Theorem topnex 12880

Description: The class of all topologies is a proper class. The proof uses discrete topologies and pwnex 4434. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
topnex	|- Top e/ _V

Proof of Theorem topnex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwnex 4434	. . . 4 |- { y | E. x y = ~P x } e/ _V
2	1	neli 2437	. . 3 |- -. { y | E. x y = ~P x } e. _V
3		vex 2733	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4		distop 12879	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V -> ~P x e. Top )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ~P x e. Top
6		eleq1 2233	. . . . . . 7 |- ( y = ~P x -> ( y e. Top <-> ~P x e. Top ) )
7	5, 6	mpbiri 167	. . . . . 6 |- ( y = ~P x -> y e. Top )
8	7	exlimiv 1591	. . . . 5 |- ( E. x y = ~P x -> y e. Top )
9	8	abssi 3222	. . . 4 |- { y | E. x y = ~P x } C_ Top
10		ssexg 4128	. . . 4 |- ( ( { y | E. x y = ~P x } C_ Top /\ Top e. _V ) -> { y | E. x y = ~P x } e. _V )
11	9, 10	mpan 422	. . 3 |- ( Top e. _V -> { y | E. x y = ~P x } e. _V )
12	2, 11	mto 657	. 2 |- -. Top e. _V
13	12	nelir 2438	1 |- Top e/ _V

Syntax hints:   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   e/ wnel 2435   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   Topctop 12789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-uni 3797  df-iun 3875  df-top 12790

This theorem is referenced by: (None)