ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abnex Unicode version

Theorem abnex 4465
Description: Sufficient condition for a class abstraction to be a proper class. Lemma for snnex 4466 and pwnex 4467. See the comment of abnexg 4464. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
abnex  |-  ( A. x ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  -.  { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, y    y, F
Allowed substitution hints:    F( x)    V( x, y)

Proof of Theorem abnex
StepHypRef Expression
1 vprc 4150 . 2  |-  -.  _V  e.  _V
2 alral 2535 . . 3  |-  ( A. x ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  A. x  e.  _V  ( F  e.  V  /\  x  e.  F ) )
3 rexv 2770 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  _V  y  =  F  <->  E. x  y  =  F )
43bicomi 132 . . . . . 6  |-  ( E. x  y  =  F  <->  E. x  e.  _V  y  =  F )
54abbii 2305 . . . . 5  |-  { y  |  E. x  y  =  F }  =  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  F }
65eleq1i 2255 . . . 4  |-  ( { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V  <->  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  F }  e.  _V )
76biimpi 120 . . 3  |-  ( { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V  ->  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  F }  e.  _V )
8 abnexg 4464 . . 3  |-  ( A. x  e.  _V  ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  ( { y  |  E. x  e.  _V  y  =  F }  e.  _V  ->  _V  e.  _V ) )
92, 7, 8syl2im 38 . 2  |-  ( A. x ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  ( { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V  ->  _V  e.  _V ) )
101, 9mtoi 665 1  |-  ( A. x ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  -.  { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-un 4451
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-uni 3825  df-iun 3903
This theorem is referenced by:  pwnex  4467
  Copyright terms: Public domain W3C validator