Theorem r3al 2574

Description: Triple restricted universal quantification. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
r3al	|- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   y, A, z   z, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x)   B( x, y)   C( x, y, z)

Proof of Theorem r3al

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2513	. 2 |- ( A. x e. A A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
2		r2al 2549	. . 3 |- ( A. y e. B A. z e. C ph <-> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )
3	2	ralbii 2536	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x e. A A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )
4		3anass 1006	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ z e. C ) ) )
5	4	imbi1i 238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ z e. C ) ) -> ph ) )
6		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ z e. C ) ) -> ph ) <-> ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
7	5, 6	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
8	7	albii 1516	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. z ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
9		19.21v 1919	. . . . . 6 |- ( A. z ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
10	8, 9	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
11	10	albii 1516	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. y ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
12		19.21v 1919	. . . 4 |- ( A. y ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
13	11, 12	bitri 184	. . 3 |- ( A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
14	13	albii 1516	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
15	1, 3, 14	3bitr4i 212	1 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   A.wal 1393   e. wcel 2200   A.wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513

This theorem is referenced by:  pocl  4393  soss  4404