Theorem r3al 2541

Description: Triple restricted universal quantification. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
r3al	|- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   y, A, z   z, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x)   B( x, y)   C( x, y, z)

Proof of Theorem r3al

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2480	. 2 |- ( A. x e. A A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
2		r2al 2516	. . 3 |- ( A. y e. B A. z e. C ph <-> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )
3	2	ralbii 2503	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x e. A A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )
4		3anass 984	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ z e. C ) ) )
5	4	imbi1i 238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ z e. C ) ) -> ph ) )
6		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ z e. C ) ) -> ph ) <-> ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
7	5, 6	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
8	7	albii 1484	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. z ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
9		19.21v 1887	. . . . . 6 |- ( A. z ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
10	8, 9	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
11	10	albii 1484	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. y ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
12		19.21v 1887	. . . 4 |- ( A. y ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
13	11, 12	bitri 184	. . 3 |- ( A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
14	13	albii 1484	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
15	1, 3, 14	3bitr4i 212	1 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   A.wal 1362   e. wcel 2167   A.wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  pocl  4338  soss  4349