Theorem r3al 2594

Description: Triple restricted universal quantification. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
r3al	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem r3al

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2533	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
2		r2al 2569	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑))
3	2	ralbii 2556	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑))
4		3anass 1013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)))
5	4	imbi1i 238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝜑))
6		impexp 263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
7	5, 6	bitri 184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
8	7	albii 1523	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ∀𝑧(𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
9		19.21v 1926	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧(𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
10	8, 9	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
11	10	albii 1523	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
12		19.21v 1926	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
13	11, 12	bitri 184	. . 3 ⊢ (∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
14	13	albii 1523	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦∀𝑧((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑)))
15	1, 3, 14	3bitr4i 212	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009  ∀wal 1400   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533

This theorem is referenced by:  pocl  4446  soss  4457