Theorem topnex 13625

Description: The class of all topologies is a proper class. The proof uses discrete topologies and pwnex 4451. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
topnex	|- Top e/ _V

Proof of Theorem topnex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwnex 4451	. . . 4 |- { y | E. x y = ~P x } e/ _V
2	1	neli 2444	. . 3 |- -. { y | E. x y = ~P x } e. _V
3		vex 2742	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4		distop 13624	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V -> ~P x e. Top )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ~P x e. Top
6		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( y = ~P x -> ( y e. Top <-> ~P x e. Top ) )
7	5, 6	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( y = ~P x -> y e. Top )
8	7	exlimiv 1598	. . . . 5 |- ( E. x y = ~P x -> y e. Top )
9	8	abssi 3232	. . . 4 |- { y | E. x y = ~P x } C_ Top
10		ssexg 4144	. . . 4 |- ( ( { y | E. x y = ~P x } C_ Top /\ Top e. _V ) -> { y | E. x y = ~P x } e. _V )
11	9, 10	mpan 424	. . 3 |- ( Top e. _V -> { y | E. x y = ~P x } e. _V )
12	2, 11	mto 662	. 2 |- -. Top e. _V
13	12	nelir 2445	1 |- Top e/ _V

Syntax hints:   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   e/ wnel 2442   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   Topctop 13536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-uni 3812  df-iun 3890  df-top 13537

This theorem is referenced by: (None)