ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abnex Unicode version

Theorem abnex 4371
Description: Sufficient condition for a class abstraction to be a proper class. Lemma for snnex 4372 and pwnex 4373. See the comment of abnexg 4370. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
abnex  |-  ( A. x ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  -.  { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, y    y, F
Allowed substitution hints:    F( x)    V( x, y)

Proof of Theorem abnex
StepHypRef Expression
1 vprc 4063 . 2  |-  -.  _V  e.  _V
2 alral 2478 . . 3  |-  ( A. x ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  A. x  e.  _V  ( F  e.  V  /\  x  e.  F ) )
3 rexv 2704 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  _V  y  =  F  <->  E. x  y  =  F )
43bicomi 131 . . . . . 6  |-  ( E. x  y  =  F  <->  E. x  e.  _V  y  =  F )
54abbii 2255 . . . . 5  |-  { y  |  E. x  y  =  F }  =  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  F }
65eleq1i 2205 . . . 4  |-  ( { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V  <->  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  F }  e.  _V )
76biimpi 119 . . 3  |-  ( { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V  ->  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  F }  e.  _V )
8 abnexg 4370 . . 3  |-  ( A. x  e.  _V  ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  ( { y  |  E. x  e.  _V  y  =  F }  e.  _V  ->  _V  e.  _V ) )
92, 7, 8syl2im 38 . 2  |-  ( A. x ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  ( { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V  ->  _V  e.  _V ) )
101, 9mtoi 653 1  |-  ( A. x ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  -.  { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1329    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-un 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-uni 3740  df-iun 3818
This theorem is referenced by:  pwnex  4373
  Copyright terms: Public domain W3C validator