Theorem r3al 2420

Description: Triple restricted universal quantification. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
r3al	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem r3al

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2364	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
2		r2al 2397	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑))
3	2	ralbii 2384	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑))
4		3anass 928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)))
5	4	imbi1i 236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝜑))
6		impexp 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
7	5, 6	bitri 182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
8	7	albii 1404	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ∀𝑧(𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
9		19.21v 1801	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧(𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
10	8, 9	bitri 182	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
11	10	albii 1404	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
12		19.21v 1801	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
13	11, 12	bitri 182	. . 3 ⊢ (∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
14	13	albii 1404	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
15	1, 3, 14	3bitr4i 210	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 924  ∀wal 1287   ∈ wcel 1438  ∀wral 2359

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364

This theorem is referenced by:  pocl  4121  soss  4132