Theorem topnex 12726

Description: The class of all topologies is a proper class. The proof uses discrete topologies and pwnex 4427. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
topnex	|- Top e/ _V

Proof of Theorem topnex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwnex 4427	. . . 4 |- { y | E. x y = ~P x } e/ _V
2	1	neli 2433	. . 3 |- -. { y | E. x y = ~P x } e. _V
3		vex 2729	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4		distop 12725	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V -> ~P x e. Top )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ~P x e. Top
6		eleq1 2229	. . . . . . 7 |- ( y = ~P x -> ( y e. Top <-> ~P x e. Top ) )
7	5, 6	mpbiri 167	. . . . . 6 |- ( y = ~P x -> y e. Top )
8	7	exlimiv 1586	. . . . 5 |- ( E. x y = ~P x -> y e. Top )
9	8	abssi 3217	. . . 4 |- { y | E. x y = ~P x } C_ Top
10		ssexg 4121	. . . 4 |- ( ( { y | E. x y = ~P x } C_ Top /\ Top e. _V ) -> { y | E. x y = ~P x } e. _V )
11	9, 10	mpan 421	. . 3 |- ( Top e. _V -> { y | E. x y = ~P x } e. _V )
12	2, 11	mto 652	. 2 |- -. Top e. _V
13	12	nelir 2434	1 |- Top e/ _V

Syntax hints:   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   e/ wnel 2431   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   ~Pcpw 3559   Topctop 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-uni 3790  df-iun 3868  df-top 12636

This theorem is referenced by: (None)