Theorem abnex 4368

Description: Sufficient condition for a class abstraction to be a proper class. Lemma for snnex 4369 and pwnex 4370. See the comment of abnexg 4367. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
abnex	|- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> -. { y | E. x y = F } e. _V )

Distinct variable groups:   x, y   y, F

Allowed substitution hints:   F( x)   V( x, y)

Proof of Theorem abnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4060	. 2 |- -. _V e. _V
2		alral 2478	. . 3 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> A. x e. _V ( F e. V /\ x e. F ) )
3		rexv 2704	. . . . . . 7 |- ( E. x e. _V y = F <-> E. x y = F )
4	3	bicomi 131	. . . . . 6 |- ( E. x y = F <-> E. x e. _V y = F )
5	4	abbii 2255	. . . . 5 |- { y | E. x y = F } = { y | E. x e. _V y = F }
6	5	eleq1i 2205	. . . 4 |- ( { y | E. x y = F } e. _V <-> { y | E. x e. _V y = F } e. _V )
7	6	biimpi 119	. . 3 |- ( { y | E. x y = F } e. _V -> { y | E. x e. _V y = F } e. _V )
8		abnexg 4367	. . 3 |- ( A. x e. _V ( F e. V /\ x e. F ) -> ( { y | E. x e. _V y = F } e. _V -> _V e. _V ) )
9	2, 7, 8	syl2im 38	. 2 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> ( { y | E. x y = F } e. _V -> _V e. _V ) )
10	1, 9	mtoi 653	1 |- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> -. { y | E. x y = F } e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-uni 3737  df-iun 3815

This theorem is referenced by:  pwnex  4370