Theorem reuun2 3405

Description: Transfer uniqueness to a smaller or larger class. (Contributed by NM, 21-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuun2	⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem reuun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2450	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2		euor2 2072	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → (∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
3	1, 2	sylnbi 668	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
4		df-reu 2451	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑))
5		elun 3263	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
6	5	anbi1i 454	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑))
7		andir 809	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
8		orcom 718	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
9	7, 8	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
10	6, 9	bitri 183	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
11	10	eubii 2023	. . 3 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
12	4, 11	bitri 183	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
13		df-reu 2451	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
14	3, 12, 13	3bitr4g 222	1 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝜑 ↔ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  ∃wex 1480  ∃!weu 2014   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445  ∃!wreu 2446   ∪ cun 3114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-reu 2451  df-v 2728  df-un 3120

This theorem is referenced by: (None)