Theorem abnex 4588

Description: Sufficient condition for a class abstraction to be a proper class. Lemma for snnex 4589 and pwnex 4590. See the comment of abnexg 4587. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
abnex	|- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> -. { y | E. x y = F } e. _V )

Distinct variable groups:   x, y   y, F

Allowed substitution hints:   F( x)   V( x, y)

Proof of Theorem abnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4260	. 2 |- -. _V e. _V
2		alral 2595	. . 3 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> A. x e. _V ( F e. V /\ x e. F ) )
3		rexv 2840	. . . . . . 7 |- ( E. x e. _V y = F <-> E. x y = F )
4	3	bicomi 132	. . . . . 6 |- ( E. x y = F <-> E. x e. _V y = F )
5	4	abbii 2354	. . . . 5 |- { y | E. x y = F } = { y | E. x e. _V y = F }
6	5	eleq1i 2304	. . . 4 |- ( { y | E. x y = F } e. _V <-> { y | E. x e. _V y = F } e. _V )
7	6	biimpi 120	. . 3 |- ( { y | E. x y = F } e. _V -> { y | E. x e. _V y = F } e. _V )
8		abnexg 4587	. . 3 |- ( A. x e. _V ( F e. V /\ x e. F ) -> ( { y | E. x e. _V y = F } e. _V -> _V e. _V ) )
9	2, 7, 8	syl2im 38	. 2 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> ( { y | E. x y = F } e. _V -> _V e. _V ) )
10	1, 9	mtoi 674	1 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> -. { y | E. x y = F } e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-uni 3931  df-iun 4009

This theorem is referenced by:  pwnex  4590