Theorem pwnex 4480

Description: The class of all power sets is a proper class. See also snnex 4479. (Contributed by BJ, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pwnex	⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = 𝒫 𝑦} ∉ V

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem pwnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abnex 4478	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝒫 𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑦) → ¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = 𝒫 𝑦} ∈ V)
2		df-nel 2460	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = 𝒫 𝑦} ∉ V ↔ ¬ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = 𝒫 𝑦} ∈ V)
3	1, 2	sylibr 134	. 2 ⊢ (∀𝑦(𝒫 𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑦) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = 𝒫 𝑦} ∉ V)
4		vpwex 4208	. . 3 ⊢ 𝒫 𝑦 ∈ V
5		vex 2763	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	pwid 3616	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑦
7	4, 6	pm3.2i 272	. 2 ⊢ (𝒫 𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑦)
8	3, 7	mpg 1462	1 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥 = 𝒫 𝑦} ∉ V

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104  ∀wal 1362   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  {cab 2179   ∉ wnel 2459  Vcvv 2760  𝒫 cpw 3601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-uni 3836  df-iun 3914

This theorem is referenced by:  topnex  14254