ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reuun2 GIF version

Theorem reuun2 3280
Description: Transfer uniqueness to a smaller or larger class. (Contributed by NM, 21-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
reuun2 (¬ ∃𝑥𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥𝐴 𝜑))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem reuun2
StepHypRef Expression
1 df-rex 2365 . . 3 (∃𝑥𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵𝜑))
2 euor2 2006 . . 3 (¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝜑) → (∃!𝑥((𝑥𝐵𝜑) ∨ (𝑥𝐴𝜑)) ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
31, 2sylnbi 638 . 2 (¬ ∃𝑥𝐵 𝜑 → (∃!𝑥((𝑥𝐵𝜑) ∨ (𝑥𝐴𝜑)) ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
4 df-reu 2366 . . 3 (∃!𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑))
5 elun 3139 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
65anbi1i 446 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ 𝜑))
7 andir 768 . . . . . 6 (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)))
8 orcom 682 . . . . . 6 (((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)) ↔ ((𝑥𝐵𝜑) ∨ (𝑥𝐴𝜑)))
97, 8bitri 182 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐵𝜑) ∨ (𝑥𝐴𝜑)))
106, 9bitri 182 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐵𝜑) ∨ (𝑥𝐴𝜑)))
1110eubii 1957 . . 3 (∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ∃!𝑥((𝑥𝐵𝜑) ∨ (𝑥𝐴𝜑)))
124, 11bitri 182 . 2 (∃!𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥((𝑥𝐵𝜑) ∨ (𝑥𝐴𝜑)))
13 df-reu 2366 . 2 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑))
143, 12, 133bitr4g 221 1 (¬ ∃𝑥𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥𝐴 𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  wex 1426  wcel 1438  ∃!weu 1948  wrex 2360  ∃!wreu 2361  cun 2995
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-reu 2366  df-v 2621  df-un 3001
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator