Theorem rabxfrd 4500

Description: Class builder membership after substituting an expression A (containing y) for x in the class expression ch. (Contributed by NM, 16-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabxfrd.1	|- F/_ y B
rabxfrd.2	|- F/_ y C
rabxfrd.3	|- ( ( ph /\ y e. D ) -> A e. D )
rabxfrd.4	|- ( x = A -> ( ps <-> ch ) )
rabxfrd.5	|- ( y = B -> A = C )

Assertion

Ref	Expression
rabxfrd	|- ( ( ph /\ B e. D ) -> ( C e. { x e. D | ps } <-> B e. { y e. D | ch } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, D   ph, y   ps, y   ch, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)   ch( y)   A( y)   B( x, y)   C( x, y)

Proof of Theorem rabxfrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabxfrd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> A e. D )
2	1	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. D -> A e. D ) )
3		ibibr 246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. D -> A e. D ) <-> ( y e. D -> ( A e. D <-> y e. D ) ) )
4	2, 3	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. D -> ( A e. D <-> y e. D ) ) )
5	4	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( A e. D <-> y e. D ) )
6	5	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( A e. D /\ ch ) <-> ( y e. D /\ ch ) ) )
7		rabxfrd.4	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ps <-> ch ) )
8	7	elrab 2916	. . . . . . 7 |- ( A e. { x e. D | ps } <-> ( A e. D /\ ch ) )
9		rabid 2670	. . . . . . 7 |- ( y e. { y e. D | ch } <-> ( y e. D /\ ch ) )
10	6, 8, 9	3bitr4g 223	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( A e. { x e. D | ps } <-> y e. { y e. D | ch } ) )
11	10	rabbidva 2748	. . . . 5 |- ( ph -> { y e. D | A e. { x e. D | ps } } = { y e. D | y e. { y e. D | ch } } )
12	11	eleq2d 2263	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. { y e. D | A e. { x e. D | ps } } <-> B e. { y e. D | y e. { y e. D | ch } } ) )
13		rabxfrd.1	. . . . 5 |- F/_ y B
14		nfcv 2336	. . . . 5 |- F/_ y D
15		rabxfrd.2	. . . . . 6 |- F/_ y C
16	15	nfel1 2347	. . . . 5 |- F/ y C e. { x e. D | ps }
17		rabxfrd.5	. . . . . 6 |- ( y = B -> A = C )
18	17	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( y = B -> ( A e. { x e. D | ps } <-> C e. { x e. D | ps } ) )
19	13, 14, 16, 18	elrabf 2914	. . . 4 |- ( B e. { y e. D | A e. { x e. D | ps } } <-> ( B e. D /\ C e. { x e. D | ps } ) )
20		nfrab1 2674	. . . . . 6 |- F/_ y { y e. D | ch }
21	13, 20	nfel 2345	. . . . 5 |- F/ y B e. { y e. D | ch }
22		eleq1 2256	. . . . 5 |- ( y = B -> ( y e. { y e. D | ch } <-> B e. { y e. D | ch } ) )
23	13, 14, 21, 22	elrabf 2914	. . . 4 |- ( B e. { y e. D | y e. { y e. D | ch } } <-> ( B e. D /\ B e. { y e. D | ch } ) )
24	12, 19, 23	3bitr3g 222	. . 3 |- ( ph -> ( ( B e. D /\ C e. { x e. D | ps } ) <-> ( B e. D /\ B e. { y e. D | ch } ) ) )
25		pm5.32 453	. . 3 |- ( ( B e. D -> ( C e. { x e. D | ps } <-> B e. { y e. D | ch } ) ) <-> ( ( B e. D /\ C e. { x e. D | ps } ) <-> ( B e. D /\ B e. { y e. D | ch } ) ) )
26	24, 25	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> ( B e. D -> ( C e. { x e. D | ps } <-> B e. { y e. D | ch } ) ) )
27	26	imp 124	1 |- ( ( ph /\ B e. D ) -> ( C e. { x e. D | ps } <-> B e. { y e. D | ch } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   F/_wnfc 2323   {crab 2476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rab 2481  df-v 2762

This theorem is referenced by:  rabxfr  4501