Theorem rexsng 3735

Description: Restricted existential quantification over a singleton. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralsng.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexsng	|- ( A e. V -> ( E. x e. { A } ph <-> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   V( x)

Proof of Theorem rexsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexsns 3733	. 2 |- ( E. x e. { A } ph <-> [. A / x ]. ph )
2		ralsng.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
3	2	sbcieg 3078	. 2 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ph <-> ps ) )
4	1, 3	bitrid 192	1 |- ( A e. V -> ( E. x e. { A } ph <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   [.wsbc 3045   {csn 3694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-sn 3700

This theorem is referenced by:  rexsn  3738  rexprg  3746  rextpg  3748  iunxsng  4072  imasng  5132  dvdsprmpweqnn  13059  ballotfilemfc0  13176  ballotfilemfcc  13177  mnd1  13710  grp1  13861  1loopgrvd0fi  16427