Theorem abnex 4543

Description: Sufficient condition for a class abstraction to be a proper class. Lemma for snnex 4544 and pwnex 4545. See the comment of abnexg 4542. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
abnex	|- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> -. { y | E. x y = F } e. _V )

Distinct variable groups:   x, y   y, F

Allowed substitution hints:   F( x)   V( x, y)

Proof of Theorem abnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4220	. 2 |- -. _V e. _V
2		alral 2576	. . 3 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> A. x e. _V ( F e. V /\ x e. F ) )
3		rexv 2820	. . . . . . 7 |- ( E. x e. _V y = F <-> E. x y = F )
4	3	bicomi 132	. . . . . 6 |- ( E. x y = F <-> E. x e. _V y = F )
5	4	abbii 2346	. . . . 5 |- { y | E. x y = F } = { y | E. x e. _V y = F }
6	5	eleq1i 2296	. . . 4 |- ( { y | E. x y = F } e. _V <-> { y | E. x e. _V y = F } e. _V )
7	6	biimpi 120	. . 3 |- ( { y | E. x y = F } e. _V -> { y | E. x e. _V y = F } e. _V )
8		abnexg 4542	. . 3 |- ( A. x e. _V ( F e. V /\ x e. F ) -> ( { y | E. x e. _V y = F } e. _V -> _V e. _V ) )
9	2, 7, 8	syl2im 38	. 2 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> ( { y | E. x y = F } e. _V -> _V e. _V ) )
10	1, 9	mtoi 670	1 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> -. { y | E. x y = F } e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1395   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2201   {cab 2216   A.wral 2509   E.wrex 2510   _Vcvv 2801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-un 4529

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-in 3205  df-ss 3212  df-sn 3674  df-uni 3893  df-iun 3971

This theorem is referenced by:  pwnex  4545