Theorem abnex 4538

Description: Sufficient condition for a class abstraction to be a proper class. Lemma for snnex 4539 and pwnex 4540. See the comment of abnexg 4537. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
abnex	|- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> -. { y | E. x y = F } e. _V )

Distinct variable groups:   x, y   y, F

Allowed substitution hints:   F( x)   V( x, y)

Proof of Theorem abnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4216	. 2 |- -. _V e. _V
2		alral 2575	. . 3 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> A. x e. _V ( F e. V /\ x e. F ) )
3		rexv 2818	. . . . . . 7 |- ( E. x e. _V y = F <-> E. x y = F )
4	3	bicomi 132	. . . . . 6 |- ( E. x y = F <-> E. x e. _V y = F )
5	4	abbii 2345	. . . . 5 |- { y | E. x y = F } = { y | E. x e. _V y = F }
6	5	eleq1i 2295	. . . 4 |- ( { y | E. x y = F } e. _V <-> { y | E. x e. _V y = F } e. _V )
7	6	biimpi 120	. . 3 |- ( { y | E. x y = F } e. _V -> { y | E. x e. _V y = F } e. _V )
8		abnexg 4537	. . 3 |- ( A. x e. _V ( F e. V /\ x e. F ) -> ( { y | E. x e. _V y = F } e. _V -> _V e. _V ) )
9	2, 7, 8	syl2im 38	. 2 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> ( { y | E. x y = F } e. _V -> _V e. _V ) )
10	1, 9	mtoi 668	1 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> -. { y | E. x y = F } e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-uni 3889  df-iun 3967

This theorem is referenced by:  pwnex  4540