ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abnex Unicode version

Theorem abnex 4430
Description: Sufficient condition for a class abstraction to be a proper class. Lemma for snnex 4431 and pwnex 4432. See the comment of abnexg 4429. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
abnex  |-  ( A. x ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  -.  { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, y    y, F
Allowed substitution hints:    F( x)    V( x, y)

Proof of Theorem abnex
StepHypRef Expression
1 vprc 4119 . 2  |-  -.  _V  e.  _V
2 alral 2515 . . 3  |-  ( A. x ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  A. x  e.  _V  ( F  e.  V  /\  x  e.  F ) )
3 rexv 2748 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  _V  y  =  F  <->  E. x  y  =  F )
43bicomi 131 . . . . . 6  |-  ( E. x  y  =  F  <->  E. x  e.  _V  y  =  F )
54abbii 2286 . . . . 5  |-  { y  |  E. x  y  =  F }  =  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  F }
65eleq1i 2236 . . . 4  |-  ( { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V  <->  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  F }  e.  _V )
76biimpi 119 . . 3  |-  ( { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V  ->  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  F }  e.  _V )
8 abnexg 4429 . . 3  |-  ( A. x  e.  _V  ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  ( { y  |  E. x  e.  _V  y  =  F }  e.  _V  ->  _V  e.  _V ) )
92, 7, 8syl2im 38 . 2  |-  ( A. x ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  ( { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V  ->  _V  e.  _V ) )
101, 9mtoi 659 1  |-  ( A. x ( F  e.  V  /\  x  e.  F )  ->  -.  { y  |  E. x  y  =  F }  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1346    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-un 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3587  df-uni 3795  df-iun 3873
This theorem is referenced by:  pwnex  4432
  Copyright terms: Public domain W3C validator