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Theorem snnex 4337
Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
snnex  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem snnex
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vprc 4028 . . . 4  |-  -.  _V  e.  _V
2 vsnid 3525 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
{ z }
3 a9ev 1658 . . . . . . . . . 10  |-  E. y 
y  =  z
4 sneq 3506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  { z }  =  { y } )
54equcoms 1667 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  { z }  =  { y } )
63, 5eximii 1564 . . . . . . . . 9  |-  E. y { z }  =  { y }
7 vex 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
87snex 4077 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  _V
9 eleq2 2179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { z }  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  {
z } ) )
10 eqeq1 2122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { z }  ->  ( x  =  { y }  <->  { z }  =  { y } ) )
1110exbidv 1779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { z }  ->  ( E. y  x  =  { y } 
<->  E. y { z }  =  { y } ) )
129, 11anbi12d 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { z }  ->  ( ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  {
y } )  <->  ( z  e.  { z }  /\  E. y { z }  =  { y } ) ) )
138, 12spcev 2752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  { z }  /\  E. y { z }  =  { y } )  ->  E. x ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  {
y } ) )
142, 6, 13mp2an 420 . . . . . . . 8  |-  E. x
( z  e.  x  /\  E. y  x  =  { y } )
15 eluniab 3716 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  <->  E. x ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  { y } ) )
1614, 15mpbir 145 . . . . . . 7  |-  z  e. 
U. { x  |  E. y  x  =  { y } }
1716, 72th 173 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  <->  z  e.  _V )
1817eqriv 2112 . . . . 5  |-  U. {
x  |  E. y  x  =  { y } }  =  _V
1918eleq1i 2181 . . . 4  |-  ( U. { x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V 
<->  _V  e.  _V )
201, 19mtbir 643 . . 3  |-  -.  U. { x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V
21 uniexg 4329 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V  ->  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
2220, 21mto 634 . 2  |-  -.  {
x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V
2322nelir 2381 1  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   {cab 2101    e/ wnel 2378   _Vcvv 2658   {csn 3495   U.cuni 3704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-un 4323
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-nel 2379  df-rex 2397  df-v 2660  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-uni 3705
This theorem is referenced by:  fiprc  6675
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