
16	14, 15	mpbir 146	. . . . . . 7 |- z e. U. { x | E. y x = { y } }
17	16, 7	2th 174	. . . . . 6 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> z e. _V )
18	17	eqriv 2204	. . . . 5 |- U. { x | E. y x = { y } } = _V
19	18	eleq1i 2273	. . . 4 |- ( U. { x | E. y x = { y } } e. _V <-> _V e. _V )
20	1, 19	mtbir 673	. . 3 |- -. U. { x | E. y x = { y } } e. _V
21		uniexg 4504	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e. _V -> U. { x | E. y x = { y } } e. _V )
22	20, 21	mto 664	. 2 |- -. { x | E. y x = { y } } e. _V
23	22	nelir 2476	1 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   {cab 2193   e/ wnel 2473   _Vcvv 2776   {csn 3643   U.cuni 3864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-nel 2474  df-rex 2492  df-v 2778  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-uni 3865

This theorem is referenced by:  fiprc  6931