Theorem reuun2 3420

Description: Transfer uniqueness to a smaller or larger class. (Contributed by NM, 21-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuun2	⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem reuun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2461	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2		euor2 2084	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → (∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
3	1, 2	sylnbi 678	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
4		df-reu 2462	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑))
5		elun 3278	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
6	5	anbi1i 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑))
7		andir 819	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
8		orcom 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
9	7, 8	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
10	6, 9	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
11	10	eubii 2035	. . 3 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
12	4, 11	bitri 184	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
13		df-reu 2462	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
14	3, 12, 13	3bitr4g 223	1 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  ∃wex 1492  ∃!weu 2026   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  ∃!wreu 2457   ∪ cun 3129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2741  df-un 3135

This theorem is referenced by: (None)