Theorem abnex 4432

Description: Sufficient condition for a class abstraction to be a proper class. Lemma for snnex 4433 and pwnex 4434. See the comment of abnexg 4431. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
abnex	|- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> -. { y | E. x y = F } e. _V )

Distinct variable groups:   x, y   y, F

Allowed substitution hints:   F( x)   V( x, y)

Proof of Theorem abnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4121	. 2 |- -. _V e. _V
2		alral 2515	. . 3 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> A. x e. _V ( F e. V /\ x e. F ) )
3		rexv 2748	. . . . . . 7 |- ( E. x e. _V y = F <-> E. x y = F )
4	3	bicomi 131	. . . . . 6 |- ( E. x y = F <-> E. x e. _V y = F )
5	4	abbii 2286	. . . . 5 |- { y | E. x y = F } = { y | E. x e. _V y = F }
6	5	eleq1i 2236	. . . 4 |- ( { y | E. x y = F } e. _V <-> { y | E. x e. _V y = F } e. _V )
7	6	biimpi 119	. . 3 |- ( { y | E. x y = F } e. _V -> { y | E. x e. _V y = F } e. _V )
8		abnexg 4431	. . 3 |- ( A. x e. _V ( F e. V /\ x e. F ) -> ( { y | E. x e. _V y = F } e. _V -> _V e. _V ) )
9	2, 7, 8	syl2im 38	. 2 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> ( { y | E. x y = F } e. _V -> _V e. _V ) )
10	1, 9	mtoi 659	1 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> -. { y | E. x y = F } e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-uni 3797  df-iun 3875

This theorem is referenced by:  pwnex  4434