Theorem pwnex 4451

Description: The class of all power sets is a proper class. See also snnex 4450. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pwnex	⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = 𝒫 𝑦} ∉ V

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem pwnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abnex 4449	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝒫 𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑦) → ¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = 𝒫 𝑦} ∈ V)
2		df-nel 2443	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = 𝒫 𝑦} ∉ V ↔ ¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = 𝒫 𝑦} ∈ V)
3	1, 2	sylibr 134	. 2 ⊢ (∀𝑦(𝒫 𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑦) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = 𝒫 𝑦} ∉ V)
4		vpwex 4181	. . 3 ⊢ 𝒫 𝑦 ∈ V
5		vex 2742	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	pwid 3592	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑦
7	4, 6	pm3.2i 272	. 2 ⊢ (𝒫 𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑦)
8	3, 7	mpg 1451	1 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = 𝒫 𝑦} ∉ V

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104  ∀wal 1351   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  {cab 2163   ∉ wnel 2442  Vcvv 2739  𝒫 cpw 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-uni 3812  df-iun 3890

This theorem is referenced by:  topnex  13671