Theorem reuun2 3504

Description: Transfer uniqueness to a smaller or larger class. (Contributed by NM, 21-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuun2	|- ( -. E. x e. B ph -> ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x e. A ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reuun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2526	. . 3 |- ( E. x e. B ph <-> E. x ( x e. B /\ ph ) )
2		euor2 2139	. . 3 |- ( -. E. x ( x e. B /\ ph ) -> ( E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E! x ( x e. A /\ ph ) ) )
3	1, 2	sylnbi 685	. 2 |- ( -. E. x e. B ph -> ( E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E! x ( x e. A /\ ph ) ) )
4		df-reu 2527	. . 3 |- ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) )
5		elun 3360	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
6	5	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) )
7		andir 827	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
8		orcom 736	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
9	7, 8	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
10	6, 9	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
11	10	eubii 2089	. . 3 |- ( E! x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
12	4, 11	bitri 184	. 2 |- ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x ( ( x e. B /\ ph ) \/ ( x e. A /\ ph ) ) )
13		df-reu 2527	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
14	3, 12, 13	3bitr4g 223	1 |- ( -. E. x e. B ph -> ( E! x e. ( A u. B ) ph <-> E! x e. A ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   E.wex 1541   E!weu 2080   e. wcel 2203   E.wrex 2521   E!wreu 2522   u. cun 3209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-reu 2527  df-v 2815  df-un 3215

This theorem is referenced by: (None)