Theorem reuun2 3410

Description: Transfer uniqueness to a smaller or larger class. (Contributed by NM, 21-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuun2	⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem reuun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2454	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2		euor2 2077	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → (∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
3	1, 2	sylnbi 673	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
4		df-reu 2455	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑))
5		elun 3268	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
6	5	anbi1i 455	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑))
7		andir 814	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
8		orcom 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
9	7, 8	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
10	6, 9	bitri 183	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
11	10	eubii 2028	. . 3 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
12	4, 11	bitri 183	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
13		df-reu 2455	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
14	3, 12, 13	3bitr4g 222	1 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703  ∃wex 1485  ∃!weu 2019   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449  ∃!wreu 2450   ∪ cun 3119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-un 3125

This theorem is referenced by: (None)