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Theorem r3al 2501
Description: Triple restricted universal quantification. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
r3al  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, z   
y, A, z    z, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    A( x)    B( x, y)    C( x, y, z)

Proof of Theorem r3al
StepHypRef Expression
1 df-ral 2440 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y A. z
( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
2 r2al 2476 . . 3  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
)
32ralbii 2463 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. x  e.  A  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
)
4 3anass 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  <->  ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  C
) ) )
54imbi1i 237 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  C
) )  ->  ph )
)
6 impexp 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  C
) )  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  -> 
( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
75, 6bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph ) ) )
87albii 1450 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  A. z ( x  e.  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph ) ) )
9 19.21v 1853 . . . . . 6  |-  ( A. z ( x  e.  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z
( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
108, 9bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
1110albii 1450 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  A. y
( x  e.  A  ->  A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph ) ) )
12 19.21v 1853 . . . 4  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  A. z
( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
)  <->  ( x  e.  A  ->  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
1311, 12bitri 183 . . 3  |-  ( A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
1413albii 1450 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
151, 3, 143bitr4i 211 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963   A.wal 1333    e. wcel 2128   A.wral 2435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440
This theorem is referenced by:  pocl  4263  soss  4274
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