Theorem topnex 14265

Description: The class of all topologies is a proper class. The proof uses discrete topologies and pwnex 4481. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
topnex	|- Top e/ _V

Proof of Theorem topnex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwnex 4481	. . . 4 |- { y | E. x y = ~P x } e/ _V
2	1	neli 2461	. . 3 |- -. { y | E. x y = ~P x } e. _V
3		vex 2763	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4		distop 14264	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V -> ~P x e. Top )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ~P x e. Top
6		eleq1 2256	. . . . . . 7 |- ( y = ~P x -> ( y e. Top <-> ~P x e. Top ) )
7	5, 6	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( y = ~P x -> y e. Top )
8	7	exlimiv 1609	. . . . 5 |- ( E. x y = ~P x -> y e. Top )
9	8	abssi 3255	. . . 4 |- { y | E. x y = ~P x } C_ Top
10		ssexg 4169	. . . 4 |- ( ( { y | E. x y = ~P x } C_ Top /\ Top e. _V ) -> { y | E. x y = ~P x } e. _V )
11	9, 10	mpan 424	. . 3 |- ( Top e. _V -> { y | E. x y = ~P x } e. _V )
12	2, 11	mto 663	. 2 |- -. Top e. _V
13	12	nelir 2462	1 |- Top e/ _V

Syntax hints:   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   e/ wnel 2459   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   ~Pcpw 3602   Topctop 14176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-uni 3837  df-iun 3915  df-top 14177

This theorem is referenced by: (None)