Theorem reuun2 3516

Description: Transfer uniqueness to a smaller or larger class. (Contributed by NM, 21-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuun2	⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem reuun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2534	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2		euor2 2145	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → (∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
3	1, 2	sylnbi 689	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
4		df-reu 2535	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑))
5		elun 3370	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
6	5	anbi1i 462	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑))
7		andir 831	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
8		orcom 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
9	7, 8	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
10	6, 9	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
11	10	eubii 2095	. . 3 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
12	4, 11	bitri 184	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
13		df-reu 2535	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
14	3, 12, 13	3bitr4g 223	1 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  ∃wex 1545  ∃!weu 2086   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ∃!wreu 2530   ∪ cun 3218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-reu 2535  df-v 2823  df-un 3224

This theorem is referenced by: (None)