Theorem reupick 3491

Description: Restricted uniqueness "picks" a member of a subclass. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
reupick	|- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. A <-> x e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reupick

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3221	. . 3 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
2	1	ad2antrr 488	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. A -> x e. B ) )
3		df-rex 2516	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
4		df-reu 2517	. . . . . 6 |- ( E! x e. B ph <-> E! x ( x e. B /\ ph ) )
5	3, 4	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ph ) ) )
6	1	ancrd 326	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> ( x e. B /\ x e. A ) ) )
7	6	anim1d 336	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ x e. A ) /\ ph ) ) )
8		an32 564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. B /\ x e. A ) /\ ph ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) )
9	7, 8	imbitrdi 161	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) ) )
10	9	eximdv 1928	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> E. x ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) ) )
11		eupick 2159	. . . . . . . . 9 |- ( ( E! x ( x e. B /\ ph ) /\ E. x ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) )
12	11	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( E! x ( x e. B /\ ph ) -> ( E. x ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) ) )
13	10, 12	syl9 72	. . . . . . 7 |- ( A C_ B -> ( E! x ( x e. B /\ ph ) -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) ) ) )
14	13	com23 78	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( E! x ( x e. B /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) ) ) )
15	14	imp32 257	. . . . 5 |- ( ( A C_ B /\ ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ph ) ) ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) )
16	5, 15	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) )
17	16	expcomd 1486	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) -> ( ph -> ( x e. B -> x e. A ) ) )
18	17	imp 124	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. B -> x e. A ) )
19	2, 18	impbid 129	1 |- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. A <-> x e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1540   E!weu 2079   e. wcel 2202   E.wrex 2511   E!wreu 2512   C_ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-rex 2516  df-reu 2517  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  supelti  7200