Theorem reupick 3406

Description: Restricted uniqueness "picks" a member of a subclass. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
reupick	|- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. A <-> x e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reupick

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3136	. . 3 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
2	1	ad2antrr 480	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. A -> x e. B ) )
3		df-rex 2450	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
4		df-reu 2451	. . . . . 6 |- ( E! x e. B ph <-> E! x ( x e. B /\ ph ) )
5	3, 4	anbi12i 456	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ph ) ) )
6	1	ancrd 324	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> ( x e. B /\ x e. A ) ) )
7	6	anim1d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ x e. A ) /\ ph ) ) )
8		an32 552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. B /\ x e. A ) /\ ph ) <-> ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) )
9	7, 8	syl6ib 160	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) ) )
10	9	eximdv 1868	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> E. x ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) ) )
11		eupick 2093	. . . . . . . . 9 |- ( ( E! x ( x e. B /\ ph ) /\ E. x ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) )
12	11	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( E! x ( x e. B /\ ph ) -> ( E. x ( ( x e. B /\ ph ) /\ x e. A ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) ) )
13	10, 12	syl9 72	. . . . . . 7 |- ( A C_ B -> ( E! x ( x e. B /\ ph ) -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) ) ) )
14	13	com23 78	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( E! x ( x e. B /\ ph ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) ) ) )
15	14	imp32 255	. . . . 5 |- ( ( A C_ B /\ ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ph ) ) ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) )
16	5, 15	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) -> ( ( x e. B /\ ph ) -> x e. A ) )
17	16	expcomd 1429	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) -> ( ph -> ( x e. B -> x e. A ) ) )
18	17	imp 123	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. B -> x e. A ) )
19	2, 18	impbid 128	1 |- ( ( ( A C_ B /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) ) /\ ph ) -> ( x e. A <-> x e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1480   E!weu 2014   e. wcel 2136   E.wrex 2445   E!wreu 2446   C_ wss 3116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-rex 2450  df-reu 2451  df-in 3122  df-ss 3129

This theorem is referenced by:  supelti  6967