Theorem snnex 4262

Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
snnex	|- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem snnex

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 3963	. . . 4 |- -. _V e. _V
2		vsnid 3471	. . . . . . . . 9 |- z e. { z }
3		a9ev 1632	. . . . . . . . . 10 |- E. y y = z
4		sneq 3452	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> { z } = { y } )
5	4	equcoms 1641	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> { z } = { y } )
6	3, 5	eximii 1538	. . . . . . . . 9 |- E. y { z } = { y }
7		vex 2622	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
8	7	snex 4011	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. _V
9		eleq2 2151	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( z e. x <-> z e. { z } ) )
10		eqeq1 2094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { z } -> ( x = { y } <-> { z } = { y } ) )
11	10	exbidv 1753	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = { z } -> ( E. y x = { y } <-> E. y { z } = { y } ) )
12	9, 11	anbi12d 457	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z } -> ( ( z e. x /\ E. y x = { y } ) <-> ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) ) )
13	8, 12	spcev 2713	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { z } /\ E. y { z } = { y } ) -> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
14	2, 6, 13	mp2an 417	. . . . . . . 8 |- E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } )
15		eluniab 3660	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> E. x ( z e. x /\ E. y x = { y } ) )
16	14, 15	mpbir 144	. . . . . . 7 |- z e. U. { x | E. y x = { y } }
17	16, 7	2th 172	. . . . . 6 |- ( z e. U. { x | E. y x = { y } } <-> z e. _V )
18	17	eqriv 2085	. . . . 5 |- U. { x | E. y x = { y } } = _V
19	18	eleq1i 2153	. . . 4 |- ( U. { x | E. y x = { y } } e. _V <-> _V e. _V )
20	1, 19	mtbir 631	. . 3 |- -. U. { x | E. y x = { y } } e. _V
21		uniexg 4256	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e. _V -> U. { x | E. y x = { y } } e. _V )
22	20, 21	mto 623	. 2 |- -. { x | E. y x = { y } } e. _V
23	22	nelir 2353	1 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   {cab 2074   e/ wnel 2350   _Vcvv 2619   {csn 3441   U.cuni 3648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-un 4251

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-nel 2351  df-rex 2365  df-v 2621  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-uni 3649

This theorem is referenced by:  fiprc  6512