Theorem rabxfrd 4454

Description: Class builder membership after substituting an expression A (containing y) for x in the class expression ch. (Contributed by NM, 16-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabxfrd.1	|- F/_ y B
rabxfrd.2	|- F/_ y C
rabxfrd.3	|- ( ( ph /\ y e. D ) -> A e. D )
rabxfrd.4	|- ( x = A -> ( ps <-> ch ) )
rabxfrd.5	|- ( y = B -> A = C )

Assertion

Ref	Expression
rabxfrd	|- ( ( ph /\ B e. D ) -> ( C e. { x e. D | ps } <-> B e. { y e. D | ch } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, D   ph, y   ps, y   ch, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)   ch( y)   A( y)   B( x, y)   C( x, y)

Proof of Theorem rabxfrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabxfrd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> A e. D )
2	1	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. D -> A e. D ) )
3		ibibr 245	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. D -> A e. D ) <-> ( y e. D -> ( A e. D <-> y e. D ) ) )
4	2, 3	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. D -> ( A e. D <-> y e. D ) ) )
5	4	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( A e. D <-> y e. D ) )
6	5	anbi1d 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( A e. D /\ ch ) <-> ( y e. D /\ ch ) ) )
7		rabxfrd.4	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ps <-> ch ) )
8	7	elrab 2886	. . . . . . 7 |- ( A e. { x e. D | ps } <-> ( A e. D /\ ch ) )
9		rabid 2645	. . . . . . 7 |- ( y e. { y e. D | ch } <-> ( y e. D /\ ch ) )
10	6, 8, 9	3bitr4g 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( A e. { x e. D | ps } <-> y e. { y e. D | ch } ) )
11	10	rabbidva 2718	. . . . 5 |- ( ph -> { y e. D | A e. { x e. D | ps } } = { y e. D | y e. { y e. D | ch } } )
12	11	eleq2d 2240	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. { y e. D | A e. { x e. D | ps } } <-> B e. { y e. D | y e. { y e. D | ch } } ) )
13		rabxfrd.1	. . . . 5 |- F/_ y B
14		nfcv 2312	. . . . 5 |- F/_ y D
15		rabxfrd.2	. . . . . 6 |- F/_ y C
16	15	nfel1 2323	. . . . 5 |- F/ y C e. { x e. D | ps }
17		rabxfrd.5	. . . . . 6 |- ( y = B -> A = C )
18	17	eleq1d 2239	. . . . 5 |- ( y = B -> ( A e. { x e. D | ps } <-> C e. { x e. D | ps } ) )
19	13, 14, 16, 18	elrabf 2884	. . . 4 |- ( B e. { y e. D | A e. { x e. D | ps } } <-> ( B e. D /\ C e. { x e. D | ps } ) )
20		nfrab1 2649	. . . . . 6 |- F/_ y { y e. D | ch }
21	13, 20	nfel 2321	. . . . 5 |- F/ y B e. { y e. D | ch }
22		eleq1 2233	. . . . 5 |- ( y = B -> ( y e. { y e. D | ch } <-> B e. { y e. D | ch } ) )
23	13, 14, 21, 22	elrabf 2884	. . . 4 |- ( B e. { y e. D | y e. { y e. D | ch } } <-> ( B e. D /\ B e. { y e. D | ch } ) )
24	12, 19, 23	3bitr3g 221	. . 3 |- ( ph -> ( ( B e. D /\ C e. { x e. D | ps } ) <-> ( B e. D /\ B e. { y e. D | ch } ) ) )
25		pm5.32 450	. . 3 |- ( ( B e. D -> ( C e. { x e. D | ps } <-> B e. { y e. D | ch } ) ) <-> ( ( B e. D /\ C e. { x e. D | ps } ) <-> ( B e. D /\ B e. { y e. D | ch } ) ) )
26	24, 25	sylibr 133	. 2 |- ( ph -> ( B e. D -> ( C e. { x e. D | ps } <-> B e. { y e. D | ch } ) ) )
27	26	imp 123	1 |- ( ( ph /\ B e. D ) -> ( C e. { x e. D | ps } <-> B e. { y e. D | ch } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   F/_wnfc 2299   {crab 2452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rab 2457  df-v 2732

This theorem is referenced by:  rabxfr  4455