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Theorem snnex 4469
Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
snnex  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem snnex
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vprc 4153 . . . 4  |-  -.  _V  e.  _V
2 vsnid 3642 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
{ z }
3 a9ev 1708 . . . . . . . . . 10  |-  E. y 
y  =  z
4 sneq 3621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  { z }  =  { y } )
54equcoms 1719 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  { z }  =  { y } )
63, 5eximii 1613 . . . . . . . . 9  |-  E. y { z }  =  { y }
7 vex 2755 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
87snex 4206 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  _V
9 eleq2 2253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { z }  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  {
z } ) )
10 eqeq1 2196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { z }  ->  ( x  =  { y }  <->  { z }  =  { y } ) )
1110exbidv 1836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { z }  ->  ( E. y  x  =  { y } 
<->  E. y { z }  =  { y } ) )
129, 11anbi12d 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { z }  ->  ( ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  {
y } )  <->  ( z  e.  { z }  /\  E. y { z }  =  { y } ) ) )
138, 12spcev 2847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  { z }  /\  E. y { z }  =  { y } )  ->  E. x ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  {
y } ) )
142, 6, 13mp2an 426 . . . . . . . 8  |-  E. x
( z  e.  x  /\  E. y  x  =  { y } )
15 eluniab 3839 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  <->  E. x ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  { y } ) )
1614, 15mpbir 146 . . . . . . 7  |-  z  e. 
U. { x  |  E. y  x  =  { y } }
1716, 72th 174 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  <->  z  e.  _V )
1817eqriv 2186 . . . . 5  |-  U. {
x  |  E. y  x  =  { y } }  =  _V
1918eleq1i 2255 . . . 4  |-  ( U. { x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V 
<->  _V  e.  _V )
201, 19mtbir 672 . . 3  |-  -.  U. { x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V
21 uniexg 4460 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V  ->  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
2220, 21mto 663 . 2  |-  -.  {
x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V
2322nelir 2458 1  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   {cab 2175    e/ wnel 2455   _Vcvv 2752   {csn 3610   U.cuni 3827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-un 4454
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-nel 2456  df-rex 2474  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-uni 3828
This theorem is referenced by:  fiprc  6845
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