Theorem r3al 2534

Description: Triple restricted universal quantification. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
r3al	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem r3al

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2473	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
2		r2al 2509	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑))
3	2	ralbii 2496	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑))
4		3anass 984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)))
5	4	imbi1i 238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝜑))
6		impexp 263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
7	5, 6	bitri 184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
8	7	albii 1481	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ∀𝑧(𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
9		19.21v 1884	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧(𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
10	8, 9	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
11	10	albii 1481	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
12		19.21v 1884	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
13	11, 12	bitri 184	. . 3 ⊢ (∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
14	13	albii 1481	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
15	1, 3, 14	3bitr4i 212	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980  ∀wal 1362   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473

This theorem is referenced by:  pocl  4324  soss  4335